流体力学课件-

第2章水静力学流体力学

云和明博士

一底面积为45x50cm2

，高为1cm的木块，质量为5kg，沿涂有润滑油的斜面向下作等速运动，木块运动速度u=1m/s，油层厚度1cm，斜坡角

22.620(见图示)，求油的粘度。作业解答1－10．一个圆锥体绕其铅直中心轴等速旋转，锥体与固定壁的间距为δ＝1mm，全部为润滑油充满，μ＝0.1Pa.s，当旋转角速度ω＝16s－1，锥体底部半径R＝0.3m,高H＝0.5m时，求：作用于圆锥的阻力矩。解：取微元体，微元面积：切应力：阻力：阻力矩：第二章流体静力学

静压强的特性

平衡微分方程

静力学基本方程

对平面的作用力

对曲面的作用力

流体静力学是研究流体在平衡或相对平衡状态下的力学规律。

绝对平衡：相对于固结坐标系无运动；

相对平衡：相对于参考坐标系无运动。

静止流体的基本特点：

流体质点间无相对运动，粘性表现不出来。γ、ρ可视为常数

基本概念流体静压强的特性第一节静压强的特性

1.静压强作用在单位面积上的力。

面积ΔA上的平均压强：

p=ΔP/ΔA

当面积ΔA无限缩小趋近于零时，平均压强的极限为：

（2.1.1）式中p为O点的流体静压强。

一、基本概念二、静压强的特性反证法1.静水压强垂直指向作用面，即内法线方向。（垂直性）2.静止液体中任意点处各个方向的静水压强相等（各向等值性）证明思路取研究对象受力分析导出关系式得出结论取研究对象取一四面体OABC，三条边相互垂直且与坐标重合，受力分析质量力表面力导出关系式对于x轴

对于任一轴：得出结论上式也表明：平衡流体中任意点的压强只是位置坐标的函数，与其作用方向无关。上式表明：只要O点的位置坐标为定值时，则自各个方向作用于O点的流体静压强是完全等值的。第二节流体的平衡微分方程方程式推导思路：

流体静力平衡微分方程（欧拉平衡方程）对连续的同一不可压缩流体，在重力场中将微分方程积分流体静力平衡方程质量力

表面力

微元体受力分析一、

平衡微分方程的推导

表面力在x

方向上的分量只有左右一对面元上的压力，合力为

在静止流体中取出六面体流体微元，分析其在

x

方向的受力。微元所受x

方向上的质量力为取研究对象

平衡方程为或同理有和

平衡微分方程的矢量形式二、

平衡微分方程的积分

由于压强是坐标的连续函数上式称为平衡流体中压力差公式若质量力也为势函数，即

则

积分得

积分常数C的确定：假定平衡流体中某点的压强为p0、力势函数为W0，则：平衡微分方程的积分式2、等压面的应用（连通器原理——同一水平面上各点的静压强相等，见后）3、等压面的应用条件：同一、静止、连续的不可压缩流体4、结论：

在重力场中，任意形式的连通器内，在紧密连续而又属于同一性质的静止的均质液体中，深度相同的点，其压强必然相等。

1、等压面：dp=0的面称为等压面等压面的特性：1.在平衡的流体中，通过任意一点的等压面，必与该点所受的质量力相互垂直。重力场？

2.当两种互不相溶的液体处于平衡时，分界面必定是等压面。三、

等压面

但如果写出等式将是错误的。因为处于A、B两容器中的液体，即非紧密连续，又不是同一性质的液体，就不能应用上述等压面的条件。例题：在右图所示盛有三种液体的连通器中，就必然存在：

下面以流体平衡微分方程式为基础，讨论质量力除重力外，还有牵连惯性力同时作用的液体平衡规律。在这种情况下，液体相对于地球虽然是运动的，但液体质点之间、质点与器壁之间都没有相对运动，所以这种运动称为相对平衡。现讨论以下两种相对平衡。一、直线等加速器皿中液体的相对平衡如后图，盛有液体的容器在与水平面成α角的斜面由上向下作匀加速直线运动，加速度为a。当α为零时，显然液面为水平面。设加速度为a时液面与水平面成β角倾斜。设定xoz坐标，坐标原点取在自由液面的

中点。相对于此运动坐标系来说，单位质量液体所受的质量力有两个：一是垂直向下的单位质量重力，另一是与加速度反向的单位质量惯性力。单位质量力的三个坐标方向上的分量由等压面方程

有将上式积分可得匀加速直线运动时的等压面方程这是一族平行平面，它们对水平面的倾角显然，自由表面还是等压面，自由表面上的z坐标用zs表示，按自由表面的边界条件x=0，z=0，定出积分常数c=0，故自由表面方程应是

或直线匀加速的相对平衡液体的压强分布规律依然可由等压面微分方程积分得出积分常数可由边界条件x=0，z=0处p=p0得出于是

为计压点在倾斜自由液面下的淹没深度。

例题：容器内盛有液体垂直向下作a＝4.9035m/s2的加速运动，试求此时的自由表面方程和液体的压强分布规律。解：自由表面方程由得出现在，说明自由表面依然是水平面。压强分布规律则由可得出，现由于，并在本情况中，故

二、等角速旋转器皿中液体的相对平衡如图，盛有液体的直立圆柱筒绕其中心轴以等角速度ω旋转，由于液体的粘性，使筒内液体都以等角速度ω旋转，此时液体的自由表面已由平面变为旋转抛物面。下面推导这种以等角速度旋转的相对平衡情况的等压面方程和压强分布规律。取与筒一起等角速旋转的运动坐标系，z轴垂直向上，坐标原点取在新自由表面旋转抛物面的顶点上。此时流体所受的质量力亦是两个：一是重力，铅垂向下；另一是离心惯性力，与r轴方向一致。

单位质量力在直角坐标轴上的三个分量

代入欧拉平衡微分方程综合式积分得

由x=0，y=0，z=0处p=p0得c=p0，代入上式整理得这就是等角速旋转的直立容器中，液体相对平衡时压强分布的一般表达式。自由表面是一个等压面，p=p0=pa=0，并将新自由表面的z坐标用zs表示，则自由表面方程为设p为任一常数c1，可得各等压面方程为

可见，等压面族是一组以圆筒为中心轴为旋转轴的旋转抛物面。

第三节流体的静力学基本方程在重力场中，单位质量力只有重力，即：代入压力差公式

积分得：积分常数根据液体自由表面上的边界条件确定：

一.重力作用下的平衡方程

方程的导出：或由式整理得：代入公式得：静力学基本方程的两种表达形式B二.绝对压强、相对压强、真空

A绝对压强基准A点绝对压强B点真空压强A点相对压强B点绝对压强相对压强基准O大气压强

paO压强

压强p记值的零点不同，有不同的名称：

以完全真空为零点，记为

p′绝对压强两者的关系为:

p=

p′-

pa

以当地大气压

pa

为零点，记为

p

相对压强为负值时，其绝对值称为真空压强。相对压强真空压强BA绝对压强基准A点绝对压强B点真空压强A点相对压强B点绝对压强相对压强基准O大气压强

paO压强

今后讨论压强一般指相对压强，省略下标，记为

p，若指绝对压强则特别注明。

三.位置水头、压强水头、测压管水头

在静水压强分布公式

中，各项都为长度量纲，称为水头（液柱高）。

——

位置水头，以任取水平面为基准面

z=0

，铅垂向

上为正。

——

压强水头，以大气压为基准，用相对压强代入计

算。

——

测压管水头。

方程的物理意义：

在内有液体的容器壁选定测点，垂直于壁面打孔，接出一端开口与大气相通的玻璃管，即为测压管。OO

测压管内的静止液面上

p=0，其液面高程即为测点处的，所以叫测压管水头。

测压管水头的含义

如果容器内的液体是静止的，一根测压管测得的测压管水头也就是容器内液体中任何一点的测压管水头。如接上多根测压管，则各测压管中的液面都将位于同一水平面上。OO

测静压只须一根测压管

敞口容器和封口容器接上测压管后的情况如图

总势能

位置水头（势能）与压强水头（势能）可以互相转换，但它们之和—测压管水头（总势能）是保持不变的。

各项水头也可理解成单位重量液体的能量

位置势能，（从基准面

z=0

算起铅垂向上为正。）

z

压强势能（从大气压强算起）

液体的平衡规律表明

（N/m2;Pa)1公斤力/米2=9.8N/m2h=P/γ(m)

1标准物理大气压(atm)=1.033公斤力/厘米2=101325帕

1工程大气压(at)=98000帕=10mH20=735.6mmHg四.压强的度量单位

定义式：

液柱高度：

大气压：

大气压与大气压强：例题：如图所示，已知标高▽1=9m;▽2=8m;▽3=7m;▽4=10m，外界大气压强为1工程大气压，装置中液体均为水，试求1，2，3，4各点的绝对压强、相对压强（以液柱高度表示）及M2，M4两个压强表的读数？例题P45

静止液体中，任一点的压强值与其所处的深度h成正比。静压强的分布图

虚线相对压强；实线绝对压强

39.2kPa;3m

如图所示的密闭容器中，液面压强p0＝9.8kPa，A点压强为49kPa，则B点压强为多少

,在液面下的深度为多少。

A.

5kPa;B.

49kPa;C.

147kPa;D.

205kPa露天水池水深5m处的相对压强为：

观看动画等压面是指流体中压强相等的各点所组成的面。只有重力作用下的等压面应满足的条件是：静止、连通、连续均质流体、同一水平面。什么是等压面？等压面的条件是什么？

相对压强。

压力表和测压计上测得的压强是绝对压强还是相对压强？

测压管最小长度为1.5m。

如图所示，若某点测压管水头为-0.5m,压强水头为1.5m，则测压管最小长度应该为多少？

五.测压原理

测压管的一端接大气，这样就把测管水头揭示出来了。再利用液体的平衡规律，可知连通的静止液体区域中任何一点的压强，包括测点处的压强。

用测压管测量

如果连通的静止液体区域包括多种液体，则须在它们的分界面处作过渡。一端连接在与待测点A同高的容器壁上，另一端直接通大气的直径不少于5mm的玻璃管。当所测压强大于2mH2O水柱时不得使用。测压管真空计或倒式测压管

测压管：当测压管压强较大或液柱较高时，可在U形管中装入密度较大的介质从而用较短的测压管测定较大的压强或真空度。测定3atm以内的压强。U形测压管U形真空计U形测压管：测定大于3atm的压强。1.确定压强已知的面2.根据等压面应用的条件，划出等压面3.从已知面开始，逐步推出未知面压强

多支U形管测压计：测定两处压强差。

压差计：测定压强差很小的仪器。

微压计：测定压强很小的仪器。

杯式压差计：第四节作用在平面上的流体静压力

压力现象压力计算一、压力现象

在设计水箱、挡水闸门、油罐、水曝清砂水池等设备时，会遇到静止流体对固体壁面作用的总压力计算问题；流体作用在固体壁面上的总压力，是由该壁面所接触的流体静压强所引起的，应用流体静压强计算公式可以计算出作用在平面上的总压力；确定静止流体作用在平面上的总压力的方法，有解析法和图解法，这两种方法的原理和结果是一样的，都是根据流体中的静压强的分布规律来计算的。

完整的总压力求解包括其大小、方向、作用点。HH静止流体作用在平面上的总压力是一种比较简单的情况，是平行力系的合成，作用力垂直于作用面，指向自己判断。

静压强在平面域

A

上分布不均匀，沿铅垂方向呈线性分布。二、压力计算静水压强分布图的绘制（补充）即表示受压面上各点压强（大小和方向）分布的图形，简称静水压强图。绘制规则：１．按一定的比例尺，用一定长度的线段代表流体静压强的大小。２．用箭头表示流体静压强的方向，并与该处作用面相垂直。在水利工程中，一般只需计算相对压强，所以只需绘制相对压强分布图，当流体的表面压强为时，即p与h呈线性关系，据此绘制流体静压强图。ABCPP

压强分布示意图

静水压强分布示意图静水压强分布图实例ABpaPa+ρgh画出下列AB或ABC面上的静水压强分布图相对压强分布图ABρghBABCABAB画出下列容器左侧壁面上的压强分布图作用于平面壁上的静水总压力图解法解析法——适用于任意形状平面——适用于矩形平面HHHHhhh

总压力的大小1.解析法求任意形状平面上的静水总压力

当平板左右两面都受到p0的作用时：

总压力的作用点

同理：求解原理：合力对任一轴的力矩等于其分力对同一轴的力矩和。平面上静水压强的平均值为作用面（平面图形）形心处的压强。总压力大小等于作用面形心C

处的压强

pC

乘上作用面的面积A.平面上均匀分布力的合力作用点将是其形心，而静压强分布是不均匀的，浸没在液面下越深处压强越大，所以总压力作用点位于作用面形心以下。

结论：h

静力奇象

只要平面的面积和形心处的淹深相同，则平板所受到的静水压力也相同。

注意点当平板左侧液面压强p01不等于平板右侧所受压强p02时，平板所受总压力：上式要写成：则左右两侧自由面上的压强应相等2.压力图法求矩形平面上的静水总压力当受压平面为矩形，且有一对边平行于液面时，采用图算法便于对受压结构物进行受力分析。Ap—

平面所受的流体静压强分布图的面积

流体静压力的大小与以压强分布图为底面，高度为矩形宽b的柱体体积相等。即流体静压力相当于这样一块匀质流体压在受压面上。总压力的作用线一定通过该柱体的重心，并垂直指向作用面。

梯形压力分布图的形心距底

三角形压力分布图的形心距底

1、相同；2、不相同

如图所示，浸没在水中的三种形状的平面物体，面积相同。问：1.哪个受到的静水总压力最大？2.压心的水深位置是否相同

大小不变；方向变；作用点不变。

挡水面积为A的平面闸门，一侧挡水，若绕通过其形心C的水平轴任转a角，其静水总压力的大小、方向和作用点是否变化？为什么？

图解法有，规则形状，为便于作压强分布图；解析法无。

使用图解法和解析法求静水总压力时，对受压面的形状各有无限制？为什么？

等压面是指流体中压强相等的各点所组成的面。只有重力作用下的等压面应满足的条件是：静止、连通、连续均质流体、同一水平面。什么是等压面？等压面的条件是什么？

相对压强。

压力表和测压计上测得的压强是绝对压强还是相对压强？

测压管最小长度为1.5m。

如图所示，若某点测压管水头为-0.5m,压强水头为1.5m，则测压管最小长度应该为多少？

例题：如图,在蓄水池垂直挡水墙上的泄水孔处，装有尺寸为b×h=1m×0.5m的矩形闸门，闸门上A点用铰链与挡水墙相连，A点距液面高度为2m，开启闸门的锁链连接于闸门下缘B点，并与水面成45度角。忽略闸门自重及铰链的摩擦力，求开启闸门所需拉力T至少应为多大？

解析法：

图解法：

绘出压强分布图

梯形压力分布图的形心距底例题：一块矩形平板闸门可绕轴A转动，如图。已知θ=60˚，H=6m,h=2m,h1=1.5m,不计闸门自重以及摩擦力，求开启单位宽度的闸门所需的提升力FT。平板左边挡水长度为：

解析法：左边的静水压强分布可分解为均匀荷载和三角形荷载。其中均匀荷载所产生的总压力为作用点距A点距离为三角形荷载所产生的总压力为作用点距A点距离为

解析法：平板右边挡水长度为：右边所产生的总压力为：作用点距平板下缘距离为：【例题】一垂直放置的圆形平板闸门如图所示，已知闸门半径R=1m，形心在水下的淹没深度hc=8m，试用解析法计算作用于闸门上的静水总压力。hchDFP解：LO答：该闸门上所受静水总压力的大小为246kN，方向向右，在水面下8.03m处。【例题】某泄洪隧洞，在进口倾斜设置一矩形平板闸门（如图），倾角α=60,门宽b=4m，门长L=6m，门顶的淹深h1=10m,若不计闸门自重时，问：①沿斜面拖动闸门所需的拉力T为多少？（已知闸门与门之间摩擦系数f=0.25）②门上静水总压力的作用点在哪里？解：当不计门重时，T至少需克服闸门与门之间的摩擦力，故T=P·f为此，需求出P。用图解法求P及其作用点。如图画出其压力分布图，则P=A·b=1/2(γh1+γh2)·L·b=2964KN

作用点距闸门底部的斜距（h1=10，h2=10+6sinα）

P距平面的斜距

（也可用解析法求解）

例题图示【例题】下图表示一个两边都承受水压的矩形水闸，如果两边的水深分别为h1=2m，h2=4m，试求每米宽度水闸上所承受的净总压力及其作用点的位置。

【解】淹没在自由液面下h1深的矩形水闸的形心yc=hc=h1/2

每米宽水闸左边的总压力为

由压力中心公式确定的作用点F1位置

例题图示

其中通过形心轴的惯性矩IC=bh31/12，所以即即F1的作用点位置在离底1/3h=2/3m处。淹没在自由液面下h2深的矩形水闸的形心yc=hc=h2/2。每米宽水闸右边的总压力为（Ｎ）

同理F2作用点的位置在离底1/3h2=2/3m处。每米宽水闸上所承受的净总压力为

F=F2-F1=78448-19612=58836（Ｎ）假设净总压力的作用点离底的距离为h，可按力矩方程求得其值。围绕水闸底O处的力矩应该平衡，即

（m)

第五节作用在曲面上的流体静压力

压力现象压力计算压力体一、压力现象

一些弧形闸门、水管壁面、球形容器及拱坝坝面等也会遇到静止流体对固体壁面作用的总压力计算问题；由于曲面上各点的法向不同，对曲面求解总压力时，必须先分解成各分量计算，然后再合成。hH二、总压力的大小和方向在二维曲面ABCD上取微元面积dA，假定其形心位于液面以下h深处，则此微元面积的压力为：假定其与水平方向夹角为α，则可将dP分解为：hnPxAxAx

是曲面A沿x轴向oyz平面的投影，hxC是平面图形Ax的形心浸深。xzyAx方向水平力的大小hnPxAxxzy

静止液体作用在曲面上的总压力在

x方向分量的大小等于作用在曲面沿x

轴方向的投影面上的总压力。y

方向水平力大小的算法与x

方向相同。A

结论：hnPzPxAxAzAz

是曲面A沿z

轴向oxy平面的投影，V

称为压力体，是曲面

A与

Az之间的柱体体积。xzyVA

z

方向水平力的大小hnPzPxAxAzxzy

静止液体作用在曲面上的总压力的垂向分量的大小等于压力体中装满此种液体的重量。

总压力垂向分量的方向根据情况判断。VpA

结论：

压力体是一个纯数学的概念，是一个由积分式所确定的纯几何体，与这个体积内是否充满液体无关。若充满流体，则称为“实压力体”；若不为流体充满，则称为“虚压力体”。a有液体AA无液体三、压力体

复杂柱面的压力体压力体的确定压力体一般是由三个面所封闭的体积：即底面为受压面顶面是受压面边界线封闭的面积在自由面或其延长面上的投影面中间是通过受压面边界线且与Z轴平行的铅直线围成的曲线压力体应由下列周界面所围成：（1）受压曲面本身（2）自由液面或液面的延长面（3）通过曲面的四个边缘向液面或液面的延长面所作的铅垂平面ABABABC

图一如上图两个柱面AB，设他们尺寸完全相同，这两个柱面上的垂直分力大小完全相等，只是方向不同。

图二压力体分为两部分，取其方向向上，则其垂直分力的合力：

PZ=PZ1–PZ2垂直分力的方向

虚上实下

总压力各分量的大小已知，指向自己判断，这样总压力的大小和方向就确定了。

总压力的作用点为水平方向两条作用线和过压力体形心的铅垂线的交点。

特别地，当曲面是圆柱或球面的一部分时，总压力是汇交力系的合成，必然通过圆心或球心。曲面上静水总压力的合成

静止液体作用在曲面上的总压力的计算程序

(1)将总压力分解为水平分力Px和垂直分力Pz。

(2)水平分力的计算，（如图c）。

(3)确定压力体的体积。

(4)垂直分力的计算，方向由虚、实压力体（如图d）确定。

(5)总压力的计算，。

(6)总压力方向的确定，。

(7)作用点的确定，即总压力的作用线与曲面的交点即是。

自由面的理解：自由面是指相对压强为0的面。上述压力体是液面为自由表面时所得的几何体，此时液面上的相对压强为0；如果液面上的相对压强不为0，即不是自由面，则压力体不能以液面为顶，因为压力体积分表达式中ρgh是指作用在dAz面上的压强（包括液面上高于或低于外界大气压强的压强差）。

(a)图中液面上压强

p0>pa,压力体顶面应取在液面以上；

(b)图中液面上压强

p0<pa,压力体顶面应取在液面下。四、注意点例题：作出二维曲面AB上的压力体，并指明垂直分力的方向。例题：

如图贮水容器壁上装有三个半径R=0.5m的半球形盖；已知：H=2.5m,h=1.5m.求这三个盖子所受的静水总压力。解：盖1

盖2：盖3：例题：如图扇形闸门，中心角θ=450，宽度B=1米，可以绕铰链C旋转，用以蓄水或泻水。水深H=3米，确定水作用在此闸门上的总压力P的大小和方向。扇形直径：解：总压力：例题：如图所示圆柱形压力水罐，由上下两半圆筒用螺栓连接而成。圆筒半径R=0.5m,l=2m.罐上压力表读数p=29.4kPa。试求（1）两端平面盖板所受静水总压力；（2）上下两半圆筒所受静水总压力；（3）若螺栓材料的允许应力σ=120MPa，验证连接上下圆筒的螺栓能否承受由水压产生的拉力。螺栓直径d=10mm,间距e=50cm.（1）两端盖板均为圆形平面，每个盖板所受静水总压力为：解：（2）上下两半圆筒水平分力为0；垂直分力的压力体如图：压力表处水柱高度：两螺栓所受总拉力为：（3）水罐上螺栓总个数为：螺栓所能承受的最大拉力为：因此连接螺栓能够承受由罐内水压产生的拉力。为何不用Pz下？【例题】求图e所示流体施加到水平放置的单位长度圆柱体上的水平分力和垂直分力：（a）如果圆柱体左侧的流体是一种计示压强为35kPa被密封的箱内的气体；（b）如果圆柱体左侧的流体是水，水面与圆柱体最高部分平齐，水箱开口通大气。

【解】（a）圆柱体表面所研究部分的净垂直投影为则35kPa计示压强的气体作用在单位长度圆柱体上的水平分力为Az=[4-2(1-cos300)]×1

则35kPa计示压强的气体作用在单位长度圆柱体上的水平分力为Fx=pAz=35×[4-2(1-cos300)]×1=353.75=130.5(kN)

圆柱体表面所研究部分的净水平投影为

Ax=2sin300×1

则气体作用在单位长度圆柱体上的垂直分力为

Fz=pAx=35×2sin300×1=35(kN)

（b）Fx=ρghcAx=9.81×(1/2×3.73)×(3.73×1)×1000=68.1（kN）

Fz=ρgVp=9.81×1000×(2100/3600×22+1/2×1×1.732+1×2)×1=100.5(KN)

图e【例题】一弧形闸门如图所示，闸门宽度b=4m，圆心角φ=45°，半径R=2m，闸门旋转轴恰与水面齐平。求水对闸门的静水总压力。解：闸门前水深为ABφhOR水平分力：铅直分力：静水总压力的大小：静水总压力与水平方向的夹角：α静水总压力的作用点：ZDD答：略。【例题】图f所示为一水箱，左端为一半球形端盖，右端为一平板端盖。水箱上部有一加水管。已知h=600mm，R=150mm，试求两端盖所受的总压力及方