圆与圆的位置关系2

圆与圆的位置关系课标要求素养要求1.能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法.3.能利用圆与圆的位置关系解决有关问题.通过圆与圆的位置关系的判定及解决相关问题，进一步提升数学抽象及数学运算素养.新知探究观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？问题圆与圆之间有几种位置关系？提示圆与圆有五种位置关系分别是外离、外切、相交、内切、内含五种.1.两圆之间的位置关系注意两圆相切包含两种情形即外切与内切，解题时一定要分清(1)两圆相交，有两个公共点；(2)两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；(3)两圆相离，包括外离与内含，没有公共点.2.用几何法判断圆与圆的位置关系判断两圆的位置关系常用几何法，一般不采用代数法已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req\o\al(2,1)，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req\o\al(2,2)，则圆心距d＝|C1C2|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).则两圆C1，C2有以下位置关系：位置关系外离内含相交内切外切圆心距与半径的关系d>r1＋r2d<|r1－r2||r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d＝r1＋r2图示3.用代数法判定圆与圆的位置关系已知两圆：C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，将方程联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.))消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，则(1)判别式Δ>0时，C1与C2相交.(2)判别式Δ＝0时，C1与C2外切或内切.(3)判别式Δ<0时，C1与C2外离或内含.拓展深化[微判断]1.如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.(×)提示只有一组实数解时可能外切也可能内切.2.如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(×)提示当两圆圆心距小于两圆半径之和且大于两圆半径之差的绝对值时两圆相交.3.从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.(×)提示只有两圆相交时得到的二元一次方程才是公共弦所在的直线方程.[微训练]1.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A.内切 B.相交C.外切 D.外离解析圆心距d＝eq\r(（－2－2）2＋（0－1）2)＝eq\r(17).由于3－2<d<2＋3.故选B.答案B2.两圆x2＋y2＝r2与(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)外切，则r的值是()\r(10) \r(5) \f(\r(10),2)解析由题意可知eq\r(（3－0）2＋（－1－0）2)＝2r，∴r＝eq\f(\r(10),2).答案D[微思考]1.当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆是否一定外离？提示当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆可能外离也可能内含.2.在外离、外切、相交、内切和内含的位置关系下，两圆的公切线条数分别为多少？提示两圆外离时有四条公切线，当两圆外切时有三条公切线，当两圆相交时有两条公切线，当两圆内切时只有一条公切线，当两圆内含时无公切线.题型一两圆的位置关系角度1两圆位置关系的判断【例1－1】(1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq\r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A.内切 B.相交C.外切 D.外离(2)已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为()或3解析(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2ay＝0，,x＋y＝0，))得两交点分别为(0，0)，(－a，a).∵圆M截直线所得线段的长度为2eq\r(2)，∴eq\r(a2＋（－a）2)＝2eq\r(2)，又a>0，∴a＝2.∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心为M(0，2)，半径为r1＝2.又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为N(1，1)，半径为r2＝1，∴|MN|＝eq\r(（0－1）2＋（2－1）2)＝eq\r(2).∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3，1<|MN|<3，∴两圆相交.(2)由圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，即(x－2)2＋(y＋1)2＝eq\f(1,4)，得C1(1，－2)，C2(2，－1)，r1＝1，r2＝eq\f(1,2)，∴|C1C2|＝eq\r(（2－1）2＋（－1＋2）2)＝eq\r(2).则r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，∴圆C1与圆C2相交.故这两个圆的公切线共2条.答案(1)B(2)D角度2已知两圆位置关系求参数【例1－2】当a分别为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0：(1)外切；(2)相交；(3)外离？解将两圆方程化为标准方程，则C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2；(2)当1<d<5，即1<2a2＋6a＋5<25时，两圆相交，此时－5<a<－2或－1<a<2；(3)当d>5，即2a2＋6a＋5>25时，两圆外离，此时a>2或a<－5.规律方法(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：①将圆的方程化成标准方程，写出圆心和半径.②计算两圆圆心的距离d.③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可数形结合.(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系.【训练1】圆(x－4)2＋y2＝9和圆x2＋(y－3)2＝4的公切线有()条 条条 条解析圆(x－4)2＋y2＝9的圆心为(4，0)，半径等于3，圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为(0，3)，半径等于2.两圆的圆心距等于eq\r(42＋32)＝5＝2＋3，两圆相外切，故两圆的公切线的条数为3，故选C.答案C题型二两圆相切问题【例2】已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是________.解析设圆C的半径为r，又圆心距d＝eq\r(（4－0）2＋（－3－0）2)＝5，∴当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，∴圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)3＝36.答案(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)3＝36规律方法处理两圆相切问题的两个步骤(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论.(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).【训练2】若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于() D.－11解析C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.∵C1，C2两圆的圆心分别为(0，0)，(3，4)，∴两圆圆心距d＝eq\r(（3－0）2＋（4－0）2)＝5，又两圆半径分别为1，eq\r(25－m)，则d＝r1＋r2，即5＝1＋eq\r(25－m)，解得m＝9.答案C题型三两圆相交的有关问题【例3】已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，判断两圆的位置关系.解将两圆方程配方化为标准方程，得C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5eq\r(2).圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝eq\r(10).又∵|C1C2|＝2eq\r(5)，r1＋r2＝5eq\r(2)＋eq\r(10)，r1－r2＝5eq\r(2)－eq\r(10)，∴r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交.【探究1】在例3的条件下，求公共弦所在直线方程.解将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.【探究2】在例3的条件下，求公共弦的长度.解法一圆C1的圆心为(1，－5)，其到公共弦所在直线x－2y＋4＝0的距离d＝eq\f(|1－2×（－5）＋4|,\r(1＋（－2）2))＝3eq\r(5)，∴公共弦长l＝2eq\r(req\o\al(2,1)－d2)＝2eq\r(50－45)＝2eq\r(5).法二设两圆相交于点A，B，则A，B两点的坐标满足方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＋10y－24＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))所以|AB|＝eq\r(（－4－0）2＋（0－2）2)＝2eq\r(5)，即公共弦长为2eq\r(5).规律方法处理两圆相交的有关问题的方法(1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数.(2)求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.【训练3】求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线l被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝eq\f(25,4)截得的弦长.解由题意将两圆的方程相减，可得圆C1和圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0.又圆C3的圆心坐标为(1，1)，其到直线l的距离为d＝eq\f(|1＋1－1|,\r(12＋12))＝eq\f(\r(2),2)，所以所求弦长为2eq\r(\f(25,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\r(23).一、素养落地1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象及数学运算素养.2.判断两圆的位置关系的方法：(1)(代数法)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用.(2)(几何法)依据圆心距与两圆半径长的和或两半径的差的绝对值的大小关系.3.若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程.4.求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长.二、素养训练1.两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是()A.内切 B.相交C.外切 D.外离解析圆x2＋y2－1＝0的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的圆心为C2(2，－1)，半径r2＝3，两圆心距离d＝|C1C2|＝eq\r(（2－0）2＋（－1－0）2)＝eq\r(5)，又r2－r1＝2，r1＋r2＝4，所以r2－r1<d<r1＋r2，故两圆相交.答案B2.圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有()条 条条 条解析由圆的方程易知，圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.答案B3.若圆x2＋y2－m＝0与圆x2＋y2－4x－5＝0内切，则m的值是________.解析把圆x2＋y2－m＝0与圆x2＋y2－4x－5＝0分别化为标准方程得：x2＋y2＝m，(x－2)2＋y2＝9，故圆心坐标分别为(0，0)和(2，0)，半径分别为R＝eq\r(m)和r＝3.则圆心之间的距离d＝2，|R－r|＝|eq\r(m)－3|，由两圆内切，得|eq\r(m)－3|＝2，∴m＝1或25.答案1或254.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2eq\r(3)，则a＝________.解析将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y＝eq\f(1,a)，圆心(0，0)到直线y＝eq\f(1,a)的距离为d＝eq\f(1,a)＝eq\r(22－（\r(3)）2)＝1，所以a＝1.答案15.已知圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0，圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0，求两圆的公共弦所在直线的方程及弦长.解把圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0和圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0的方程相减，可得两圆的公共弦所在直线的方程为x＋y－3＝0.由于圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0，即圆C2：(x－1)2＋(y－1)2＝2，故圆心C2(1，1)，半径r2＝eq\r(2)，求得点C2到公共弦所在的直线的距离d＝eq\f(|1＋1－3|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，故公共弦的长为2eq\r(req\o\al(2,2)－d2)＝2eq\r(2－\f(1,2))＝eq\r(6).三、审题答题(示范三)圆与圆相交的连心线问题【典型示例】(12分)已知圆C1：x2＋y2－4x－2y－5＝0与圆C2：x2＋y2－6x－y－9＝0.(1)求证：这两个圆相交①；(2)求这两个圆公共弦②所在直线的方程；(3)在平面上找一点P，过P点引这两个圆的切线并使它们的长都等于6eq\r(2).联想解题看到①想到利用两圆的圆心距与两圆半径大小关系比较，本题只需两圆圆心距小于两圆半径之和，大于两圆半径之差的绝对值即可.看到②求两圆的公共弦所在直线方程，直接利用两圆方程相减即可.满分示范(1)证明将圆C1，C2化为标准方程分别为圆C1：(x－2)2＋(y－1)2＝10，圆C2：(x－3)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(73,4).∴C1(2，1)，C2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,2)))，r1＝eq\r(10)，r2＝eq\f(\r(73),2).2分∵两圆圆心距|C1C2|＝eq\r(（2－3）3＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),2)，4分且eq\f(\r(73),2)－eq\r(10)<eq\f(\r(5),2)<eq\f(\r(73),2)＋eq\r(10)，∴圆C1与圆C2相交.6分(2)解联立两个圆的方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x－2y－5＝0，,x2＋y2－6x－y－9＝0，))相减得这两个圆公共弦所在直线方程为2x－y＋4＝分(3)解设点P(x，y)，则由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PC1|2－req\o\al(2,1)＝（6\r(2)）2，,|PC2|2－req\o\al(2,2)＝（6\r(2)）2，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x－2y－5＝（6\r(2)）2，,x2＋y2－6x－y－9＝（6\r(2)）2，))10分解方程组得点P(3，10)或Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，－\f(26,5))).12分满分心得(1)利用这两个圆的连心线长(圆心距)与这两个圆的半径之和、半径之差的绝对值之间的大小进行证明.(2)将两圆相减即求得公共弦所在直线的方程.(3)利用圆的切线长公式列方程组求解即可.基础达标一、选择题1.圆C1：x2＋y2＝9和C2：x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是()A.外离 B.相交C.内切 D.外切解析圆C1：x2＋y2＝9的圆心为C1(0，0)，半径r1＝3；圆C2：x2＋y2－8x＋6y＋9＝0化为(x－4)2＋(y＋3)2＝16，圆心为C2(4，－3)，半径r2＝4，圆心距|C1C2|＝eq\r(42＋（－3）2)＝5.因为|r1－r2|＜|C1C2|＜3＋4＝r1＋r2，所以两圆相交.答案B2.过两圆x2＋y2＋6x＋4y＝0及x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的交点的直线的方程是()＋y＋2＝0 ＋y－2＝0＋3y－2＝0 D.不存在解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x＋4y＝0，①,x2＋y2＋4x＋2y－4＝0，②))①－②得x＋y＋2＝0.答案A3.若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则实数m的值为() B.－5或－5 D.不确定解析两圆的圆心分别为(－2，m)，(m，－1)，两圆的半径分别为3，2，由题意得eq\r(（m＋2）2＋（－1－m）2)＝3＋2，解得m＝2或－5.答案C4.若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是()<eq\r(5)＋1 >eq\r(5)＋1C.|r－eq\r(5)|≤1 D.|r－eq\r(5)|<1解析圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0化为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，其圆心为(－1，2)，半径为1.故两圆圆心之间的距离为eq\r(（－1）2＋22)＝eq\r(5).∵两圆有公共点，∴|r－1|≤eq\r(5)≤r＋1，∴eq\r(5)－1≤r≤eq\r(5)＋1，即－1≤r－eq\r(5)≤1，∴|r－eq\r(5)|≤1.答案C5.(多选题)半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程可以是()A.(x－4)2＋(y－6)2＝6 B.(x＋4)2＋(y－6)2＝6C.(x－4)2＋(y－6)2＝36 D.(x＋4)2＋(y－6)2＝36解析由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，又由两圆内切，得eq\r(a2＋（6－3）2)＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.答案CD二、填空题6.已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________.解析∵圆C1的圆心为C1(3，0)，圆C2的圆心为C2(0，3)，∴直线C1C2的方程为x＋y－3＝0，由圆的性质知AB的中垂线即直线C1C2，故其方程为x＋y－3＝0.答案x＋y－3＝07.若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________________.解析由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a，0)，eq\r(2)和(0，b)，1.因为两圆外离，所以eq\r(a2＋b2)>eq\r(2)＋1，即a2＋b2>3＋2eq\r(2).答案a2＋b2>3＋2eq\r(2)8.圆C1：x2＋y2－2mx＋m2－4＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4my＋4m2－8＝0相交，则实数m的取值范围是________.解析整理圆C1得(x－m)2＋y2＝4，整理圆C2得(x＋1)2＋(y－2m)2＝9，∴C1的圆心为(m，0)，半径为2，圆C2的圆心为(－1，2m)，半径为3.∵两圆相交，∴圆心之间的距离小于两圆半径之和，大于两圆半径之差的绝对值，即1<eq\r(（m＋1）2＋（2m）2)<5，解得：0<m<2或－eq\f(12,5)<m<－eq\f(2,5).答案(0，2)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,5)，－\f(2,5)))三、解答题9.已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0相交于A，B两点，求公共弦AB的长.解联立方程，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－10x－10y＝0，,x2＋y2＋6x＋2y－40＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝6))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2，))∴两个圆的交点是A(－2，6)，B(4，－2)，∴|AB|＝eq\r(（4＋2）2＋（－2－6）2)＝10.10.已知圆C1：x2＋y2－4x－2y－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2y－14＝0.(1)试判断两圆的位置关系；(2)直线l过点(6，3)与圆C1相交于A，B两点，且|AB|＝2eq\r(6)，求直线l的方程.解(1)由于圆C1：x2＋y2－4x－2y－5＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝10，表示以C1(2，1)为圆心，半径等于eq\r(10)的圆.C2：x2＋y2＋2x－2y－14＝0，即(x＋1)2＋(y－1)2＝16，表示以C2(－1，1)为圆心，半径等于4的圆.由于两圆的圆心距等于eq\r(32＋02)＝3，大于半径之差而小于半径之和，故两个圆相交.(2)当AB的斜率不存在时，直线l的方程为x＝6，此时直线l与圆C1相离，不满足条件.当AB的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－6)，即kx－y＋3－6k＝0，由弦长公式可得圆心到直线l的距离d＝eq\r(10－6)＝2，再由点到直线的距离公式可得d＝2＝eq\f(|2k－1＋3－6k|,\r(k2＋1))，解得k＝0或k＝eq\f(4,3).故直线l的方程为y＝3或4x－3y－15＝0.能力提升11.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|等于() \r(2) \r(2)解析因为两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，所以两圆C1，C2的圆心都在y＝x上.设圆C1，C2的圆心坐标分别为(x1，x1)，(x2，x2)，则(4－x1)2＋(1－x1)2＝xeq\o\al(2