概率论与数理统计2

第二章随机变量2.1

随机变量的概念2.2随机变量的分布2.3二维随机变量2.4随机变量函数的分布关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容．这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量．也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样．变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念．同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量。使我们借助于微积分等数学工具把研究引向深入。为了全面地研究随机试验的结果，揭示客观存在着的统计规律性，我们将随机试验的结果与实数对应起来，将随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念。2.1随机变量的概念由于随机因素的作用，试验的结果有多种可能性。如果对于试验的每一可能结果，也就是一个样本点ω，都对应着一个实数ξ(ω)，而ξ(ω)又是随着试验结果不同而变化的一个变量，则称它为随机变量。随机变量一般用希腊字母ξ，η，ζ或大写拉丁字母X，Y，Z等表示。

很多随机事件都可以采用数量的标识。比如,某一段时间内车间正在工作的车床数目,抽样检查产品质量时出现的废品个数,掷殼子出现的点数等等。对于那些没有采用数量标识的事件,也可以给它们以数量标识。比如,某工人一天“完成定额”记为1,“没完成定额”记为0;生产的产品是“优质品”记为2,是“次品”记为1,是“废品”记为0等等.这样一来,对于实验的结果就都可以给予数量的描述。定义.

设Ω={ω}是随机试验的样本空间，如果量X是定义在Ω上的一个单值实值函数即对于每一个ωΩ，有一实数X=X(ω)与之对应，则称X为随机变量。随机变量的特点:

1X的全部可能取值是互斥且完备的2X的部分可能取值描述随机事件随机变量常用X、Y、Z或

、、等表示。?请举几个实际中随机变量的例子例如（1）一个射手对目标进行射击，击中目标记为1分，未中目标记0分。如果用ξ表示射手在一次射击中的得分，则它是一个随机变量，可以取0和1两个可能值。（2）某段时间内候车室的旅客数目记为ξ，它是一个随机变量，可以取0及一切不大于M的自然数，M为候车室的最大容量。（3）单位面积上某农作物的产量ξ是一个随机变量。它可以取一个区间内的一切实数值。即ξ∈[0，T]，T为某一个常数。（4）一个沿数轴进行随机运动的质点，它在数轴上的位置ξ是一个随机变量，可以取任何实数，即ξ∈（－∞，＋∞）

显然随机变量是建立在随机事件基础上的一个概念。既然事件发生的可能性对应于一定的概率，那么随机变量也以一定的概率取各种可能值。按其取值情况可以把随机变量分为两类：

一、离散型随机变量只可能取有限个或无限可列个值；二、非离散型随机变量可以在整个数轴上取值，或至少有一部分值取某实数区间的全部值。随机变量随机变量的分类：从两方面研究随机变量：研究随机变量的取值规律研究随机变量取值的概率规律2.2随机变量的分布ξ

x1 x2 …

xK … Pk p1 p2 … pk …（一）离散型随机变量的分布定义2.1如果随机变量ξ只取有限个或可列个可能值，而且以确定的概率取这些不同的值，则称ξ为离散型随机变量。为直观起见，将可能取的值及相应概率列成概率分布表：ξx1x2……xk……Pp1p2……pk……此外，ξ的概率分布情况也可以用一系列等式表示：其中构成一个完备事件组。此时，（2.1）式称为随机变量ξ的概率函数（或概率分布律）。(1)pk0,k＝1,2,…;(2)

一般所说的离散型随机变量的分布就是指它的概率函数或概率分布表。2.分布律的性质解题可分为三步进行：1.写出概率函数（分布律）2.列出概率分布表（分布列）3.画出概率函数图例1设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率分布列。

解k可取值0，1，2∴X的概率分布列为：例2产品由一、二、三等品及废品4种，其一、二、三等品律及废品律分别为60%、10%、20%、10%，任取一个产品检验其质量，用随机变量ξ描述检验结果并画出概率函数图。解：令“ξ＝k”与产品为“k等品”（k＝1，2，3）相对应。“ξ＝0”与产品为“废品”相对应。根据题意，其概率函数为：P(ξ=0)=0.1;P(ξ=1)=0.6;P(ξ=2)=0.1;P(ξ=3)=0.2概率分布表为：概率函数图为：例3社会上定期发行某种奖券，每券1元，中奖率为p。某人每次购买1张奖券，如果没有中奖下次再继续购买1张，直至中奖为止。求该人购买次数ξ的分布。解：“ξ＝1”＝“第一次购买的奖券中奖”ξ＝i”＝“购买i次奖券，前i-1次购买的奖券未中奖，第i次购买的奖券中奖”“ξ＝2”＝“购买两次奖券，第一次购买的奖券未中奖，第二次购买的奖券中奖”则概率函数为：概率分布列为：例4盒内装有外形与功率均相同的１５个灯泡，其中１０个螺口，５个卡口，灯口向下放着．现在需要１个螺口灯泡，从盒中任取一个，如果取到卡口灯泡就不在放回去。求在取到螺口灯泡之前已取出的卡扣灯泡数ξ分布。解：“ξ=0”表示第一个就取到了螺口灯泡，“ξ＝1”表示第一个取到卡口而第二个才取到螺口灯泡，同样方法，可以依次计算出P(ξ=k)（ｋ＝2,3,4,5)的概率，列成概率分布如表

几个常用的离散型分布：

1.(0-1)分布(p33)若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从(0－1)分布(两点分布)P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0<p<1)（2.2）k＝0，1或2.离散型随机变量均匀分布如果ξ有概率函数：则称ξ服从离散型均匀分布。3.几何分布：如果ξ有概率函数：则称ξ服从几何分布。例5.某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。解：设Ai第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5则A1,A2,…A5,相互独立且P(Ai)=p,i=1,2,…5.SX={0,1,2,3,4,5},(1-p)5

EX

P554、5、6、7、8(二)随机变量的分布函数

定义2.2(P36)设ξ是随机变量(可以是离散型的,也可以是非离散型的),

对任意实数x，事件{ξx}的概率P{ξx}称为随机变量ξ的分布函数。记为F(x)，即F(x)＝P{ξx}(2.5)

易知，对任意实数a,b(a<b),P{a<ξb}＝P{ξb}－P{ξa}＝F(b)－F(a)(2.6)因此，若已知ξ的分布函数F(x),就能知道ξ在任何一个区间上取值的概率。从这个意义上说，分布函数完整的描述了随机变量的变化情况，它具有下面几个性质：分布函数F(x)的性质④F(x)至多有可列个间断点，而在其间断点上也是右连续的。①0≤F(x)≤1，对一切ⅹ∈(-∞，+∞)成立；

②F(x)是ⅹ的不减函数；③一般地，对离散型随机变量X～P{ξ=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函数为

例6设随机变量ξ具分布律如右表解

ξ012P0.10.60.3试求出ξ的分布函数。例7求P35例３的分<布函数F(x)

解：Ｆ(x)的图形如图所示：分布函数与概率函数满足关系：Ｆ(x)＝离散型随机变量的分布函数的图形是阶梯曲线．它在ξ的一切有概率（指正概率）的点xk都有一个跳跃，其跃度为ξ取值xk的概率Ｐk．而在分布函数的任何一个连续点上，取值的概率都是零，这一点对连续型随机变量也是成立的．(2.7)(三)连续型随机变量的分布尽管分布函数是描述各种类型随机变量变化规律的最一般的共同形式.但由于它不够直观,往往不常用.比如,对于离散型随机变量,用概率函数来描述既简单又直观.对于非离散型变量也希望有一种比分布函数更直观的描述方式.例8在区间[4,10]上任意抛掷一个质点,用ξ表示这个质点与圆点的距离,则ξ是一个随机变量.如果这个质点落在[4,10]上任一子区间内的概率与这个区间长度呈正比,求ξ的分布函数。解：根据题意有ξ可以取[4,10]上的一切实数，“4≤ξ≤10”是一个必然事件，P(4≤ξ≤10)=1.若[c,d]

([4,10],有P(c≤ξ≤d)=λ(d-c),λ为比例常数.特别地,取c=4,d=10,P(4≤ξ≤10)=λ(10-4)=6λ,而已知P(4≤ξ≤10)=1,因此λ=1/6.F(x)的图形如下

在这里,分布函数F(x)是实数上的一个非降有界的连续函数,在整个数轴上没有一个跳跃点(可见,对于这样的随机变量,它取任何一个具体值的概率都是零).比例系数λ,反映了概率分布在区间[4,10]上任意一个子区间[c,d]上的密集程度,记作φ(x)而前面求出的分布函数F(x),恰好就是非负函数φ(x)在实数上的广义积分.即用分布函数描述随机变量不如分布律直观，对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？?ab

定义2.3(p40)

对于随机变量ξ，若存在非负函数φ(x)，(-<x<+)，使对任意实数x，都有则称ξ为连续型随机变量，φ(x)为ξ的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为ξ～φ(x),(-<x<+)ξ密度函数φ(x)具有的性质

(1)非负性φ(x)0，(-<x<)；

(2)归一性性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；密度函数的几何意义为EX例9设随机变量X的概率密度为求常数a.解：∵即例10已知连续性随机变量ξ有概率密度求系数k及分布函数F(x),并计算P(1.5<ξ<2.5)解：计算P(1.5<ξ<2.5)

P(1.5<ξ<2.5)＝F(2.5)－F(1.5)=1－P(ξ<1.5）例2

向[0,1]区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数解：

F(x)=P{X≤x}

当x<0时,F(x)=0;当x>1时,F(x)=1当0≤x≤1时,特别,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1(三)连续性随机变量的分布最后，给出随机变量一个一般的定义定义2.4如果每次试验的结果，也就是每一个样本点ω，都对应着一个确定的实数ξ，并且对于任何实数x,“ξ≤x”有确定的概率，称ξ为随机变量。EXP55111213142.3二元随机变量定义2.5如果每次试验的结果对应着一组确定的实数（ξ1…,ξn），他们是随试验结果不同而变化的n个随机变量，并且对任何一组实数x1,x2,…,xn,事件“ξ1≤x1,…,ξn≤xn”有确定的概率，则称n个随机变量的整体为一个n元随机变量（或n元随机向量）。

定义2.6称n元函数F(x1,…,xn)=P(ξ1≤x1,…,ξn≤xn)(2.10)(x1,…,xn)∈R为n元随机变量的分布函数。一元随机变量X——R1上的随机点坐标二元随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标n元随机变量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的随机点坐标多元随机变量的研究方法也与一元类似，用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律（一）离散型1.联合分布定义2.7如果二元随机变量(ξ,η)所有可能取的数对为有限或可列个，并且已确定的概率取各个不同的数对，则称（ξ,η）为二元离散型随机变量。为了直观，可以把（ξ,η

）所有的可能取值及相应概率列成表（见表2-6），称为（ξ,η）的联合概率分布表。二元随机变量也可以用(X,Y)来表示若二元随机变量(X,Y)只能取至多可列个值

(xi,yj),(i,j＝1,2,…)，则称(X,Y)为

二元离散型随机变量。若二元离散型随机变量(X,Y)取(xi,yj)的概率为pij,则称P{X＝xi,Y＝yj,}＝pij，

(i,j＝1,2,…)，为二元离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X与Y的联合分布律.

可记为

(X,Y)～P{X＝xi,Y＝yj,}＝pij，(i,j＝1,2,…)，(2.11)XYy1y2…yj…

p11

p12...

P1j...

p21

p22...

P2j...

pi1

pi2...

Pij...........................联合分布律的性质(1)pij

0,i,j＝1,2,…

；

(2)x1x2xi二元离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:P43解：试验结果共有4个基本事件组成，相应概率可按公式（1.10）计算：列成概率分布表如表2-7所示。ξ1

ξ201010.10.30.30.3例1同一品种的5个产品中，有2个正品。每次从中取1个检验质量，不放回地抽取，连续2次。记“ξk=0”为第k次取到正品，而“ξk=1”为第k次取到次品(K=1,2）。写出（ξ1，ξ2）的联合分布律。例2.袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次，令,求(X,Y)的分布律。XY1010

2.边缘分布与联合分布的关系

边缘分布律若随机变量X与Y的联合分布律为(X,Y)～P{X＝xi,Y＝yj,}＝pij，i,j＝1,2,…则称P{X＝xi}＝pi.＝，i＝1,2,…(2.12)为(X,Y)关于X的边缘分布律；

P{Y＝yj}＝p.j＝，j＝1,2,…(2.13)为(X,Y)关于Y的边缘分布律。边缘分布律自然也满足分布律的性质。例3将两封信随机的往编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的4个邮筒内投。ξi表示第i个邮筒内信的数目（i=1,2）。写出(ξ1,ξ2）的联合分布及(ξ1,ξ2)中关于ξ1的边缘分布。解:由1.2例3得，试验共有4×4种不同的等可能结果；

于是,(ξ1,ξ2)的联合分布为:

ξ2ξ10120124/164/161/164/162/1601/16009/166/161/16关于ξ1的边缘分布为:ξ1

p09/1616/1621/16例4.已知(X,Y)的分布律为x\y 1 0 1 1/10 3/10 03/103/10求X、Y的边缘分布律。 解： x\y 1 0 pi. 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 p.j

故关于X和Y的分布律分别为：X 1 0 Y 1 0 P2/5 3/5 P 2/5 3/52/53/52/53/5设随机变量X与Y的联合分布律为(X,Y)～P{X＝xi,Y＝yj,}＝pij，(i,j＝1,2,…)，X和Y的边缘分布律分别为3条件分布

离散型随机变量的条件分布律为Y＝yj的条件下，X的条件分布律;若对固定的j,p.j>0,则称同理，对固定的i,pi.

>0,称为X＝xi的条件下，Y的条件分布律;(2.14)(2.15)例3将两封信随机的往编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的4个邮筒内投。ξi表示第i个邮筒内信的数目（i=1,2）。写出ξ2=1条件下关于ξ1的条件分布解:ξ2p02/311/3ξ2=1条件下,ξ1的条件分布例5某射手在射击中，每次击中目标的概率为P（0<p<1），射击进行到第二次击中目标为止，ξi表示第i次击中目标时所进行的射击次数（i=1，2），求ξ1和ξ2的联合分布以及它们的条件分布。解事件“ξ1=i，ξ2=j”表示第i次及第j次击中了目标（1≤i<j），而其余j-2次都没有击中目标。已知各次射击是相互独立的，所以边缘分布为：

对于任意大于1的正整数j=2，3，…，有

ξ1条件分布为：关于ξ2的条件分布为：EX

P5620、21、22、23（二）连续型

1.联合概率密度

定义

2.8(p47)

对于二元随机变量(ξ,η)，若存在一个非负可积函数φ(x,y)，使对(x,y)R2，其分布函数则称(ξ,η)为二元连续型随机变量，φ(x,y)为(ξ,η)的密度函数(概率密度)，或称为ξ与η的联合密度函数，可记为

(ξ,η)～φ(x,y)，(x,y)R2联合概率密度φ(x,y)的性质(p47)

(1)非负性：φ(x,y)0,(x,y)R2;(2)归一性：反之，具有以上两个性质的二元函数φ

(x,y)，必是某个二元连续型随机变量的密度函数。

(3)显然，对任意实数a<b及c<d,有

此外，φ(x,y)还有下述性质(4)若φ(x,y)在(x,y)R2处连续，则有设(ξ，η)是二元随机变量，(x,y)R2,则称F(x,y)=P{ξx,ηy}为(ξ,η)的分布函数，或称为ξ与η的联合分布函数。

联合分布函数(即定义2.6)几何意义：分布函数F()表示随机点(X,Y)落在区域中的概率。如图阴影部分分布函数F(x,y)具有如下性质：且(1)归一性

对任意(x,y)R2,0F(x,y)1,

(2)单调不减

对任意yR,当x1<x2时，F(x1,y)F(x2,y)；

对任意xR,当y1<y2时，F(x,y1)F(x,y2).(3)右连续

对任意xR,yR,

(4)矩形不等式

对于任意(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1<

x2，y1<y2),F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1)0.

反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都可以作为某个二维随机变量(ξ,η)的分布函数。下面给出矩形不等式的几何解释对于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1<

x2，y1<y2),则P{x1<X

x2，y1<yy2}＝F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1).(x1,y1)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)xy称为二元随机变量(ξ,η)关于η的边缘分布函数.

2.边缘概率密度(p47)称为二元随机变量(ξ,η)关于ξ的边缘分布函数；边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些)低维分量的分布。Fξ(x)=P{ξ≤x,-<η<+｝＝P{ξ≤x}Fη(y)=P{-<ξ<+,η≤y｝＝P{η≤y}边缘密度函数为(ξ,η)关于η的边缘密度函数。设(ξ,η)～φ(x,y),(x,y)R2,则称为(ξ,η)关于ξ的边缘密度函数；同理，称例1.设(ξ,η)的概率密度为（1）求常数c;(2)求关于ξ的边缘概率密度解:(1)由归一性3.条件概率密度若φ2(y)>0,称为在η＝y条件下，关于ξ的条件概率密度；若φ1(x)>0,称为在ξ=x条件下，关于η的条件概率密度。(三)随机变量的相互独立性

定义2.9对于任何实数x,y,如果二元随机变量（ξ，η）的联合分布函数F(x,y)等于ξ和η的边缘分布函数的乘积,即则称随机变量ξ与η相互独立。定义:称随机变量ξ与η独立，如果对任意实数a<b,c<d，有p{a<ξb,c<ηd}=P{a<ξb}·P{c<ηd} 即事件{a<Xb}与事件{c<Yd}独立，则称随机变量X与Y独立。不进行证明，下面给出两个随机变量ξ与η独立的充要条件：定理设(ξ，η)是二元连续型随机变量，ξ与η独立的充分必要条件是φ(x,y)=φξ(x)·φη(y)定理设(ξ，η)是二元离散型随机变量，其分布律为Pij=P{ξ=xi,η=yj},i,j=1,2,...，则X与Y独立的充分必要条件是对任意i,j，Pij=Pi

Pj。由上述定理可知，要判断两个随机变量X与Y的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对(ξ，η)的每一对可能取值点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可例2：判断P44例2中ξ1，ξ2

是否相互独立解：由例2中表2-8可得：而易见：∴ξ1，ξ2不独立例3.已知随机变量(X,Y)的分布律为且知X与Y独立，求a、b的值。解：∵a+b=0.6∴b=0.6-aYx1200.150.251ab∵X与Y独立P(x=1,y=1)=P(x=1)P(y=1)=

a

即(a+b)(0.15+a)＝a∴(a+b)(0.15+a)=ab=0.45例4两个连续型随机变量

其概率密度为

解:根据(2.25)式可得EX

P5627、28、292.4随机变量函数的分布定义2.10设ƒ(x)是定义在随机变量ξ的一切可能值x的集合上的函数。如果对于ξ的每一个可能取值x,有另一个随机变量η的相应取值y=ƒ(x)。则称η为ξ的函数，记作η=ƒ(ξ)。如何根据ξ的分布求出η的分布,或由(ξ1,…,ξn）的分布求出η＝f(ξ1,…,ξn）的分布。是我们这节课的学习任务。

设ξ为一个随机变量，分布律为ξ～P{X＝xk}＝pk,k＝1,2,…若η＝f(x)是一元单值实函数，则η＝f(x)也是一个随机变量。求η的分布律.例:已知ξPk-101求：η=ξ2的分布律ηPk10

一、离散型随机变量函数的分布律例1测量一个正方形的边长，其结果是一个随机变量ξ（简便起见把它看成是一个离散型的）。ξ的分布如表2-11解η和ζ都是ξ的函数,且η=4ξ,ζ=ξ2。事件“η=36”即“4ξ

=36”与“ξ

=9”相等，故P{η=36}=P{ξ

=9}。依此计算,可得表2-12。ξP90.2100.3110.4120.1求周长η和面积ζ的分布律。表2-11同样地，ξ的分布律如表2-13所示。表2-13ξP90.2100.3110.4120.1η=4ξP360.2400.3440.4480.1ζ=ξ2P810.21000.31210.41440.1表2-12例2ξ的分布如表2-14：ξP-10.200.110.31.50.330.1解事件“ξ2=0”，“ξ2=2.25”,“ξ2=9”,分别与事件“ξ=0”,“ξ=1.5”,“ξ=3”相等,其概率当然分别相等。事件“ξ2=1”与两个互斥事件“ξ=-1”及“ξ=1”的和相等，其概率是这两个事件概率的和。ξ2的分布如表2-15所示。表2-15ξ2P00.110.52.250.390.1表2-14求ξ2的分布。例3一个仪器由两个主要部件组成,其总长度为此二部件长度的和,这两个部件的长度ξ和η为两个相互独立的随机变量,其分布律如表2-16、2-17所示。求此仪器长度的分布律。ξP90.3100.5110.2ηP60.470.6

解设仪器总长度为ζ=ξ+η,其可能取值如表2-18所示:ξηζ=ξ+η9615971610616107171161711718表2-16表2-17

P(ζ=15)=P(ξ=9,η=6)=P(ξ=9)P(η=6)=0.3×0.4=0.12P(ζ=16)=P(ξ=9,η=7)+P(ξ=10,η=6)＝0.3×0.6+0.5×0.4＝0.38

ζP150.12160.38170.38180.12同样方法可得P(ζ=17)=0.38P(ζ=18)=0.12因而的分布律如表2-19所示。表2-19解：ξ1+ξ2

只可能取0，1，2三个值。P(ξ1+ξ2=0）=P(ξ1=0,ξ2=0）=4/16P(ξ1+ξ2=1)=P(ξ1=0,ξ2=1)+P(ξ1=1,ξ2=0)=8/16P(ξ1+ξ2=2)=P(ξ1=1,ξ2=1)+P(ξ1=0,ξ2=2)+P(ξ1=2,ξ2=0)=4/16

ξ1+ξ2P01/411/221/4例4求2.3例二中前两个邮筒