高中数学人教A版1本册总复习总复习 市赛获奖2

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。综合质量评估第一至第三章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2023·莱芜高二检测)下列四个命题中，真命题为()是偶数且是无理数B.有些梯形内接于圆C.空间中的两个向量可能不共面D.∀x∈R，x2-x-1≠0【解析】选是有理数，故A错误；空间任何两个向量都共面，故C错误；由x2-x-1=0得x=1±52，存在x=1±2.“x2=4”是“x=2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由于x=2⇒x2=4，而x2=4x=2，所以“x2=4”是“x=2”的必要而不充分条件.3.(2023·安阳高二检测)命题p：“∀x∈[1，2]，2x2-x-m>0”，命题q：“∃x0∈[1，2]，log2x0+m>0”.若“p∧q”为真命题，则实数m的取值范围为()<1 >-1<m<1 ≤m≤1【解析】选C.由“p∧q”为真命题知p，q都是真命题，命题p是真命题，即m<2x2-x，对x∈[1，2]恒成立，得m<1；命题q是真命题，即∃x0∈[1，2]，-m<log2x0，只要-m<(log2x0)max=1，即m>-1.由p，q均为真命题知-1<m<1.4.双曲线x216-y2 B.14 【解析】选B.设双曲线x216-y29=1的左、右焦点分别为F1，F2，由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a=8，又|PF【补偿训练】已知双曲线的渐近线方程为y=±3x，焦点坐标为(-4，0)，(4，0)，则双曲线方程为()x28y224=1x224y28=1 【解析】选D.由已知得双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为x2a2由题意得a2+b2=16,所以双曲线方程为x24-5.(2023·聊城高二检测)对∀k∈R，方程x2+ky2=1所表示的曲线不可能是()A.两条直线 B.圆C.椭圆或双曲线 D.抛物线【解析】选D.根据方程特征只含x2，y2项，知它不可能表示抛物线.6.(2023·青岛高二检测)已知空间向量a=(1，n，2)，b=(-2，1，2)，若2a-b与b垂直，则|aA.532 B.212 C.372【解析】选D.2a-b=(4，2n-1，2)，由2a-b与b垂直知(2a-b)·b所以|a|=1+254+4=7.已知A(2，1，0)，点B在平面xOz内，若直线AB的方向向量是(3，-1，2)，则点B的坐标是()A.(5，0，2) B.(1，-2，2)C.(2，0，5) D.(2，-2，1)【解析】选A.设B(x，0，z)，则AB由题意得x-23=-1所以点B的坐标为(5，0，2).8.(2023·绥化高二检测)方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1(|m|>|n|>0)的曲线在同一坐标系中的示意图可能是()【解析】选A.方程mx+ny2=0可化为y2=-mn方程mx2+ny2=1可化为x21m对于A，由抛物线知-mn>0，由双曲线知1m<0，对于B，由抛物线知-mn<0，由双曲线知1m<0，对于C，由抛物线知-mn>0，由椭圆知1m>对于D，由抛物线知-mn<0，由椭圆知1m>其中1m>19.过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角为135°的直线，交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为() B.8 【解析】选D.抛物线y2=8x的焦点F(2，0)，所以直线AB方程为y=-x+2，代入y2=8x得x2-12x+4=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=x1+x2+4=12+4=16.10.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE→·14 122 【解析】选A.如图，AE→=12(AB→+AC→)，AF→=12AD→，AE=14(a2cos60°+a2cos60°)=14a11.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中点，则异面直线BC1A.1010 B.3010 C.21510【解析】选B.建立坐标系如图，则A(1，0，0)，E(0，2，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，2)，BCAEcos<BC1→，AE→所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为3010【延伸探究】本题中若将E为CC1的中点改为M是AB的中点，其他条件不变，试计算sin<DB1→【解析】建立坐标系如图，则D(0，0，0)，B1(1，2，2)，C(0，2，0)，M(1，1，0)，所以DB1→故cos<DB1→，CM→所以sin<DB1→，CM→12.(2023·烟台高二检测)椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上任一点，且|PF1→|·|PF2→A.33,2C.33,1 【解析】选A.由题意知|PF1→|+|P所以|PF1→|·|PF2→|≤|PF1→|+|PF2→|22=a2，当且仅当|PF1→|二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知直线l1，l2的方向向量分别为a=(1，2，4)，b=(-1，-2，m)，且l1∥l2，则m的值为.【解析】由l1∥l2，知a∥b，故m=-4.答案：-414.命题“若x>0，则x2>0”的否命题为.【解析】命题“若x>0，则x2>0”的否命题为“若x≤0，则x2≤0.”答案：若x≤0，则x2≤015.(2023·长沙高二检测)如图，椭圆x216+y212=1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使点A2在平面B1A1B【解析】由题意知折成二面角后，A1O⊥B1B2，A2O⊥B1B2，所以∠A1OA2是此二面角的平面角，因为椭圆x216+y2所以半焦距c=a2-b所以|OF1|=2，|A2O|=4，又因为A2F1⊥平面B1A1B所以∠A2F1所以cos∠A1OA2=|OF1||所以∠A1OA2=π3答案：π16.(2023·福州高二检测)方程x|x|4+y|y|=-1确定的曲线即为y=f(x)的图象，①f(x)单调递增；②函数g(x)=2f(x)+x不存在零点；③f(x)的图象与h(x)的图象关于原点对称，则h(x)的图象就是方程y|y|4④f(x)的图象上的点到原点的最小距离为1.则上述结论正确的是(只填序号).【解析】对于①，当x≥0且y≥0时，方程为x24+y当x<0且y<0时，方程为x24+y此时y=-1-当x≥0且y<0时，方程为x24-y此时y=-x2当x<0且y≥0时，方程为-x24+y2因此作出函数的图象，如图所示.由图象可知函数在R上单调递减，所以①不成立.对于②由g(x)=2f(x)+x=0得f(x)=-12因为双曲线x24-y2=-1和-x24+y所以函数y=f(x)与直线y=-12因此g(x)=2f(x)+x不存在零点，可得②正确.对于③，若函数y=h(x)和y=f(x)的图象关于原点对称，则用-x，-y分别代替x，y，可得-y=f(-x)就是y=h(x)表达式，可得h(x)=-f(-x)，则函数y=h(x)的图象是方程x|x|而不是方程y|y|对于④，由图象可得，f(x)的图象上的点(0，-1)到原点的距离最小，且为1，所以④正确.答案：②④三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2023·大连高二检测)已知命题p：方程x22-m+y2m-1=1所表示的图形是焦点在y轴上的双曲线；命题q：方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根；又p∨q为真，【解析】因为方程x22-m+y2故命题p：m>2.又因为4x2+4(m-2)x+1=0无实根，所以Δ=[4(m-2)]2-4×4×1<0，即m2-4m+3<0，解得1<m<3.又因为p∨q为真，q为真，所以p真，q假，即m>2,综合上述，实数m的取值范围为[3，+∞).18.(12分)(2023·厦门高二检测)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1.(1)证明：BM⊥AN.(2)求直线MN与平面PCD所成角的正弦值.【解析】如图，以A为原点，分别以AB→，AD→，P(0，0，2)，M(1，2，1)，N(2，1，0).(1)AN→=(2，1，0)，所以AN→·所以AN→⊥(2)设平面PCD的法向量为n=(x，y，z)，PC→=(2，4，-2)，取y=1，得平面PCD的一个法向量为n=(0，1，2)，设直线MN与平面PCD所成角为θ，则由MN得sinθ=|cos<MN→，n19.(12分)(2023·石家庄高二检测)已知双曲线x2-2y2=2的左、右焦点分别为F1，F2，动点P满足|PF1|+|PF2|=4.(1)求动点P的轨迹E的方程.(2)若M是曲线E上的一个动点，求|MF2|的最小值，并说明理由.【解析】(1)F1(-3，0)，F2(3，0)，且|PF1|+|PF2|=4，所以P点的轨迹E是以F1，F2为焦点的椭圆，且a=2，c=3，b=1，所以轨迹方程为：x24+y(2)设M(x，y)，则x24+y即y2=1-x2所以|MF2|=(x-3=32x-22因为M(x，y)在x24+y故|MF2|=2-32于是|MF2|有最小值2-3.20.(12分)(2023·浙江高考)如图，已知抛物线C1：y=14x2，圆C2：x2+(y-1)2=1，过点P(t，0)(t>0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，(1)求点A，B的坐标.(2)求△PAB的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.【解题指南】(1)设出直线PA的方程，通过联立方程，判别式为零，得到点A的坐标；根据圆的性质，利用点关于直线对称，得到点B的坐标.(2)利用两点间距离公式及点到直线的距离公式，得到三角形的底边长与底边上的高，由此计算三角形的面积.【解析】(1)由题意可知，直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y=k(x-t)，所以y=k(x-t),x2-4kx+4kt=0.因为直线PA与抛物线相切，所以Δ=16k2-16kt=0，解得k=t.所以x=2t，即点A(2t，t2).设圆C2的圆心为D(0，1)，点B的坐标为(x0，y0)，由题意知，点B，O关于直线PD对称，故有y解得x0=2t1+t2，y即点B2t(2)由(1)知，|AP|=t1+直线AP的方程为tx-y-t2=0，所以点B到直线PA的距离为d=t2所以△PAB的面积为S=12|AP|·d=t【补偿训练】已知直线x+y-1=0与椭圆x2+by2=34相交于两个不同点，【解析】由x得(4b+4)y2-8y+1=0.因为直线与椭圆相交于不同的两点，所以4b+4≠0,又方程x2+by2=34所以b>0，且b≠1.综上，实数b的取值范围是{b|0<b<3且b≠1}.21.(12分)(2023·全国卷Ⅱ)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=54,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置,OD′=10(1)证明:D′H⊥平面ABCD.(2)求二面角B-D′A-C的正弦值.【解析】(1)因为AE=CF=54所以AEAD=所以EF∥AC.因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD,所以EF⊥BD,所以EF⊥DH,所以EF⊥D′H.因为AC=6,所以AO=3;又AB=5,AO⊥OB,所以OB=4,所以OH=AE所以DH=D′H=3,所以|OD′|2=|OH|2+|D′H|2,所以D′H⊥OH.又因为OH∩EF=H,所以D′H⊥平面ABCD.(2)建立如图所示的坐标系,设二面角B-D′A-C的平面角为θ.B(5,0,0),C(1,3,0),D′(0,0,3),A(1,-3,0),ABAD'→=(-1,3,3),设平面ABD′的法向量为n1=(x,y,z),由QUOTEn1·AB→=0,得4取x所以n1=(3,-4,5).设平面ACD′的法向量为n2=(a,b,c),由QUOTEn1·AC→=0,得6取a所以n2=(3,0,1),所以|cosθ|=QUOTE|n1·n2||n1||所以sinθ=29522.(12分)(2023·天津高考)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(-c，0)，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2(1)求直线FM的斜率.(2)求椭圆的方程.(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.【解题指南】(1)由椭圆知识先求出a，b，c的关系，设直线FM的方程为y=k(x+c)，求出圆心到直线的距离，由勾股定理可求斜率k的值.(2)由(1)设椭圆方程为x23c2+y2(3)设出直线FP：y=t(x+1)，与椭圆方程联立，求得t=6-2x2【解析】(1)由已知有c2a2=13，又由a2=b2+c2，可得a2=3c2，b2设直线FM的斜率为k(k>0)，则直线FM的方程为y=k(x+c).由已知，有kck2+12+c(2)由(1)得椭圆方程