八章 试验设计

八章试验设计一、试验设计二、单因素实验法三、多因素实验法四、方差分析五、正交试验六、信噪比

第一节试验设计(优选法)

优选法，是一种根据生产和科研中的不同问题，利用数学原理，合理的安排试验点，以求迅速找到各种因素的最佳点的科学的实验方法。

最优化方法间接最优化方法（或称解析最优化方法）直接最优化方法（或称试验最优化方法）

是把所研究问题用数学表达式描述出来，即建立数学模型，然后，用解析方法求解，以达到最优化目的。这种情况只有在对所研究问题的基本规律或对其机理比较清楚的情况下才有可能

一种是通过大量实验，构成一类函数关系（如正态分布、泊松分布、二项分布等）来逼近这些试验数据，再从该函数关系中求出最优解。

另一种办法是直接通过少量试验，根据试验结果的比较来求得最优解，以达到解决问题的目的。（这就是试验设计中的优选法。）

优选法的目的，就是通过合理的安排试验点，以较少的试验次数、较低的试验成本，迅速得到满意的结果。这也就是“试验设计”要解决的问题。优选法的一个特点就是不必事先知道所求目标的数学表达式。

所有选择最佳点的问题，都称之为优选问题，也就是最优化问题。解决最优化问题的方法称为优化方法或优选方法。一、概述实验设计法是英国学者费舍尔(R．A．Fisher)在20世纪20年代为使农业试验合理化而提出的一种用于安排实验和分析实验数据的数理统计方法。

最初，欧美各国主要将此方法应用于生物学、医学等领域的科学研究。第二次世界大战之后，实验设计法在工业中得到推广和应用。日本学者田口玄一首先将实验设计法成功地应用于新产品的开发设计.

实验设计法主要解决的是多因素条件实验的问题。二、田口方法简介（三次设计）

三次设计是日本学者田口玄一独创的质量工程学(国际上通常称为“田口方法”)中的主要内容，是建立在实验设计技术基础之上的一种在新产品开发设计过程中进行三段设计的设计方式。三次设计以实验设计法为基本工具，在产品设计上采取措施，系统地考虑问题，通过对零部件或元器件的参数进行优选，以求减少各种内、外因素对产品功能稳定性的影响，从而达到提高产品质量的目的。

（一）质量波动的原因

引起产品质量波动或引起产品功能偏离目标值的原因(又称噪声、干扰)来自以下三个方面：

1．外噪声。

由于环境因素与使用条件变化，会使产品不能正常发挥其功能。例如一台电动机的转速随外部环境条件，诸如温度、湿度、电源电压等的波动而有较大变化时，则此电动机是抗外噪声影响性能低下的电动机。

产品在贮存或使用中，由于材料老化或零部件磨损，将逐渐使产品功能发生变化。例如由于绝缘材料老化，润滑油干燥，轴承磨损等原因，使电动机不能正常运转。这种使产品功能波动的原因存在于产品内部，故称为内噪声。

按同一规格和条件生产出来的一批产品，在同样的环境条件下使用，各产品的质量也会有差别。这种差别虽无法预测，但它们服从一定的统计规律，因此引起这种质量波动的原因称为随机噪声。例如，同类型钟表均能走时准确，则这些钟表的功能没有差别，是制造质量优良的产品。一般说来，抑制随机噪声是制造过程质管应解决的问题，而减少内、外噪声的影响，则主要是在设计阶段。三次设计正是解决后一问题的有效方法。2．内噪声。3．随机噪声。

三、实验设计的基本原则

(一)重复实验原则重复实验主要是指，在相同的实验条件下，通常应重复实验两次以上。

主要是为了对实验结果进行分析时能定量地评价误差的大小，消除偶然误差和试验误差。除此之外，重复正好使一个因子的某个水平与其他因子的各水平都组合到，因而更能真实地反映该因子的水平效果，为选优提供可靠的依据。

1、系统设计是指产品的功能设计。系统设计阶段是应用专业技术进行产品的功能设计和结构设计的阶段。在一定的意义上，系统设计可以认为就是传统的产品设计。但是，它是三次设计的基础。通过系统设计可以帮助我们选择需要考察的因子及其水平。2、参数设计阶段是确定系统中各参数的最佳组合的阶段。参数设计是三次设计的核心内容。3、容差设计是参数设计的补充。容差也就是容许偏差或公差。确定这些参数波动的容许范围，参数设计、容差设计要用到实验设计法。（二）三次设计

实验设计实验实施实验结果分析首先要明确实验目的，即追求的指标是什么，要考察的因素有哪些，以及它们的变动范围，并根据实验目的合理地制定实验方案。在进行实验时，往往会存在有可能给实验结果带来具有某种倾向性影响的因素(引起系统性误差的因素)。为减少此影响，一般应随机地安排各实验的实验顺序，即应遵循实验顺序随机化的原则。完整的实验确定所考察的因素哪些是主要的，哪些是次要的，进而确定最佳的条件组合。(二)实验顺序随机化原则

通过实验顺序随机化，将系统性误差转变为偶然性误差。

(三)分块实验原则

遵循分块实验原则进行实验，就是要消除系统误差对实验结果的影响。

第二节单因素试验设计

单因素优选法，已有一套比较成熟的方法，诸如对分法、0.618法、分数法、均分法、分批试验法、爬山法、抛物线法等等。一、目标函数的讨论

将试验结果（y）和因素取值（x）写成数学表达式，就叫做目标函数。即：目标函数为：y=f（x）根据具体的要求，在因素的最优点，就是目标函数取最大值、最小值，或满足某种规定的要求。

对于不能写出目标函数，甚至试验结果不能定量表示的情况，如产品外观的颜色、化工产品的气味等，就用结果好坏来评定试验结果。为了方便起见，都用目标函数y=f（x）的形式进行讨论。优选法可以分为单因素优选法和多因素优选法两类。

当优选的目标主要只考虑一个因素时，就是单因素的优选问题；当优选的目标是要考虑两个或两个以上因素时，就是多因素的优选问题。在讨论目标函数时，应注意确定其影响因素的取值范围，即包含最优点的试验范围。以a、b表示试验范围的上、下限，则试验范围为从a到b，用[a，b]表示。这时，试验点在[a，b]内，即a≤x≤b。在试验设计中，对单因素试验问题的目标函数常有以下两种：

1、单调函数

所研究的目标函数在区间[a，b]上单调增加或减少。即试验的结果与因素改变方向相同时，称为单调函数。

2、单峰函数

所研究的目标函数在区间[a，b]上为单峰。

即试验的结果只有一个最优点x*，而在最优点x*的左侧，函数严格增加，在最优点的右侧函数严格减少时，称为单峰函数。

二、对分法

对分法也叫平分法、取中法，适用于试验范围[a，b]内，目标函数为单调(连续或间断)的情况下，求最优点的方法。

即如果每作一次试验，根据结果可以决定下次试验的方向时，就可以应用对分法。

对分法的作法是：每次取优选因素所在试验范围〔a，b〕的中点处c做试验。其计算公式是：

c＝(a+b)/2每做一次试验后，根据试验结果确定下次试验的方向。如下次试验在高处，就把此次试验点c以下的一半范围[a，c]划占；反之，就把另一半范围〔c，b〕划去。这样，每试验一次，试验范围就缩小一半，重复地做下去，直到找出满意的试验点为止。

例：某毛纺厂为解决色染不匀问题，优选起染温度、采用对分法。具体如下。原工艺中的起染温度为40℃，升温后的最高温度达100℃，故试验范围先确定在40℃～100℃。第一次试验点c＝(40+100)/2＝70℃，选在70℃，试验结果过去常有的外红里浅现象大有好转，起温还可以增高。即将40～70℃这一段划掉。第二次试验点选在70℃～100℃的中点[c＝(70+100)/2＝85℃]85℃，试验结果出现红里透黑，染色太深，起温过高，应降低，将85℃～100℃划掉。第三次试验点选在70℃～85℃的中点77．5℃[(70+85)/2=77．5℃]，试验结果色染深浅适度，里外匀一，反复验证后均感满意。为操作方便，最后选为80℃为起染温度。对分法的优点是简单易行，但其应用要具备两个条件：

①要有一个现成的标准(或指标)来衡量试验的结果。②能预知该因素对指标的影响规律，即能从一个试验结果直接分析该因素取值偏大还是偏小。三、0.618法

0.618法又叫黄金分割法。这种方法是在试验范围内[a，b]首先安排两个试验点，再根据两点试验结果，留下好点，去掉不好点所在的一段范围，再在余下的范围内继续寻找好点，去掉不好的点。如此继续地作下去，直到找到最优点为止。

0.618的作法是：第一个试验点x1安排在试验范围[a，b]的0.618处，第二个试验点x2安排在试验范围(a，b)的0.382处，即0.618处的对称点，这时x1与x2在试验范围[a，b]内互为对称点，这两点的位置可用对称公式表示如下:

x1＝a+0.618(b-a)x2＝a+b-x1

式中a为试验范围的小头，b试验范围的大头，上面对称公式也可以写成第一点＝小+0.618(大-小)第二点=小+大-第一点(前一点)（前一点是经过试验后留下的好点。）使用这种方法，一是要记住一个常数即0.618，二是记住二个公式即前面的两个公式,用对称原理找新试验点直到满意为止。abx1x2小大大小x3

x1x4例：铝铸件最佳浇铸温度的优选试验。某厂铝铸件壳体废品率高达55％，经分析认为铝水温度对此影响很大，现用0．618法优选。优选范围在690℃～740℃之间。优选过程如下:第一点＝690+(740-690)×0．618＝720．9≈721℃第二点＝690+740-721＝709℃两点相比，第一点合格率低，故去掉721～740℃，下一段在690～721℃中优选。第三点＝690+721-709＝702℃比较第二、三点，第三点合格率较高，故去掉709～721℃一段，在690～709℃中优选。第四点=690+709-702＝697℃比较第三、四点，第四点较好，合格率达到95％。第五点＝690+702-697＝695℃比较第四、五点，结果四、五点差别不大故停止优选。最后确定铝水温度在690～700℃之间，合格率由45％提高到95％。

0.618法要求试验结果目标函数f(x)是单峰函数，即在试验范围[a，b]内只有一个最优点d，其效果f(d)最好，比d大或小的点都差，且距最优点d越远的试验效果越差。这个要求在大多数实际问题中都能满足。但也有不能满足的情况，此时不能用0.618法。

四、分数法分数法的基本原理与0.618相同，适用于试验范围[a，b]内目标函数为单峰的情况。但与0.618法不同之处在于要求预先给出试验总数，或者可由已确定的试验范围和精确度计算出试验总数的情况。

如当试验点只能安排在一些离散点(非连续点)上时，如机床的转速有若干档次，采用分数法比0.618法更为方便。

分数法中的分子是费波那(Fibonacci)奇数序列,如用F0，F1，F2，……Fn代表这个数列，则费波那奇数满足下列递推关系

Fn=Fn-1+Fn-2(N≥2)当F0＝F1＝1确定之后，费波那奇数序列就完全确定了，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……序列(Fn)就称为费波那奇数序列，我们再令Gn为1/2，2/3，3/5，5/8，8/13，13/21，21/34，34/55，55/89……对应序号ni为1,2,3,4,5,6,7,8,9……当n无限增大时，可以证明Gn趋向0.618，因此序列(Gn)中任一个分数都可以作为0.618的近似值。

分数法的作法是：首先确定试验次数n，它等于分数列(Gn)中某个分数Gn的序号ni，第一个试验点用分数Gn代替0.618，其余计算公式和步骤与0.618法完全一样。例：机加中对转速分成若干档的机床进行优选，如车床C6140共分12档，见表8-1

表8—1

使用分数法寻找最佳转速作法如下：

第一步找序列(Gn)中分母大于12的最小分母相应的Gn，本例为G5＝8/13，因此8/13是第一个试验点，即先在第八档转速240转／分上做试验。而整个试验次数为G5的序号，即n＝5，第二个试验点可利用0．618法公式算出：第二点=1+12-8＝5即在第五档95转／分做试验，然后比较这两转速的好坏，若第八档好，再使用对称原理，第三次做试验第三次试验为第三点＝5+12-8＝9下一步就在第九档350转／分做试验，如此等等，最多做5次就能找到最好的转速。从上例可得出分数法的一般步骤：

①根据试验范围确定试验次数。如果试验范围有K个等级，则从序列(Gn)中找出不小于K的最小分母相应的Gn，则试验次数等于n.②第一个试验点取在Gn的分子上。③以下的点按照0．618法找对称点继续做试验。

档位123456789101112转速(分/转)23324867951351902403504856901000五、均分法均分法是在试验范围[a，b]内，根据精度要求和实际情况、均匀地排开试验点，在每一个试验点上进行试验，并相互比较，以求得最优点的方法。

均分法的作法是：如试验范围L＝b-a，试验点间隔为l，则试验点n为：n

例如对采用新钢种的某零件进行磨削加工，砂轮转速范围为420转／分～720转／分，拟经过试验找出能使光洁度最佳的砂轮转速值。为此，根据规定的转速范围和以往实践经验，可取试验间隔N＝30转／分，则这时

n

即分为11个试验点，每个试验点相隔30转／分，这样转速分别为420，450，480，510，540，570，600，630，660，690，720转／分时进行试验，并测得光洁度结果以进行比较，比较结果，最后确定砂轮转速为600转／分时，该零件光结度最好，选用之。

这种方法的特点是对所试验的范围进行“普查”，

均分法的各点试验可以同时进行，以节约时间；并且对目标函数没要求。可假设目标函数是任意的情况，其试验精度取决于试验点数目的多少。是将所有可能的试验同时安排，并根据试验结果找出最好点的方法。如均分法是在前面试验结果的基础上确定下面的试验点，即不能同时进行。如平分法、0.618法、分数法六、分批试验法

为了取二者之长，可采用分批试验法。

分批试验法是将全部试验分几批作，一批同时安排几个试验，这样可以兼顾试验设备，代价和时间上的要求。分批试验法适用于：

1、预先能够确定总的可能试验个数，即已知试验的范围和要求的精确度。2、事先限定试验的批数和每批的个数。如果各批试验数目相同，则可根据预给的要求进行试验。同时试验法序贯试验法特点是试验总时间短，但试验次数比较多，如果每个试验代价不大，又有足够的设备，是可以采用的。特点是总的试验次数少，而试验周期为每次试验时间的叠加，因此要用较多的时间。分批试验法以每批作两个试验为例，来说明其方法如下。

若只作一批试验，可把试验平分为三等分，在两个分点上作试验，如下图8-2（a）所示。若作两批试验，可把试验范围平分为7等分，在第3、4两点上作第一批试验，如4点好，则作5、6两点，如3点好，则作1、2两点，如图8-2（b）所示。如作三批试验，可把试验范围平分为15等分，第一次在7、8两点作试验，如7点好，则把8点以上范围划去；如果8点好，则把7点以下范围划去，在余下的部分作第二次试验，见图8-2（c）所示。仿此，可以推出更多的批试验来。a0124b01234567123456789101112131415c图8-2根据每批试验数，其试验范围等分份数见等分份数表。

例如，为了对某坦克零件在保持冲击韧性的情况下，考虑回火温度对强度的影响，并进行优选，试验范围是200℃∽340℃，每批作两个试验，分三批进行。则由等分份数表可得试验范围等分份数为

如下图8-3所示。

图8-3回火温度等分份数图

试验时先作7、8两点，得出8点好，舍去7点以下范围，作11、12点，得出11点好，舍去12点以上范围，作10点与11点比较，得出10点好。这时就找到了最佳回火温度为290℃。

200210220230240250260270280290300310320330340123456789101112131415七、单因素试验方法的精确度比较

试验精确度是指上述各种试验方法得到的最优点与真正最优点的差异，即最大可能距离。如试验范围[a，b]，长为l=b-a。如果相邻两试验点间距离相等，则n次试验后各种实验方法的精确度如下：

平分法：c=l/2n均分法：c=l/（n+1）0.618：c=l/（1.618）n分数法：c=l/Fn+1

如果使精确度c=1时，作n次试验对应的试验范围长度可用Ln表示，称为n次试验的“搜索范围”。各种试验方法的搜索范围如下：

平分法：Ln=2n均分法：Ln=n+10.618：Ln=（1.618）n分数法：Ln=Fn+1

当试验次数增加时，搜索范围增加的速度称为这些方法的“搜索效率”。均分法的搜索效率最低，搜索范围每增加一单位，都要以增加一个试验为代价。平分法的搜索效率最高，由23=8，24=16，210=1024。可见，约增加3.33个试验就可以把试验范围扩大一个数量级。0.618法由（1.618）5=11.089可见，每增加5个试验，搜索范围可扩大一个数量级。分数法也是每增加5个试验，搜索范围可扩大一个数量级。由公式知，当已知试验次数n后，可以得出搜索范围Ln。这时，如果试验范围l确定，则试验精确度c=l/Ln随之确定。第三节多因素试验法一、因素轮换法

因素轮换法又称为“坐标轮换法”或“从好点出发法”，是处理多因素问题的一种方法。

因素轮换法的原理是利用单因素方法来解决多因素的问题。简言之，如有n个因素，就先将后n-1个因素分别固定在一个水平上，只对第一个因素x1进行单因素优选，得最优值x1（1），然后将x1固定在试验最优值x1（1）水平上，并保持后n-2个因素的水平不变，再用单因素方法对x2进行优选。总之，每优选一个因素时，将其它因素固定之。当n个因素x1，x2……，xn依次优选一轮后，再从x1开始进行第二轮优选。一般，对进行优选的因素常采用0.618法进行。

例如对某产品液压装置中的单向阀的直径、长度、复位弹簧力进行优选，要求在达到保证正确开闭的要求下有较大的开启距离。根据结构要求和实际经验分别确定：单向阀直径：25∽40mm；单向阀长度：30∽60mm；复位弹簧力：0.5∽5kg。利用因素轮换法进行优选，按下列步骤进行：x(2)x(1)xyy(1)y(2)01、固定弹簧力为1kg，单向阀长度为40mm，优选单向阀直径，得最优尺寸为36mm；2、固定单向阀直径为36mm，复位弹簧力为1kg，优选单向阀长度，得最优尺寸为45mm；3、固定单向阀直径为36mm，单向阀长度为45mm，优选复位弹簧力，得最优值为1.5kg。这时，已满足设计要求，不需要在进行试验。

二、随机试验法（又称统计试验法）

这种方法是利用概率统计中随机选点的概念来进行试验设计，由于是从随机选点的概念出发，它有以下特点：

1、对目标函数没有更多要求，可以是单调的，单峰的或者多峰的，因此，适用范围不必受到限制。2、不论单因素问题或多因素问题均可使用，特别是因素较多时更能显示其优越性。3、此方法如果试验设备允许，可以一次同时进行。因此，具有同时试验法的优点。当然，如果条件不允许，也可以分批或逐个安排试验。下面我们以双因素优选为例来说明随机试验法。

设有两个因素x和y，试验范围是：0≤x≤100≤y≤5

我们可以用一个长方形表示其范围，在长方形中，按等分划为50个小长方形，以每一个小长方形的中心点为代表，则成为50个点，划分长方形多少取决于要求精度和试验可能性。如下图8-4。

假设长方形范围内50个点中有10个好点，40个坏点，从10个好点中取其一。而10个好点占总点数的10/50=20%，那么，随机抽取出这个点正好是10个好点之一的概率为0.2，而是坏点的概率为：1-0.2=0.8。如连续随机抽取两点作试验都是坏点的概率为：（0.8）2=0.64如连续随机抽取五点作试验,都是坏点的概率为:

（0.8）5=0.328如连续随机抽取十点作试验都是坏点的概率为:

（0.8）10=0.107

y54321012345678910x图8-4

这时,十次试验中至少有一次遇到好点的概率为:1-0.107=0.893

一般地,我们已知从总试验点数N中选出好点的概率为q,则1-q为从总试验点数N中选出坏点的概率,那么,在连续作n此试验中，至少有一次遇到好点的概率设为P，则

P=1-（1-q）n

由上式可见，当q一定时，要求P越高，试验次数就越多。同样，当P一定时，要求q越小，试验次数也越多。

例如规定q=0.3，而n=10时，则有：

P=1-（1-q）n=1-（1-0.3）10=0.972

对于选取试验点，必须避免主观因素，真正做到随机选取，可用查随机数表法，掷骰子法等，这样才能得到统计上保证的概率，才能找到好点。

第四节方差分析

在生产、科研试验中，当所控制的条件不同时，结果往往有变化。我们想弄清楚这不同的结果是由于条件不同造成的，还是有一些随机因素干扰所致。同时，影响结果的条件常常不止一个。如对金属零件进行热处理，采用不同的加热温度、保温时间、冷却方式……、所得到的硬度、强度等性能不同。那么加热温度、保温时间、冷却方式等数条件中，哪个对其硬度、强度影响显著，哪个影响不显著呢？方差分析正是分析试验数据，找出影响显著的因素的一种有效工具。

一般将衡量生产或科研结果好坏的标准称为“指标”，用符号x、y、……表示；把影响指标的所控制的具体条件称为“因素”，用A、B、C、……等表示；把各因素在其变化范围内所处具体状态称为“水平”，用下标1、2……等表示。如因素A在试验时取了三个具体状态，则分别用A1、A2、A3表示。

方差分析就是分别将各因素水平不同所引起的试验指标波动和误差引起的试验指标波动区别开来，并比较两类影响，从而判断各因素对试验指标的影响是否显著及显著到何种程度。在此基础上可得出最优工艺条件。也就是在数据总波动中，分清各因素变动及误差（原因不明的变动）对数据的影响（图8-5）因素A的变动因素B的变动因素C的变动误差图8-5数据总波动各因素波动——必然因素（条件变差）误差的波动——偶然因素（随机变差）比较并找出影响大的因素指导行动

方差分析广泛应用于许多领域中，不仅对一般因素试验、正交试验数据分析十分有用，而且其思想也适用于数理统计的许多方法。

例：为了探求合适的回火温度以提高某种钢材的硬度，在其它因素都加以控制的情况下，对不同的回火时间做几次试验，结果为下表8-2：表8-2

由于随机变差的存在，我们难以确定不同的回火时间是否确实对钢材硬度有影响，最佳回火时间究竟取50分钟好还是60分钟好？甚至可以怀疑不同回火时间造成的条件变差是否存在，有可能这12个数据之间的差异都仅是试验误差的反映。

方差分析的目的就是通过对试验数据之间的差异的分析来确定某种因素产生的条件变差是否存在。

如果通过方差分析，确定该试验的结果中，回火温度的条件变差是存在的，那么，我们就可以找到最佳的回火温度，提高钢材的硬度。上例解为：回火时间(分）钢材硬度40181187191#185（偶然变差）50200##19019818860192198#204##202#（条件变差）组间平方和=4×[（186-193）2+（194-193）2+（199-193）2]=344组内平方和=52+104+84=240总偏差平方和=240+344=584

查F分布：F0.95[(3-1),(12-3)]=F0.95(2,9)=4.26F=6.45>4.26,

组间差异显著

方差分析是确定条件变差是否存在的一种有用的统计分析方法。根据分析因素的多少，一般又可分为单因素方差分析、双因素方差分析和多因素方差分析。一、方差分析的数学原理

单因素方差分析又可称一元配置法。如果仅考察一个因素A对特性值的影响，在试验时让其它因素保持不变，而只改变因素A的状态，这样的试验叫做单因素试验，因素A所处的状态叫做水平。对每个水平进行若干次的重复试验，通常是当作一个样本来看待，也有叫做一个“处理”的。如果我们把试验的因素A分为n个水平，每个水平都进行相等的r次重复试验，以Yij(i＝1，2，…，n)(j＝1，2，…，r)表示第i个水平进行第j次试验结果的观测值，可以得到单因素试验的数据表8-3。表8-3单因素试验数据表试验次数因素水平总和A1A2…Ai…An1Y11Y21…Yi1…Yn12Y12Y22…Yi2…Yn2：：：：：：：

jY1jY2j…Yij…Ynj：：：：：：：

rY1rY2r…Yir…Ynr合计T1T2…Ti…TnT平均数组间平方和SA反映了各组样本之间的差异程度，即由于A的不同水平所引起的系统误差；组内平方和Se则反映了试验过程中各种随机因素所引起的试验误差。因此，比较SA与Se的大小，就可以看出因素A不同水平对特性值的影响是否显著。但是，SA与Se是若干项的平方和，其大小与参与求和的项数和数据本身有关，特别是项数。为了消除这些影响，采用平均偏差平方和来分析。平均偏差平方和称为方差，即用各自相应的自由度去除偏差平方和。自由度就是在偏差平方和中能够独立的变化的项数。如果平方和是由n项组成，它的自由度就是n-1；如果一个平方和是由几部分的平方和组成，则总的自由度等于各部分自由度之和。SA的自由度用fA表示（n-1），Se的自由度用fe表示[n（r-1）]。

SA和Se分别除以各自的自由度fA和fe，记作SA2和Se2，分别称为组间的方差和组内的方差。

VA=SA2=SA/fAVe=Se2=Se/fe因为SA和Se是相互独立的，两者方差之比：二、一元配置法(略）

（一）重复数相同情况下的分析(略）（二）重复数不同的试验分析计算(略）三、二元配置法(略）

（一）无因素变化趋势的二元配方法(略）（二）利用正交多项式的二元配置法(略）如单因素和双因素试验，因素轮换法等。是少量的试验，即在因素的变化内铺开，又保持全面试验的某些特点。

第五节正交试验一、正交试验的原理解释及基本方法全面试验正交试验三因素二水平的全面试验次数为2×2×2=8次三因素二水平的正交试验次数为4次原因：正交试验法的均衡分散性和整齐可比性如沈阳风陵机械厂高温点焊胶配方实验组，一年内作了近900次试验，各项指标都没有过关，后来用正交法，一星期仅作了16次试验，就找到较好的配方。使这些指标超过或达到部颁标准。正交试验原理解释图

在立方体的每个面上，都恰好有两个标有“○”的节点，而立方体的每条棱线上也恰有一个标有“○”的节点。四个点均衡地分散在整个立方体内。由于试验点的均衡分散性，它们代表性很强，能够比较全面地反映整个立方体的大致情况。所以这四个试验点中的好点即使不是全面试验的最好点，也往往是相当好的点。其中坏点也往往是全面试验中相当坏的。用正交试验法能保证主要因素的各种可能搭配都不会漏掉。

整齐可比性是对于每列因素，在各个水平的组合中，其它因素各个位级的出现次数都是相同的，这保证了在各个水平的效果中，最大限度地排除了其它因素的干扰，因而能最有效地进行比较，作出展望。(一)正交试验的概念

正交试验就是一个科学的安排和分析试验的方法。它是利用“均衡分散性”和“整齐可比性”正交性原理，从大量的试验点中挑出适量的、具有代表性、典型的试验点以解决多因素问题的试验方法。它在各个专业的设计和试验中都得到广泛应用。

正交试验的主要优点是合理安排试验，减少试验次数；找出较好的试验方案；找出质量指标与影响因素的关系；找到进一步改进产品质量的试验方向等。(二)正交试验法的有关名词

1．试验指标。试验需要考察的效果称为试验指标，简称指标。能够用数量表示的称为数量指标，如硬度、重量、拉力等，不能用数量表示的指标称为非数量指标如颜色、外观等。

2．因素。对试验指标有影响的参数称为因素。如热处理的淬火温度、淬火时间、回火温度、冷却介质成分等。

3.水平。因素在试验中所处的状态和条件的变化可能引起指标的波动，把因素变化的各种状态和条件称为因素的水平。一个因素往往要考察几个水平，如采用不同的淬火温度、不同的冷却速度等。在正交试验中常用大写拉丁字母A，B，C……表示因素，用阿拉伯数字1、2、3……表示水平，例如A1表示A因素1水平。（三）正交表的格式与特点

所谓正交表是有规律的，按顺序排成现成的表格是正交试验的工具。

（正交表是将因素和水平搭配关系按照某种数学原理编制成的标准化的表格。)

正交试验是通过正交表进行的，最简单的正交表是L4(23)，如下表所示L4(23)的含义如下(见图8-3)：L为正交表符号，其下角标4为表的行数，即试验次数，括号中3为表的列数，即最多可安排3个因素，3下角的2为每个因素有2个水平，正交表的种类很多可以根据不同的试验条件和要求选择合适的正交表合理安排试验，并利用正交表对试验结果进行统计分析常见的正交表有L4(23)，L9(34)，L8(27)，L18(215)，L27(315)，L8(41x24)，L18(61x36)，等等。其中L8(41x24)形式的正交表是安排不同水平试验的正交表，该表可安排5个因素，其中一个因素有4个水平，4个因素有2个水平，试验次数为8次。

正交表有如下特点：

(1)每一列中，每个数字出现的次数都相等。如L4(23)表中，第1列“1”出现2次，“2”也出现2次，第2列中“1"和“2”也是各出现2次：

(2)任意二列中，将同一横行的两个数字看成有序数对(即左边的数在前，右边的数在后)，按这一次序排出的数对，每种数对出现的次数相等，L4(23)表里的有序数对共有四种，即(1，1)、(1，2)、(2，1)、(2，2)，它们各出现一次。（四）正交表安排试验的步骤

下面通过一个实例来说明应用正交表来安排试验的一般步骤和基本原理。

例：某工厂生产一种检查某种疾病用的碘化钠晶体，要求应力越小越好，希望不超过1度，退火工艺是影响质量的一个重要环节。现通过正交试验希望能找到降低应力的工艺条件。正交表有均衡搭配的性质，表现在：第一就是正交表中任两行交换，或任两列交换，仍然还是正交表;第二，将任一列中的各数码互相对换，结果仍然是正交表。1．明确试验目的，确定指标试验目的：降低碘化钠晶体的应力，应力越小越好。试验指标：应力(度)。2．制定因素水平表挑因素、选水平、制定因素水平表，经过考察、分析，本试验中有升温速度、恒温温度、恒温时间和降温速度共4个因素，每个因素取3个水平(位级)，因素水平表如表所示。表

试验因素水平表因素水平升温速度A恒温温度B恒温时间C降温速度D

130℃／小时

600

6小时1．5安培(自然冷却)

250℃／小时

450

2小时1．7安培(自然冷却)

3100℃／小时

500

4小时15~C／小时(降)3．选正交表、排表头因素水平确定之后就可选用合适的正交表，然后排表头。本例有4个因素，每个因素有3个水平，可选用L9(34)正交表，因素安排如下表；表L9(34)表头安排L9(34)列号1234因素ABCD选用正交表的原则是正交表的列数要等于或大于因素的个数，试验次数应取最少的。在排表头时各因素可任意排在各列中，但是一经排定，在试验过程中就不能再变动。4．排列试验条件表头排好之后，将表中每一列的数字1，2，3看成该列中每个因素应取的水平，每一行就是每次试验的条件。例如L9(34)表的第一列是升温速度A，在1的位置上写上A1=30℃／小时，在2的位置上写上A2=50℃／小时，在3的位置上写上A3=100℃／小时，其他因素也是同样写法(叫对号入座)，如表所示。表

试验方案上表就是具体的实施方案，表中试验9次，每次试验都是不同因素不同水平的随机搭配，例如，第一个试验就是A1B1C3D2，即升温速为30℃/小时，恒温温度为600℃，恒温时间为4小时，降温速度为1．7安培，自然冷却。

5．按试验方案进行试验试验排定之后就必须严格按照排定的试验方案进行试验，不能再变动，但试验的次序可以任意进行．不一定按照正交表的试验号的顺序依次试验，每做一次试验都要记下所得的结果(即达到的指标)，填入表8—5的最右一列(上例“应力”一列中)。

6.试验结果分析通过不同试验方案的试验得到数个试验指标，如上例得到9种(应力)，见下表。

对实验结果分析包括：（1）直观分析（2）计算分析（3）极差分析（极差分析没有考虑试验误差干扰问题，它只单纯反映实验数据的变动，没有区分这种变动确是由因素效应引起的还是试验过程中各种随机误差引起的，并且只进行了主次排列，没有较为精确的数值估计，以判断各因素影响程度是否显著，故极差分析较为粗略，若要提高结论精确度，应采用方差分析法来分析实验数据。）（4）趋势分析

表试验方案(1)直观分析法就是直观比较试验方案的试验结果。从表中看出第5号试验应力最低(0．5度)，试验组合是A2B2C3D3，(2)计算分析法就是通过计算看是否有更好的试验组合，本例是为A2B2C1D315+0.5+1=16.5极差：35-13.5=21.5(3)排出主次因素A2C1B2D3

(4)画趋势图展望下批试验的好条件。

二、有交互作用的正交试验设计

在多因素试验中，不仅各因素对试验结果有影响，而且因素之间联合搭配起来还会对试验结果产生作用。这种联合搭配对试验结果产失的作用称为交互作用。A、B两因素的交互作用可用A×B表示。例如在橡胶生产过程中，选择两种不同的配料方案及两不同的硫化时间，测得产品的抗断强度见下表。表

试验数据表单位：Pa硫化时间配料方案

B1

B2

A1

1．500×107

1．570×107

A2

1．440×107

1．620×107

产生了交互作用，所以A2B2的配对必须考虑

例：从矿物中提取稀土元素的试验设计。试验目的是寻求从某矿提取稀土元素的最佳工艺方案，考察的指标是稀土元素的提取量。解：1．作因素水平表，见下表。表

因素水平表因素水平酸用量(ml)A水用量(ml)B反应时间

C添加剂

D

1

25

20

1小时有

2

20

40

2小的无2．选用正交表．根据专业知识分析，除A、B、C、D因素的独立影响外，尚须考察交互作用A×B、A×C、B×C三种情况，而每种情况又需要占据正交表的一列，共需占3列，因此，选用L8(27)表3．作表头设计。

需根据交互作用的正交表来排。表L8(27)二列间的交互作用表本表列号本表行号

1234567

注

1234567

(1)325476(2)16745(3)7654(4)123(5)32(6)1(7)表中加括号的数字为L8(27)正交表中的列号

排出的表头见下表列号

1

2

3

4

5

6

7因素

A

B

A×B

C

A×C

B×C

D4．列出试验方案并进行结果分析。试验方案和结果分析见下表。需要指出的是，交互作用不是具体因素，而是因素之间的联合搭配作用，因此交互作用所在列的试验方案中是不起作用的，而是在分析试验结果时用的。表

试验方案及结果分析因素试验号酸用量水用量

反应时间

添加剂

A

BA×B

CA×CB×C

D提取量

1

2

3

4

5

6

7

123456781(25)1112(20)2221(20)12(40)21122

112222111(1小时)2(2小时)121212

12122121

122112211(有)2(无)2121121．701．331．131．061．030．800．760．56

ⅠⅡ

4．623．154．263．513．754．024．023．723．594．183.754．023．724．05总和＝7．7

R

1．470．750．270．270．590．270．33各因素对结果影响程度的顺序是：A、B、A×C，D、C，A×B、B×C。可见A、B、A×C是影响显著的因素，应作为选取适宜水平组合的依据。

A×B，B×C对结果的影响不显著，故仅对A×C采用二元分析表分析，见下表。

AC

A1

A2

C1

(1．10+1．13)/2=1.12

(1．03+0．76)/2＝0.89

C2

(1．33+1．06)/2=1.20

(0．80+0．56)/2=0.68应取A1C25．选择较好的工艺条件通过上述试验，计算、分析知，某矿提取稀土元素的方案应取A1B1C2D2，即：酸用量为25ml，水用量20ml，反应时应取2小时并用添加剂。三、多指标的正交试验设计用于考察多个指标的正交试验设计就称为多指标正交试验。兼顾各项指标，找出每项指标都尽可能好的主产条件的多指标正交试验设计常采用综合平衡法和综合平分法。（一）综合平衡法综合平衡法是分别对各个指标单独进行分析，然后再把各个指标计算分析的结果进行综合平衡，进而得出结论。现以下例来说明其方法步骤。

例：某橡胶厂为提高某一种橡胶配方的质量，选定考察指标为伸长率(％)、变形(％)、屈曲(万次)。试确定为满足3项指标的配方条件。整个试验设计过程与单指标试验设计相同，现归纳如下：

1．明确试验目的，确定试验指标试验目的：提高某一种橡胶配方的质量。试验指标：伸长率(％)越大越好，变形(％)越小越好，屈曲次数(万次)越多越好。

2．制定因素水平(位级)表经专业知识分析可制定因素位级表，见下表．有4个因素：促进剂用量、氧化锌总量、促进剂D所占比例和促进剂M所占比例；每个因素取4个水平(位级)。表

因素水平表3．选正交表、排表头本例有4个因素，每个因素有4个水平，可选用L16(45)正交表，因素安排如下表，该表的列数比试验因素多一列，因素只有4个，选用5列的正交表，最后一列可不用。表8—8L16(45)表头排列

4．选择好正交表后，确定试验计划方案本例由于是4位级(水平)4因素的多指标试验设计，且无重点考察因素，可以选择L16(45)正交表来安排试验，整个计划和分析见下表。表8—9橡胶配方试验计划和结果分析5．试验结果分析直接比较和通过计算寻找好的条件为：(1)直接比较的好条件为：伸长率为试验号9，即A3B1C3D4。变形为试验号1，即A1B1C1D1。屈曲为试验号1，即A1B1C1D1.(2)计算找到的好条件为：伸长率为A3B1C4D4。变形为A1B4C1D2。屈曲为A1B1C1D3。(3)从极差R得知诸因素对各指标的显著性顺序为：伸长率为ABCD。变形为CABD。屈曲为ABDC。

6．确定因素的适宜位级组合经以上综合平衡后，某橡胶的适宜配方可定为A1B1C1D3或A1B1C1D4。参考方法如下表：质量指标ABCDA1A2A3A4B1B2B3B4C1C2C3C4D1D2D3D4直接比较伸长率√√√√变形√√√√屈曲√√√√计算比较伸长率√√√√变形√√√√屈曲√√√√综合42514112112因素A对伸长率、屈曲起显著作用，对变形处第二位。根据上面两个条件，再综合3个指标情况，因素A应取位级1。因素B在伸长率、屈曲中处第二位。因素B应取位级1;从变形指标应取位级4，从专业分析，因素B在变形指标中作用小。综合后因素B应取位级1。因素C在变形指标中占首位，在其余指标中均处于次要地位。故位级由变形指标决定，取为C1

因素D在伸长率、变形指标中为次要因素。故可由屈曲指标决定位级用量，可取为D3或D4。伸长率为ABCD。变形为CABD。屈曲为ABDC。本例只是对计算结果综合平衡7．画趋势图，展望进一步的好条件趋势图见下图。由趋势图可展望下批试验：因素A应在A1位级附近取位级；因素B应在B1位级附近取位级；因素C应在C1位级附近取位级；因素D应在D1或D4位级附近取位级。（二）综合评分法

所谓综合评分法，是首先对各个指标分别挑选较优试验方案，然后在指标的矛盾中比较主次，对因素、水平(位级)进行平衡，寻找统筹兼顾的试验方案。实质上综合评分法也是一种综合平衡的方法，但这个方法不是把平衡放在最后，而是对每次试验进行指标间的综合比较．然后根据综合的指标效果给予评分。

具体做法是把多指标综合成用得分表示的单一指标，按得分进行排队，分数较高的方案就是较优方案。综合评分的关键是评分，这个评分是指标间矛盾比较的综合过程，所以既要反映各指标的要求，也要反映指标的重要程度。下面通过一个例子来加以说明。

例：某厂对铜基合金进行镀银，基体材料是：铅青铜QAl，铅黄铜HPb，锡青铜QSn，为提高镀银光亮度，决定进行正交试验。

1．明确试验目的，定指标试验目的：提高镀银光亮度。试验指标：观察3种材料浸银层光亮度。这是个品质指标，均用百分制进行质量评定。2．定因素水平表通过对QAl、HPb、QSn所含主要化学成分的理论分析，认为H2S04、HNO3、HCl组成的混酸溶液能够与其发生作用，特别是HNO3对QAl可能有明显效果。从生产、劳保考虑，温度尽可能接近室温，因而确定考察H2S04、HNO3、HCl浓度和温度4个因素。根据预备试验和以往经验决定各选三个水平，具体选法如下表所示。表

试验因素水平表

HCl的0水平是为了考察不加HCl的情况

3.选定正交表安排试验根据因素和水平的数量，决定选用正交表L9（34）；试验安排见下表。表

试验安排及试验结果分析表直观分析第4号试验评分最高(98．3分)，表明A1B2C2D1是个较好的工艺条件，只是光亮度还不够理想。极差分析得到的较好工