第五章大数定理及中心极限定理

第五章大数定理及中心极限定理第五章大数定理及中心极限定理“概率是频率的稳定值”。前面已经提到，当随机试验的次数无限增大时，频率总在其概率附近摆动，逼近某一定值。大数定理就是从理论上说明这一结果。正态分布是概率论中的一个重要分布，它有着非常广泛的应用。中心极限定理阐明，原本不是正态分布的一般随机变量总和的分布，在一定条件下可以渐近服从正态分布。这两类定理是概率统计中的基本理论，在概率统计中具有重要地位。§1大数定理

定理（契比雪夫(Chebyshev)不等式）:设随机变量X具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2,则对于任意正数ε,有§1.1契比雪夫(Chebyshev)不等式证明(1)设X的概率密度为p(x),则有(2)设离散型随机变量X的分布律为P{X=xk}=pk,则有

例:在供暖的季节,住房的平均温度为20度,标准差为2度,试估计住房温度与平均温度的偏差的绝对值小于4度的概率的下界.解解§1.2大数定律

定义:设{Xk}是随机变量序列，数学期望E(Xk)(k=1,2,...)存在，若对于任意ε>0，有则称随机变量序列{Xn}服从大数定律.§1.2大数定律

定理（契比雪夫(Chebyshev)大数定律）:设{Xk}是两两不相关的随机变量序列,具有数学期望E(Xk)和方差D(Xk)[k=1,2,...].若存在常数C,使得D(Xk)≤C(k=1,2,…),则对于任意给定的ε>0,恒有证明

定理（契比雪夫(Chebyshev)大数定律）:设{Xk}是两两不相关的随机变量序列,具有数学期望E(Xk)和方差D(Xk)[k=1,2,...].若存在常数C,使得D(Xk)≤C(k=1,2,…),则对于任意给定的ε>0,恒有该定律的含义是：当n很大，服从同一分布的随机变量的算术平均数将依概率接近于这些随机变量的数学期望。将该定律应用于抽样调查，就会有如下结论：随着样本容量n的增加，样本平均数将接近于总体平均数。从而为统计推断中依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。

推论(契比雪夫大数定律的特殊情况):设{Xk}是两两不相关的随机变量序列,具有相同的数学期望E(Xk)=μ和方差D(Xk)=σ2(k=1,2,…),则对于任意给定的ε>0,恒有注:解所以,满足切比雪夫大数定理的条件,可使用大数定理.伯努里大数定律:

设进行n次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为p，A发生的频数记为记nA

，fn为n次试验中事件A发生的频率，则证明:设第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则由切比雪夫大数定律伯努里大数定律:

设进行n次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为p，记fn为n次试验中事件A发生的频率，则该定律是切贝雪夫大数定律的特例，其含义是，当n足够大时，事件A出现的频率将几乎接近于其发生的概率，即频率的稳定性。辛钦大数定律:§2中心极限定理

在一定条件下,许多随机变量的极限分布是正态分布:“若一个随机变量X可以看作许多微小而独立的随机因素作用的总后果,每一种因素的影响都很小,都有不起压倒一切的主导作用,则X一般都可以认为近似地服从正态分布.”

例如对某物的长度进行测量,在测量时有许多随机因素影响测量的结果.如温度和湿度等因素对测量仪器的影响,使测量产生误差X1;测量者观察时视线所产生的误差X2;测量者心理和生理上的变化产生的测量误差X3;…显然这些误差是微小的、随机的,而且相互没有影响.测量的总误差是上述各个因素产生的误差之和,即∑Xi.

一般地,在研究许多随机因素产生的总影响时,很多可以归结为研究相互独立的随机变量之和的分布问题,而通常这种和的项数都很大.因此,需要构造一个项数越来越多的随机变量和的序列:

我们关心的是当n→∞时,随机变量和∑Xi的极限分布是什么?由于直接研究∑Xi的极限分布不方便,故先将其标准化为:再来研究随机变量序列{Yn}的极限分布.

定义：设{Xk}为相互独立的随机变量序列,有有限的数学期望E(Xk)=μk和方差D(Xk)=σk2,令若对于一切实数x,有则称随机变量序列{Xk}服从中心极限定理.

定理(林德贝尔格-勒维(Lindeberg-Levy)定理):设{Xk}为相互独立的随机变量序列,服从同一分布,且具有数学期望E(Xk)=μ和方差D(Xk)=σ2,则随机变量的分布函数Fn(x),对于任意x,满足独立同分布的中心极限定理例:将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于500的概率是多少？解设Xk为第k次掷出的点数,k=1,2,…,100,则X1,…,X100独立同分布.由中心极限定理

定理(DeMoivre-Laplace中心极限定理):设随机变量Yn服从二项分布Yn~B(n,p),(o<p<1),则对于任意x,恒有证明设X1,X2,…,Xn是n个相互独立的服从(0-1)分布(P{Xi=0}=1-p,P{Xi=1}=p)的随机变量,则Yn=X1+X2+…+Xn由于E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p)(i=1,2,…,n),由此得解法1设X为10000个新生儿中男孩个数则X服从B(n,p)，其中n=10000，p=0.515由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理，所求概率为设X为10000个新生儿中男孩个数则女孩不少于男孩的概率为解法2

例:一加法器同时收到20个噪声电压Vk(k=1,2,…,20),它们相互独立且都在区间[0,10]上服从均匀分布,噪声电压总和V=V1+V2+…+V20,求P{V>105}的近似值.

解:易知E(Vk)=5,D(Vk)=100/12,由独立同分布的中心极限定理知近似服从标准正态分布N(0,1),于是

例:

在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问：

(1)保险公司亏本的概率有多大？

(2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于60000元的概率至少为90%，赔偿金至多可设为多少？解

设X表示一年内死亡的人数，则X~B(n,p),其中n=10000，p=0.6%，设Y表示保险公司一年的利润，

Y=1000012-1000X于是由中心极限定理

(1)P{Y<0}=P{1000012-1000X<0}=1P{X120}1

(7.75)=0;P{Y>60000}=P{1000012-aX