中考数学不等式与不等式组复习全面版

第9课不等式与不等式组1．定义：(1)用

连接起来的式子叫做不等式；(2)使不等式成立的未知数的值叫做

；(3)一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做

；(4)求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式．要点梳理不等号不等式的解不等式的解集2．不等式的基本性质：

(1)不等式两边都

同一个数或同一个整式，不等式仍然成立；若a>b，则a±c>b±c.(2)不等式两边都

同一个正数，不等式仍然成立；若a>b，c>0，则ac>bc，>.(3)不等式两边都

同一个负数，改变不等号的方向，改变后不等式仍能成立；若a>b，c<0，则

ac<bc，<.加上(或减去)乘以(或除以)乘以(或除以)3．解一元一次不等式的步骤及程序：除了“当用一个负数去乘或除不等式的两边时，必须改变不等号的方向”这个要求之外，与解一元一次方程相同．4．解不等式组：一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集有四种情况，其口诀为“两大取其大、两小取其小、大小小大中间找、大大小小无处找(无解)”．1.正确理解不等式与不等式组的解与解集与方程的解一样，不等式的一个解也是满足不等式的一个未知数的值，但不等式的解常常会有无数个，所以只有一个解的意义不大，要找的是不等式的所有解，也就是要找不等式的解集．如果对不等式的解、解集的意义理解不透彻，两者容易混淆．所谓不等式的解是指使不等式成立的每一个数，而不等式的解集是指由全体不等式的解组成一个集合．因此，不等式的解可以是一个或多个值，而不等式的解集应包含满足不等式的所有解.[难点正本疑点清源]

不等式的解与不等式的解集的区别：解集是能使不等式成立的未知数的取值范围，是所有解的集合，而不等式的解则是使不等式成立的未知数的值，二者的关系是：解集包括解，所有的解组成了解集．求不等式组的解集，不管组成这个不等式组的不等式有几个，都要先分别求解每一个不等式，再利用口诀或数轴求出它们的公共解集．利用数轴可以直观地求出几个不等式解集的公共部分，从而求得不等式组的解集，这既是一种准确、快捷的做法，又体现了数形结合的思想方法．2.正确理解不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质不等式的三条性质是不等式变形的重要依据，也是解一元一次不等式的理论依据．性质3是重点，也是难点，在运用不等式性质对不等式变形时要特别注意，不等式两边同乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．将一个不等式两边同时加上(或减去)同一个数，不等号方向肯定不变；将一个不等式两边同时乘(或除以)同一个不确定的数，则需要进行分类讨论．1．(2011·凉山)下列不等式变形正确的是(

)A．由a>b，得ac>bcB．由a>b，得－2a<－2bC．由a>b，得－a>－bD．由a>b，得a－2<b－2

解析：由a>b，又－2<0，得－2a<－2b，不等式的两边同乘以一个负数，不等号必须改变方向．基础自测B2．(2011·宁波)不等式x>1在数轴上表示正确的是(

)

解析：x>1不包括1，可排除B、D，而A表示x<1，故选C.C3．(2011·潜江)某不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组可能是(

)A.B.C.D.

解析：观察解集在数轴上的表示，可知x≥－2且x<3.B4．(2011·苏州)不等式组的所有整数解之和是(

)

A．9B．12C．13D．15

解析：解之，得3≤x<6，整数x＝3或4或5，其和为3＋4＋5＝12.B5．(2011·日照)若不等式2x＜4的解都能使关于x的一次不等式(a－1)x＜a＋5成立，则a的取值范围是(

)A．1＜a≤7B．a≤7C．a＜1或a≥7D．a＝7

解析：由2x<4得x<2；由(a－1)x<a＋5，得，x<，其中a－1>0，a>1.

又x<2使(a－1)x<a＋5成立，所以2≤，2(a－1)≤a＋5，a≤7，故1<a≤7.A题型一不等式的性质

【例1】若a<b<0，则下列式子：①a＋1<b＋2；②>1；③a＋b<ab；④<中，正确的有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个

解析：∵a<b<0，∴a＋1<b＋1<b＋2.∴>1.

而a＋b<0，ab>0，∴a＋b<ab.∴<<0.

正确的有①、②、③，应选C.题型分类深度剖析C探究提高

将一个不等式两边同时加上(或减去)同一个数，不等号方向肯定不变；将一个不等式两边同时乘以(或除以)同一个不确定的数，则需要进行分类讨论．知能迁移1

(1)若a<b，则下列各式中一定成立的是(

)A．a－1<b－1B.>C．－a<－bD．ac<bc

解析：∵a<b，∴a－1<b－1一定成立，应选A.A(2)如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是(

)A．a＋b>0B．ab>0C．a－b>0D．|a|－|b|>0

解析：∵b<0<a，且|b|>|a|，∴a－b>0正确，应选C.C题型二一元一次不等式解法【例2】解不等式5x－12≤2(4x－3)，并把它的解集在数轴上表示出．

解：5x－12≤2(4x－3)，

5x－12≤8x－6,5x－8x≤－6＋12，－3x≤6，∴x≥－2.

在数轴表示如下：探究提高

整个解一元一次不等式的过程与解一元一次方程极为相似，只是最后一步把系数化为1时，需要看清未知数的系数是正数还是负数，如果是正数，不等号方向不变；如果是负数，不等号方向改变．知能迁移2解不等式，并把解集在数轴上表示出来：－1≤＋2x＋5.

解：－1≤＋2x＋5，

3(x＋1)－2≤x＋1＋4x＋10，

3x＋3－2≤x＋1＋4x＋10，

3x－x－4x≤1＋10－3＋2，－2x≤10，∴x≥－5.题型三一元一次不等式组的解法【例3】解不等式组并写出该不等式组的整数解．解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！

解：由①得x≤1，[2分]

由②得x>－2，[4分]∴－2<x≤1，整数x＝－1或0或1.[5分]

答：原不等式组的整数解是－1,0,1.[6分]探究提高求不等式组的解集，不管组成这个不等式组的不等式有几个，都要先分别求解每一个不等式，再利用口诀“两大取其大，两小取其小，大小取其中，无中不相容”或利用数轴求出它们的公共解集，还要确定其中的特殊解．知能迁移3(1)解不等式组并把它的解表示在数轴集上．解：∴－3<x<2.(2)解不等式：－1≤<6.

解：∵－1≤<6，∴－3≤2x－1<18，－2≤2x<19，－1≤x<9.5.(3)已知关于x的不等式组只有四个整数解，求实数a的取值范围．

解：原不等式组的解集是a≤x<2，四个整数解指1,0,－1,－2,∴－3<a≤－2.题型四利用不等式组解一元二次不等式、分式不等式【例4】先阅读理解下面的例题，再按要求解答：例题：解一元二次不等式x2－9>0.

解：∵x2－9＝(x＋3)(x－3)，∴(x＋3)(x－3)>0.

由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得

(1)(2)

解不等式组(1)，得x>3，解不等式组(2)，得x<－3，故(x＋3)(x－3)>0的解集为x>3或x<－3，即一元二次不等式x2－9>0的解集为x>3或x<－3.

问题：求分式不等式<0的解集．解：∵<0，∴①或②解不等式组①，无解；解不等式组②得－<x<.

即不等式<0的解集是－<x<.探究提高

本题应用有理数的乘除法法则“两数相乘除，同号得正，异号得负．”分类讨论因式、分子、分母的正负，列出不等式组，解出不等式组，即得原不等式的解集．这里也体现了转化的数学思想．知能迁移4

(1)已知方程组的解满足不等式4x－5y＜9，求a的取值范围．

解：∵∴又∵4x－5y<9，∴4(5a)－5(－a＋5)<9，∴20a＋5a－25<9,25a<34，a<.(2)设关于x的不等式组无解，求m的取值范围．

解：∵∴∵不等式组无解，∴≥，3(m＋2)≥2(2m－1)，

3m＋6≥4m－2,3m－4m≥－2－6，－m≥－8，m≤8.5．明确不等式组解集的意义试题已知关于x的不等式组的整数解共有5个，求a的取值范围．学生答案展示

解：由不等式组得又因为不等式组有5个整数解，所以a≤x<2，这5个整数解应是－3,－2,－1,0,1，所以a≥－3.易错警示剖析本题主要考查学生是否会利用逆向思维法解决含有待定字母的一元一次不等式组的特解，此例错在忽视了在a≤x<2中有5个整数解时，a虽不唯一，但也有一定限制，a的取值范围在－3与－4之间的任一处，其中包括－3但不包括－4，所以在确定a的取值范围时扩大了解的范围．正解由得又因不等式组有5个整数解，所以a≤x<2.则知这5个整数解应是－3,－2,－1,0,1，所以a的取值范围是－4<a≤－3.批阅笔记

本题主要考查逆向思维，一定要明确不等式组解集的意义，可画数轴直观理解，如下图：注意，包括－4则不等式组有6个整数解了．方法与技巧1.可以对照一元一次方程来学习一元一次不等式，比较它们之间的共同点和不同之处有助于准确掌握概念，有助于花较少的精力较好地掌握解题技能．2.解一元一次不等式的全部过程，与解一元一次方程相比，只是最后一个步骤上有所变化．所以，在熟练了解一元一次方程的基础上，解好一元一次不等式的关键是集中精力，细心完成好最后一步——用未知数的系数去除不等式的两边．在这一步的思考上，应分三步：由(未知数)系数的正负，确定原不等号的方向是否改变；由不等号两边的符号，确定商的符号；弄清谁除谁，而不弄错商的绝对值．思想方法感悟提高3.对于解得的一元一次不等式(组)的解集是否正确，可以用以下方法检验：第一步，把解集的端点值分别代入原不等式的左边和右边，两边计算出来的数值应当相等；第二步，在所得解集中选一个，在代入原不等式的左边或右边后，计算比较简便的数，代入原不等式，原不等式应当成立．失误与防范1.解一元一次不等式的一般步骤是：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.首先在去分母时，容易漏乘了不含分母的项，其次是在最后一步利用不等式性质将系数化为1时，不等式的两边同时乘以(或除以)了相同的负数，不等号的方向没有改变，这些都是常见的错误．2.解不等式组，需要先解出每一个不等式的解，最后找出它们的公共部分．解不等式在作变形时，一定要使用同解变形，不然就会出错．3.“≥”、“≤”分别表示“大于或等于”、“小于或等于”的意思，二者只要其中一项成立，则由“≥”、“≤”连接的不等式即成立，它们都包括后面连接的数．“非负整数”即“不是负整数”，包含了0和正整数，此时0易被忽略，从而造成漏解．完成考点跟踪训练9只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于“我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局，或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少，走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！一生有多少属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时光不会因你而停留，你却会随着光阴而老去。有些事情注定会发生，有的结局早已就预见，那么就改变你可以改变的，适应你必须去适应的。面对幸与不幸，换一个角度，改变一种思维，也许心空就不再布满阴霾，头上就是一片蔚蓝的天。一生能有多少属于我们的时光，很多事情，很多人已经渐渐模糊。而能随着岁月积淀下来，在心中无法忘却的，一定是触动心灵，甚至是刻骨铭心的，无论是伤痛是欢愉。人生无论是得意还是失意，都不要错过了清早的晨曦，正午的骄阳，夕阳的绚烂，暮色中的朦胧。经历过很多世态炎凉之后，你终于能懂得：谁会在乎你？你又何必要别人去在乎？生于斯世，赤条条的来，也将身无长物的离开，你在世上得到的，失去的，最终都会化作尘埃。原本就不曾带来什么，所以也谈不到失去什么，因此，对自己经历的幸与不幸都应怀有一颗平常心有一颗平常心，面对人生小小的不如意或是飞来横祸就能坦然接受，知道人有旦夕祸福，这和命运没什么关系；有一颗平常心，面对台下的鲜花掌声和头上的光环，身上的浮名都能清醒看待。花不常开，人不常在。再热闹华美的舞台也有谢幕的时候；再奢华的宴席，悠扬的乐曲，总有曲