二项分布及泊松分布

二项分布例1

设生男孩的概率为p,生女孩的概率为q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.贝努利概型和二项分布一、我们来求X的概率分布.X的概率函数是：男女X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数，生男孩的概率为p.X=0X=1X=2X=3X=4X可取值0,1,2,3,4.例2

将一枚均匀骰子抛掷10次，令X表示3次中出现“4”点的次数X的概率函数是：不难求得，

掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”

一般地，设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果：A或，或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”.

新生儿：“是男孩”，“是女孩”

抽验产品：“是正品”，“是次品”

这样的n次独立重复试验称作n重贝努利试验，简称贝努利试验或贝努利概型.

再设我们重复地进行n次独立试验(“重复”是指这次试验中各次试验条件相同)，

每次试验成功的概率都是p，失败的概率都是q=1-p.

用X表示n重贝努利试验中事件A（成功）出现的次数，则（2）不难验证：（1）称r.vX服从参数为n和p的二项分布，记作X~B(n,p)当n=1时，P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1称X服从0-1分布例3

已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.解:因为这是有放回地取3次，因此这3次试验的条件完全相同且独立，它是贝努利试验.依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设X为所取的3个中的次品数，于是，所求概率为：则X~B(3,0.05)，注：若将本例中的“有放回”改为”无放回”，那么各次试验条件就不同了，不是贝努里概型，此时，只能用古典概型求解.二项分布描述的是n重贝努里试验中出现“成功”次数X的概率分布.可以简单地说，例4

某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.解:设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数.X~B(3,0.8)，把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验,“使用到1000小时已坏”视为“成功”.每次试验“成功”的概率为0.8

P(X1)=P(X=0)+P(X=1)=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.104

对于固定n及p，当k增加时,概率P(X=k)先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.二项分布的图形特点：X~B(n,p)当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在k=[(n+1)p]达到最大值；([x]表示不超过

x

的最大整数)n=10,p=0.7nPk

对于固定n及p，当k增加时,概率P(X=k)先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.二项分布的图形特点：X~B(n,p)当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1处达到最大值.n=13,p=0.5Pkn0

想观看二项分布的图形随参数n,p的具体变化，请看演示二项分布例5

为保证设备正常工作，需要配备适量的维修工人.设共有300台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理.问:(1)若只配备一名工人，则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少？

(2)若配备两名工人，则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少？(3)若使设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01，至少应配备多少工人?我们先对题目进行分析：300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.

设X为300台设备同时发生故障的台数，300台设备，独立工作，每台出故障概率p=0.01.可看作n=300的贝努利概型.X~B(n,p)，n=300,p=0.01可见，“若只配备一名工人”那么只要同时发生故障的设备的台数X大于1，其中的X-1台设备就会得不到及时维修。即所求为

问(1)若只配备一名工人，则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少？

同理，“若只配备两名工人”那么只要同时发生故障的设备的台数X大于2即可。所求为300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.

问(3)需配备多少工人，若使设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?设X为300台设备同时发生故障的台数，X~B(n,p)，n=300,

p=0.01设需配备N个工人，所求的是满足的最小的N.P(X>N)<0.01或P(X

N)0.99解：设X为300台设备同时发生故障的台数，X~B(n,p)，n=300,p=0.01下面给出正式求解过程：

由此结果知，配备一名工人，设备发生故障而不能及时维修的概率很大，故配备一名工人不合理。

可见，配备两名工人，设备发生故障而不能及时维修的概率仍然很大，故配备两名工人仍不合理。(3)设需配备N个维修工人，使得设备发生故障而不能及时维修的概率小于0.01，有

P(X>N)通过计算可知，

则要使设备发生故障而不能及时维修的概率小于0.01，只需配备8名工人，平均每人负责38台。若将该例改为：

(1)若由一人负责20台设备，求这20台设备发生故障而不能及时维修的概率；

解：(1)设随机变量X表示20台设备在同一时刻发生故障的台数，则(2)若由3人共同负责维修80台设备，求这80台设备发生故障而不能及时维修的概率。

解：设随机变量X表示80台设备在同一时刻发生故障的台数，则由(1)(2)结果，可看出后者的管理经济效益要好得多。例6

某人去一服务单位办事，排队等候的时间(分钟)为一随机变量，设其概率密度为：若此人等候时间超过15分钟则愤然离去。假设此人一个月要到该服务单位办事10次，则

(1)此人恰好有2次愤然离去的概率；

(2)此人至少有2次愤然离去的概率；

(3)此人多数会愤然离去的概率。解：

设随机变量Y表示“此人来服务单位办事10次中愤然离去的次数”，则(1)此人恰好有2次愤然离去的概率；(2)此人至少有2次愤然离去的概率；(3)此人多数会愤然离去的概率。二、二项分布的泊松近似

我们先来介绍二项分布的泊松近似，下一讲中，我们将介绍二项分布的正态近似.或诸如此类的计算问题，必须寻求近似方法.

当试验次数n很大时，计算二项概率变得很麻烦，若要计算

定理的条件意味着当

n很大时，p

必定很小.因此，泊松定理表明，当n

很大，p

很小时有以下近似式：泊松定理设是一个正整数，，则有其中(证明见下一页).证明：n100,np10时近似效果就很好

请看演示二项分布的泊松近似实际计算中，其中例5

为保证设备正常工作，需要配备适量的维修工人.设共有300台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理.问:(1)若只配备一名工人，则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少？

(2)若配备两名工人，则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少？解：设X为300台设备同时发生故障的台数，X~B(n,p)，n=300﹥10,p=0.01﹤0.1(3)若使设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01，至少应配备多少工人?查表可得：