《线性代数》电子教程之十四(矩阵对角化)

《线性代数》

电子教案之十四1主要内容方阵的对角化相似矩阵的概念和性质；方阵与对角阵相似的条件；基本要求了解相似矩阵的概念和性质，了解方阵可相似对角化的充要条件.2一、相似矩阵的概念第三节

相似矩阵1.概念的引入已知矩阵,求.我们可以找到一个可逆矩阵，——相似矩阵使32.相似矩阵的概念定义

设都是阶矩阵，若有可逆矩阵，使则称是的相似矩阵，或称矩阵与相似.对进行运算称为对进行相似变换，可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵.4对阶矩阵，三、方阵可对角化的充要条件1.方阵对角化的概念寻找相似变换矩阵，使这就称为把方阵对角化.说明如果能找到可逆矩阵，使，则可对角化；如果找不到这样可逆矩阵，则不可对角化.52.引入设有可逆矩阵，使为对角阵.下面回答能否由确定.67主要内容特征值与特征向量特征值与特征向量的概念、求法；特征值与特征向量的性质.矩阵对角化的方法和充要条件基本要求理解矩阵的特征值与特征向量的概念，了解其性质，并掌握其求法.矩阵对角化的方法和充要条件8一、特征值与特征向量的概念方阵的特征值与特征向量定义

设是阶矩阵，如果数和维非零列向量使关系式成立，那么这样的数称为方阵的特征值；非零向量称为方阵的对应于特征值的特征向量.注意：关系式是特征值与特征向量满足的条件式，由此可知必须为方阵.零向量显然满足关系式，但零向量不是特征向量.特征向量是非零向量.9二、特征值与特征向量的求法1.结论的引入若是的特征值，是的对应于的特征向量，则有方程有非零解，且是它的一个非零解是代数方程的根.10以为未知数的一元次方程称为方阵的特征方程.以为变元的次多项式，即称为方阵的特征多项式.112.

结论⑴矩阵的特征方程的根就是的特征值.在复数范围内阶矩阵有个特征值(重根按重数计算).⑵设是方阵的一个特征值，则齐次方程的全体非零解就是的对应于特征值的全部特征向量；齐次方程的基础解系就是对应于特征值的全体特征向量的最大无关组.12例1求矩阵的特征值和特征向量.解

析：这是一道非常简单的求特征值和特征向量的题目，意在熟悉特征值和特征向量的求法和步骤.的特征多项式所以的特征值为13当时，对应的特征向量应满足即解得得基础解系所以对应于的全部特征向量为14当时，对应的特征向量应满足即解得得基础解系所以对应于的全部特征向量为15例2求矩阵的特征值和特征向量.解

的特征多项式所以的特征值为16当时，解齐次方程，得基础解系所以对应于的全部特征向量为17得基础解系当时，解齐次方程，所以对应于的全部特征向量为18例3求矩阵的特征值和特征向量.解

的特征多项式所以的特征值为19当时，解齐次方程，得基础解系所以对应于的全部特征向量为20得基础解系当时，解齐次方程，所以对应于的全部特征向量为(不同时为0).21说明例2和例3属于同一类型，解题方法和步骤也完全一致.但是，要注意它们的区别，在例2中，对应于2重特征值仅有一个线性无关特征向量；在例3中，对应于2重特征值有两个线性无关特征向量.223.方阵可对角化的充要条件定理4阶矩阵与对角阵相似(即能对角化)的充要条件是有个线性无关的特征向量.推论

若阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似.说明当的特征方程有重根时，不一定有个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化；但是，有重根时，也有可能能对角化.所以特征值互不相等只是与对角阵相似的充分条件.23例1设问为何值时，矩阵能对角化？解

析：此例是定理4的应用.定理4表明：阶矩阵可对角化有个线性无关特征向量.由此可推得另一个充要条件：对的每个不同的特征值，的重数=对应于的线性无关特征向量的个数24所以的特征值为1(二重)，.对应于单根，可求得线性无关的特征向量1个；对应于二重特征值1，若能对角化，则25要使，则即说明解答此题的关键是将取值条件“可对角化”转化为“二重特征值1应满足”，从而求得.矩阵能否对角化，取决于它的线性无关特征向量的个数，而与的秩，的行列式都无关.26例2设若能，找出一个相似变换矩阵将化为对角阵.试问能否对角化？解析：这是前面提到的一个例题.现在再讲，目的是为了熟悉找相似变换矩阵的方法.先求的特征值，所以的特征值为再求特征向量，27当时，对应的特征向量满足解之，得基础解系所以对应于的线性无关的特征向量可取为解之，得基础解系当时，对应的特征向量满足所以对应于的线性无关的特征向量可取为28由以上可知，有两个线性无关特征向量，令则就是所求相似变换矩阵，且有说明求相似变换矩阵的步骤：⑴求特征值；⑵求特征向量；⑶若线性无关的特征向量的个数等于矩阵的阶数，则相似变换矩阵存在(否则不存在)，由线性无关的特征向量构成的矩阵就是所求.所以可以对角化.29例4设，求解析：此例的目的是掌握利用矩阵对角化理论计算方阵的幂及多项式.⑴求的特征值，由得的特征值为⑵求特征向量，对应解方程，30由得对应解方程，由得⑶写出相似变换矩阵，将化为对角阵令则且即31⑷根据的相似对角阵，求32此例体现了方阵对角化的作用，如前面所述.将此例与第二章中的有关的例题相比较，后者给出关系式、矩阵和，也就是给出条件①可对角化；②的相似对加阵；③相似变换矩阵.前者则更具有理论性和实践性:已知，通过计算和，求.因此尽管两者都是求的幂，形象地说后者是矩阵乘法的练习，前者是理论指导下的实践.说明33四、小结对于阶矩阵和，若有可逆矩阵，使则称与相似.阶矩阵与相似，则和的特征值相同，反之不然.阶矩阵与对角阵相似的充要条件是有个线性无关的特征向量.34三、特征值与特征向量的性质⑴设阶矩阵的个(在复数范围内)特征值为则①②(的迹)1.特征值的性质⑵若是的特征值，且，则是矩阵的特征值.证明举例证明举例35⑶若是的特征值，则是矩阵的特征值.一般地，若是的特征值，且则是矩阵的特征值.说明如果，则上述结论中的幂指数可取任意实数.证明⑷若是的特征值，且，则是的特征值.证明特征值的性质36⑸若阶矩阵的秩为，则0一定是的特征值.但是必须注意0不一定是重特征值.证明⑹设为阶矩阵，则与的特征值相同.证明特征值的性质37⑵若是的对应于的特征向量，则也是的对应于的特征向量.⑴若是的对应于的特征向量，则也是的对应于的特征向量.2.特征向量的性质⑶

设是方阵的个特征值，依次是与之对应的特征向量，如果互不相等，则线性无关.证明举例38四、小结设是阶矩阵，若有数和非零列向量，使则称是的特征值，为的对应于的特征向量.矩阵的特征值是特征方程的根.矩阵的对应于特征值的特征向量是齐次方程的非零解.特征值和特征向量的性质.39特征值的性质的证明⑴证因为是的个特征向量，则有即令，即得另一方面，根据行列式的定义知，上述行列式的展开式中，只有对角元之积含有40这些项中不含比较两端的的系数，可得即证毕特征值的性质的证明41特征值的性质的证明因为是的特征值，⑵证所以存在非零向量使又由知，可逆，且，所以这表明是矩阵的特征向量.证毕42特征值的性质的证明⑶证因为是的特征值，所以存在非零向量使用左乘上式两端得这表明是矩阵的特征向量.类似地，可以证是矩阵的特征向量.证毕43特征值的性质的证明⑷证因为是的特征值，所以存在非零向量使又因为，所以这表明是矩阵的特征向