高考数学第19炼 利用函数证明数列不等式

19利利用函数证明不等式是在高考导数题中比较考验学生灵活运用知识的能力面以函数为背景让学生探寻函数的性质一方面体现数列是特殊的函数而用恒成立的不等式将没有规律的数列放缩为为有具体特征的数列谓一题多考巧地将函数数，不等式连接在一起，也是近年来高考的热门题型。一、基础知识：、考察类型：利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题利用递推公式处理通项公式中的不等问题、恒成立不等式的来源：函数的最值：在前面的章节中我们提到过最值的一个作用就是提供恒成立的不等式。恒成立问题的求解：此类题目往往会在前几问中进行铺垫，暗示数列放缩的方向。其中，有关恒成立问题的求解，参数范围内的值均可提供恒成立不等式、常见恒成立不等式：（1

ln

对数→多项式（）

x

指数→多项式、关于前项的放缩问题：求数列前项式往往要通过数列的通项公式来解决，高中阶段求和的方法有以下几种：（1倒序相加：通项公式具备第

项与第

项的和为常数的特点（）错位相减：通项公为“等

等比”的形式（例如

an

n

，求和可用错位相减）等比数列求和公式裂项相消：通项公式可裂为两项作差的形式，裂开的某项能够与后面项裂开的某项进行相消。注放法处理数列求和不等时缩为等比数列和能够裂项相消的数列的情况比较多见，故优先考虑。大体思路：对于数列求和不等式，要谨记“求和看通项公入手，结合不等号方向考虑放缩成可求和的通项公式。在放缩时要注意前几问的铺垫与提示，尤其是关于恒成立问题与最值问题所带来的恒成立不等式，往往提供了放缩数列的方向12nn12nn放缩通项公式有可能会进行多次，要注意放缩的方向：朝着可求和的通项公式进行靠拢（等比数列，裂项相消等）数列不等式也可考虑利用数学归纳法进行证明（有时更容易发现所证不等式与题目条件的联系）二、典型例题：例1：已知数

f

在

x0

处取得极值求实数的证：于意正数n，等式2

349n

都立解）

f

'

fxf'

1a

1（思一想所证不等式与目所给函数的联系发现在

f

2

中，存在对数，且左边数列的通项公n

2n

2

也具备

f

项的特征，所以考虑分析

与

x

的大小关系，然后与数列进行联系。解：下面求

f

2

的单调区间f

'

x

xxx

,令

f

'

g'

f

f

即ln

2

（每一个函数的最值都会为我们提供一个恒成立的不等式，不用白不用！观察刚好与所证不等式不等号方向一致）令

x

1n

，则

即lnn

ln

2ln12

ln

nn4

nn2n2n2即

2

349

nn

ln(小炼有话说：（）不等式实质是两组数列求和后的大小关系an

nn,lnn2

过应项的大小关系决定求和式子的大小。此题在比较项的大小时关键是利用一个恰当的函数的最值而个函数往往由题目所给另外有两点注意①注函数最值所产生的恒成立不等式②注意不等号的方向应该与所证不等式同向（）决问题后便明白所证不等式为何右边只有一个对数，其实也是在作和，只是作和时对数合并成一项（与对数运算法则和真数的特点相关今后遇到类似问题可猜想对数是经历怎样的过程化简来的，这往往就是思路的突破点思路二发不等式两边均有含n的表达式且一侧作和所以考虑利用数学归法给予证明：解：用数学归纳法证明：①当

时，不等式为

2

成立②假

时，不等式成立（即

2

349

kk

ln(k

）当

时，若要证

kkk2

344

kk2

ln(k只证ln(

lnln1

1

（下同思路一：分析

f

ln

2

）令

x

1k

，由恒成立不等式

ln

2

可得

11即所证不等式成立③

N

，均有

2

349

nn

ln(小炼有话说：利用数学归纳法证明要注意两点）格式的书写（）利用设的条件

所假22例2：已知数

f（）

a

14

时，求函数

f

的单调区间（当

f(x)

图像上的点都在

xy

所表示的平面区域内求实数

a

的取值范围（）求：

21112

nn

（其

N是然数底）解）解法，求出单调区找最值f

14

x2ln

1xxxx2x2x

,令

f

'

求出单调区间如下：f

'

f（）：函数

f(x)

图像上的点都在

xy

区域内，条件等价于

0,

,

ax

2

ln

恒成立，即

ax

2

ln

令

2

2axxxxx令

'

a即2①a，g

1lnln

不符合题意（此时发现单调性并不能直接舍掉

a

的情况可估计函数值的趋势

恒为正

早晚会随着

值的变大而为正数，所以必然不符合题意。在书写时可构造反例来说明，此题只需22212221

0

即可，所以选择

x

1a

）②

时，

a

即

'

0,

单调递减g

，符合题意综上所述：

（路所不等式

21112

nn

，左边连乘，右边是，可以想到利用两边取对数“化积为和时用第二问的结论。第二问给我们提供了恒成立的等，a时，ln，则可与左边的求和找到联系。

2

a，即解：所证不等式等价于

lnln12

nln22n由（2）可得

ln

令x

2

，即nlnn

2

1=22

（左边可看做是数列求和，利用结论将不等式左边的项进行放缩，转化成可求和的数列——裂项相消）ln

122

2

12

不等式得证小炼有话说：第二问中代数方法与数形结合方法的抉体为什么放弃线性规划思路如将约束条件转变为恒成立问题对数运算的特点：化积为和。题目中没有关于乘积式的不等关系，于是决定变为和式（）用上一问的结论放缩通项公式，将不可求和转变为可求和，进而解决问题例3：已知数

f)

xx)x

(2x22x2（1当

a

时，讨论

xf（2当时若()

恒成立，求满足条件的正整数的值；（）证

2

52

解）

f

axxn

axx若

'

当当

时，时，

上单调递增上单调递减（2）思路：

f

xx不等式等价于，x

x

min而在第1）问中

即为

f

的分子，故考虑利用

来确定

f

的符号，进而求出

f

及值解：

f

x

xlnx

，由（1）得

单调递增

0,(4)

(尽无法

的g

，所以可估计零点的所在区间）

f

'

+fnnnnnf

x

min

lnbb2f

n（思路：由第（2）问

xxx

，所证不等式可两边同取对数“化积为和考利用结论进行放缩解：所证不等式等价于：ln

52由第（2）问可得：

xx3lnxxx

2n

i

5lni=2nnn2n2即原不等式成立。（如果从第一项就进行缩小，则

i

lni1

3n

，发现缩小过度但差距不大，所以进行调整，第一项不变，其余放缩。这样不仅减少缩小的尺度，同时不改变求和规律）小炼有话说：这道题是对书中几篇文章所讲技巧的一个综合。所涉内容如下：（）二问中对零点

x

的处理，参见：3.1.3最分析法（）三问中数列放缩后的调整值得注意，放缩的过程中有可能存在“放过头”的情况，往往是由于前几项放缩程度过大造成的（通常越，放缩的程度越小以考虑数列前几项不进行放缩，然后再看不等式能否成立，若一直都“过度”一点点，那么就要考虑是否另选放缩方案了。例：设函数

f

，其中

。:n222223n23n222223n23（）

时，讨论函数

x)

在其定义域上的单调性；（2证明：对任意的正整数，不等式ln

k

1k3

都成立。解析：（）

f

x

x

2x2xxx

，令

f

'

即解不等式

x

2

①

时方程

xx

的两根

x1

11,22

，

x21f

的单调区间为：1aa,f

'

f②

a

时，

x

2

恒立

单调递增（）虑

a

时，则

f令

3

'

3x

3

x

在

恒成立

单调递增

ln

，令

x

1n

111lnlnnnk11lnkkk

nnnn即：

lnk

1k3

例5：已知函数（）a的值

f(xxx)

的最小值为0，其中a。（）对任意的

x有f(x

2

成立，求实数的小值（）明

i

2i

ln(22(*解）

f

'

x

1xxx

,定义域

令

f

'

解得

x

，

的单调区间为：f'

f

ff

（）k0时取，f2，k0不题。当0时令x)f()kx

2

，即

()kx

2

。g

xkx))xx

，令

，得

x1

kk

当

k

11时，2k

0,g

在

(0,

上恒成立因此

(x

在

[0,

上单调递减，对于任意的x

，总有

()g(0)0，fx)

2

在

[0,

上恒成立。故

k

符合题意。当

0k

1时，2k

0k1kx(0,)，，(x)在(0,)kk

内单调递增，取

x(0,

kk

)

时，

)g00

，即

f(x)0

20

不成立。nnnnnnnnnn故

0

不合题意

k

综上，

的最小值为

。（）第2）问可得：当2x令i

k

11时，不等式xlnx22

恒成立

22iln22i

22

1ii

iN

i11ln1ii3in2nilnln3即2iiii

1122

即

i

2i

ln(22(

*

)例6：已知数

f(xlnxxax（1求

f()

的最大值；（）明等：

。解）

f

'

1x

，令

f'

，

f

单调区间如下：ff

y

（）思路：左边可看做数列求和，其通项公式为

i

n

，无法直接求和，所以考虑利用条件进行放缩，右边是分式，可以猜想是等比数列求和后的结果，所以将

i

放缩为等比数列模型。由（1）可得

lnxlnxx

，令

x

in

进行尝试解：由（）可得

lnxxlnxniinniin令

x

iiii，即lnnnnnln（寻n方的来源）

i

12

n=

e1e

ee

不等式得证小炼有话说：此题的第（3）问数列通项公式放缩为等比数列求和，如果不等式的一侧是一个分数，则可向等比数列求和的结果考虑（猜想公比与首项例7：函数

f()sinx

.（）

f()ax

在

a

的取值范围；（）明

f

2(32()()()n2n2nn

（解成不等式等价于x

令

g

(：在

中这三个自变量的函数值最便于计算，进而选择代入）axcossinx

可视为关于

a

的一次函数且递增令h

x

2

xsinx

则对

2

,

g

恒成立。

若要

g

，只需

h

，下面进行证明：

h

,只需证

2

xcosxsinx

即可h

2

xx

考虑

x

时，

xcos1,4

从而

h

2

xx

2

（注导数无法求出极值点故引入抽象的极值点,0sin22n4n20sin22n4n2但要利用零点存在性定理估计x所在区间）h'h

2x,xx'x4

,使得

'

0且当

0

0

单调递减，在

0

单调递增

恒成立g

,进而对每一个

a

2

均满足

a

2（思将边视为数列求和通项公式为

af(

k2n

)

(意左边是

项求和考虑利用前面条件对通项公式放缩

a

2

则

2

xx

恒成立但如果直接进行代入，不等号右边的

osx

无法处理，进而无法与所证不等式的右边找到联系。考虑将

cosx

挪至左侧并与

sinx

合角而将三角函数放缩为多项式根求和特点进行求和解：由（）可得：

sin

2

xxsin

2

x22sinxsinxx44令

x

4k4可得

f

kk

2k2n2

2242(为

asink

为sinn4

令x

4

k

，反求可）

f(

()f()f(2nn

)

n

2ffn

2n2

n

f

2(=4(22(32()f)()n2n2nn小炼有话说：（关本题第二问恒成立的具体可参见3.3.3有关容明需要极值点而无法直接求出时可先用抽象的

x0

代替，但要确定好

x0

所处的大概区间（三问对第二问的结论稍加变将

cosx

与

sinx

进行合角不是直接代入

f

)的应用是本题的一大亮点方程等式的变形目的是将条件与结论能够连接起来以构造时要关注所求不等式的结构特点。（）第问不等式的左边有两细节：第一个是左边求和的项数是

项，第二个在f(

n2n

)

中，同一个

n

所代表的含义不同。分母每一项都是

,

n

与项数相关。给定一个数项的分母就固定了而分子的代的是序数可现数列中分子是在不断变化的，从1变n,在f(

n2

)

，同一个在子分母中扮演的角色不同。所以在写通项公式时，引入了字母

用来区分序数与项数。例8

f

在

上为增函数

f

次比增函数

k

，已知

f

:（）

a

时，求函数

g在,m

上的最小值（）证

1

1

123

n

1

72解：（）

12

x

'

xe

1x22

2x2

x令

'

解e2e2xxxx1232e2e2xxxx1232

单调递减，在

①

m2

时，

min

g

m2②

1m2，min

e2③

m

，

min

综上所述：

gmin

,mm,1m2+1,（2由第）问可得：

1ee2，即2所求和的通项公式为

，由

可得：x

x

x2xe

1xe

x

，令

x

，可得：

21n2en

1

11ee

n

1

111+2e2

1n2

123

1e423

12

334

1

1771e2ne42,2e2222,1e1e,2e2222,1e1e例9：已知函数

f

lnx（）

数

在区间

上的零点个数（）记

Fn

ln

2n

,n2

Fn

*

，对意整

，

S

n

n

4n

对意

xD

恒立则

n

在

xD

上“效的试断

n

x

e,e

2

上“效的若，给证，不，说理由解）

g

，

即

m

的零点个数即为函数

y

x

与

m

交点的个数设

h

x

，

'

x2

，令

h

解得

单调区间如下：

'

hhh

4e

，草图如下：0或m时，g

无零点0

或

4e

，

一个零点0m

4e2

，

两个零点,1e2,1e2（思路观到

Fn

x

ln

2

结构上（2中的

很相似

实质上是

Fn

Fn

Fn

，故考虑对每一项进行放缩使得求和具有规律性

的特点

Fn

可写成

Fn

xln2（将2nx

视为整体用

单调性进行放缩解：

h

单调区间如下：h

'

xe

2

ne

4e2n

ln3

x2nxn2n

（2放缩为

4

1n2

而

1n2

可放缩为能够裂项求和的式子Fn

14n2nnS

F

4

+

114=4npnn

上是“高效”的小炼有话说：（）题中的第（）对第（）问的函数构造提供了方便，对于证明数列不等式，同学要善于利用前面问题的条件与结论（）（）的关键之处在于找

Fn

的联系，以及通过不等关系消

（）和时通项公式放缩的方向为构造具备裂项求和的数列，其中

1n

的放缩技巧如下：1212211an222nnn21212211an222nnn21nn

而左右两边均可裂项求和例10已函数

f（1若

f函数，求p的范围（）

a1

n

14

，证：n

时an

解）f

'

f为减函