高数下册复习资料

yy高等数学（一）教案第七章常微分方程．基概念：通解，特解，初始件．可离变量的微分方程．齐方程（简单类型）．一线性方程：公式法（掌握换自变量与因变量类型）．二常系数齐次线性微分方程特征方程法求通解．二常系数非齐次线性微分方（非齐次特解与齐次通解关系正确的设出特解）第八章向量与解析几何向代

期末总复习定义

定义与运算的几何表达

在直角坐标系下的表示向量

有大小、有方向记

a

或

AB

aij)xyxyprjaprjaaprjz模

向量的记作

a

x

2

y

2

z

2和差

,a,ayyzz

cc单位向量

，则

e

aa

a

(,aa)xya2x方向余弦

设ax,轴夹角分别为则方向余弦分别为

ax，cos，cosacosa

aza

2

2

2

点（数量积）

abcos角

，

为向量的

bbxy

叉（向量积）

c向与b的夹角向量与a，都垂直

iab

jab

kab垂直平行

定与式ba//bab

abbabxzaaaa//bxbbxy交角余弦

两向量夹角余弦

cos

b

cos

a

x

ababaxy2bzx

2

z

2-2-bb20切“线”方程：高等数学（一）教案投影

向量a在零向量上投影acos(abb

prjab

期末总复习ababaxxyzzb2b2bxyz平面

直线法向量

{A}

点

(x000

方向向量

mn,p}

点

xy0方程名称一般式点法式

方程形式及特征By0A((y(000

方程名称一般式点向式

方程形式及特征BCzD0BCz0y000m三点式

x1x23

123

z1z21z31

参数式

mt0nt0zpt0截距式面面垂直面面平行线面垂直

xyabcC0211BC111BC2ACm点面距离

两点式线线垂直线线平行线面平行

z0y1010mnp0121np11p2Am0面面距离xy0

AxCz0

AxByDAxBy012d

Ax0B2

DD122面面夹角n{A,C}n{,,C}11222

线线夹角}np}1122

线面夹角,,p},C}cos

|AB|112A

pp1221m22m22112

sin

Amm

p

空

，)，z)，

切向量T,0

),0

0

x切“线”方程：)0法平“面”方程：

yy0)0

z0)0间曲

x))()000线：

y))

切向量T(1,

xxyz))法平“面”方程：(x(y))()000-3-2、多元函数：，图形：2、多元函数：，图形：高等数学（一）教案

期末总复习切平“面”方程：空间曲面

(,y)

法向量F(xy,),x0F(xy,),y0F(xy,)z0f(x,y),f(x),1)0

Fy,z)(xx)(xz)()x0000(,,z)x0法“线“方程：xz0F(xy)F(,z)F(x,)x0y000切平“面”方程：f(xy)(x)f(,yy))f(x,)

或f(,y),xf(,y),y

法“线“方程：xyf(xy)f(,)xy0

第九章

多元函微分法及其用（一）基本概念1、距，邻域，内点，外点边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。zf(,y)

limf,yA极限：(x,)(x)0lim(x)f(x,连续：(,)(x,y偏导数：f(xy)00f(x,y)lim000

f(y)(xy)00fxyf(x,y)0006、

全微分：设

f(x,y)

，则

d

dd（二）性质1、函可微，偏导连续，偏存在，函数连续等概念之间的关系：1

2偏导数连续

函数可微

偏导数存在充分条件定义

2

必要条件43函数连续-4-，，，2）(y)在条件下的极值t000，，，2）(y)在条件下的极值t000000高等数学（一）教案

期末总复习

闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）微分法若

定义：复合函数求导：链式法则f(u,ux),x

，则

u

3）隐数求导：两边求偏导然后解方程（组）（三）应用

vy1、极1）无件极值：求函数

f(x,y)

的极值解方程组

fxfy

求出所有驻点，对于每一个驻点

,)00

，令A(xB()C(,y)xxxy00

，①若

，A函数有极小值，若

B

，A，函数有极大值；②若

，函数没有极值；③若2，定条件极值：求函数L(y)f(x,y)令：

(xy)(x,———函解方程组

,y)2、1）

几何应用曲线的切线与法平面

x()曲线

:y()(t)

，则

上一点

M(x,z)00

（对应参数为）处的0yy0切线方程为：x)z)00xxx))(yy)z)(zz)法平面方程为：2）

曲面的切平面与法线-5-bdDbdD高等数学（一）教案期末总复习曲面F(x,)，上点(xyz)处切平面方程：00F(x,y)()()(y(,)(z)000000z00积类

法线方程为：

z00x(zx,yz00第十章重积分重分计方典例（1—型—型

f(,y)dxdyf(x,)

a

(x)(x)(y)

f(,yf(x,)dx

课上的例题及课后作业二重积分ID

D（2）利用使用原则

y)(1)积区域的边界曲线易于用极坐标方程表(含圆,直线段)；平面薄片的质

(2)被函数用极坐标变量表示较简(含

x

2

2)

,为数量质量面密度

面积

D

f(cos

sin

(

（3）利用当关y轴称时于x轴对称时，有类似结论）0I

fx)于x是f()f(x,y)f(x)dxdy(x,y)于

应用该性质更方便

()(y)D1．画积分区域．选坐标系标：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数-6-(高等数学（一）教案关于坐标变量易分离．确积分次序原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙．确积分限方法：图示法先积一条线，后扫积分域．计要简便注意：充分利用对称性，奇偶性

期末总复习

截面法投

fxy,zV

dx

y(x)

dy

z(x,)

fx,yz

y()

z,)（2

rrz三积I

相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标

f(,y,z

适范:eq\o\ac(○,1)积区表面用面坐标表示方程单；转f(2y)(x2eq\o\ac(○,2)被函用柱面标表示变量分.如

f(x,,V

z

r(

f(

cos

sin

z)

空间立体物的

r(质量质量=密度

（3

sinzr面积

rdrd适范:eq\o\ac(○,1)积域面用球面坐标表示时方简;如，球体锥.eq\o\ac(○,2)被函用球面标表示变量分.如

f(

2y22

I

f(（4-7-If(x,y())If(x,y())1')dx应：I高等数学（一）教案积分类型第类线分Iyds曲形构件的质量质量=线度弧长

第十一章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分计算方法参法转化为定积分）（）LIftt))()())b（）L:()(（）r((L:r

期末总复习典型例题I

f(r(

rsin

r

('

(（1数（化为定积分）L:

)

(t

L

Pd(t)](),平第类线积

（）用林式转化为二重积分）条：L封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D）②，具有一阶连续偏导数结：Pdx(dxdyLDI

QdyL

（）用径关理特殊路径法）变力沿曲线所做的功

等价条件：①

②

③

PdxQdy与径无关，与起点、终点有关L④Pdx具原函数

(xy（特殊路径法，偏积分法，凑微分法）（）类线分联I

(Pcos空第类线积

L（）数（化为定积分）Rdz(t)][tt)][ttt)]（）用托斯式转化第二类曲面积分）L条件：L封，分段光滑，有向②，，具一阶连续偏导数变力沿曲线所做的功

结：

L

PdxQdyRdz())dxdy-8-高等数学（一）教案

期末总复习第类面分

应：辅助投法I

f(xdv

z(x,)

投影到xoy曲面薄片的质量

I

f(xy

f(y(,y))x

y

dxdy质量=面度面积

D类似的还有投影到yoz面面公式（）影eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,)

((y),z

：

Dx,)，

为

的法向量与

x

轴的夹角前侧取“

；后侧取“

第类面分

eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,)

Qdzdx

(y(z),zD：y(xz)，为法向量与轴夹角I

右侧取“；侧取“cos3

流体流向曲面一侧的流量

D：x(y,z，为的法向量与x的夹角上侧取“；侧取“（）斯式右手法则取定

的侧条：封，片光滑，是所围空间闭区域的外侧②，，具一阶连续偏导数结：

PdydzRdxdy

(

)接应应：（）类面分间联

转投法

)

)所有类型的积分：eq\o\ac(○,1)义：四步法——分割、代替、求和、取极限；

性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。第十二章级数-9-级数ulimla级数ulimla高等数学（一）教案

期末总复习eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,)若级数收敛各项同乘同一常数仍收敛eq\o\ac(○,2)个收敛级数的和差仍收敛注：一敛、一散之和发散；两散和、差必发散用收敛定义lim

存在

eq\o\ac(○,3)掉、加上或改变级数有限项改变其收敛性一般项

常数项级数的基本性质

eq\o\ac(○,4)eq\o\ac(○,)若级数收对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。推果加括号后所成的级数发散原来级数级

也发散

注：敛级数去括号后未必