概率统计-第一章

概率论与数理统计

（浙大·第四版）《概率论与数理统计》王松桂等

科学出版社《概率论基础》李贤平等（复旦大学）

高等教育出版社《概率论与数理统计练习册》

目录第一章概率论的基本概念第二章随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布第四章随机变量的数字特征第五章大数定律及中心极限定律第六章样本及抽样分布第七章参数估计第八章假设检验第九章方差分析及回归分析引例：某车间有200台车床，由于经常需要检修、测量、调换刀具、变换位置等种种原因，即使在生产期间，各台车床还是时常需要停车。若每台车床有60%的时间在开动，而每台车床开动时需要耗电1千瓦，问应供给这个车间多少电力才能保证此车间正常生产？

某时刻同时工作的车床数不确定！自然界与人类社会中存在两类不同的现象确定性现象：在一定条件下必然发生（结果确定）

例如：磁铁同性两极必然相斥；

标准气压下,水在100℃沸腾。随机现象：在一定条件下,可能出现这样的情况,也可能出现那样的情况（结果具有不确定性）

例如：掷一枚骰子,观察出现的点数；

抛一枚硬币,观察正面

H反面T出现的情况。问题：随机现象是否存在某种规律性呢？

对某种现象的观察、测量，或进行一次科学实验概率论是研究随机现象

统计规律性的数学分支第一章概率论的基本概念随机试验样本空间、随机事件频率与概率等可能概型（古典概型、几何概型）条件概率事件的独立性

§1.随机试验

试验可以在相同条件下重复进行；每次试验的结果可能不止一个，并且事先可以明确知道试验的所有可能结果；在一次试验之前，不能确定哪个结果会出现。

定义1.1.1（随机试验）设E是一个试验，若它满足条件①②③，则称E为随机试验，以下简称试验。

§2.样本空间、随机事件定义1.2.1（样本空间）设E是一个随机试验，E的所有可能的结果构成的集合称为E的样本空间，记为S。样本空间的元素，即试验E的每个结果，称为样本点。例如:

“满足某种条件的样本点”

事件的关系和运算

SAB

A∪B表示“A与B至少有一个发生”，被称为A与B的和事件。A∩B表示“A与B同时发生”，被称为A与B的积事件，也记为AB。注①：和事件、积事件可以推广到n个事件或者可列个事件的情形。

SBASABA∪BA∩B

特殊情况:若A是B的子事件,那么A与B的和事件、积事件分别是?

ASB5.

AB=Ø

ABS6.A∪B=S且AB=Ø事件运算中”+”和”﹣”并非代数运算符,不能进行消元!SAB

IO14235事件的运算律

={甲、乙至少有一个来听课}；={甲、乙都来听课}；={甲、乙都不来听课}={甲、乙至少有一个没来听课}={甲、乙不都来听课}◎小结确定性现象、随机现象、统计规律性；随机试验、样本空间、样本点；随机事件、必然事件、不可能事件、基本事件；事件的关系：包含关系、相等；事件的运算：和事件、积事件、互斥事件、逆事件；事件的运算律：交换律、结合律、分配律、德摩根律。◎小结确定性现象、随机现象、统计规律性；随机试验、样本空间、样本点；随机事件、必然事件、不可能事件、基本事件；事件的关系：包含关系、相等；事件的运算：和事件、积事件、互斥事件、逆事件；事件的运算律：交换律、结合律、分配律、德摩根律。集合的观点

作业：

P24页习题第1题、第2题§3.频率与概率

频率

1/100015/17=88%频率的性质

例1.3.1

抛硬币出现正面H的频率。

表1-1随机波动性

“频率的稳定值”概率

定量的描述事件发生的可能性大小概率的性质

§4.古典概型

古典概型中事件概率的计算问题

k是事件A的有利场合数，n是样本空间样本点总数(A中包含的样本点个数)

“古典概型”预备知识

排列无放回选取：从n个不同的元素中无放回的选取m次进行排列(m≤n)，也就是说元素不允许重复，其总数为

这种排列称为选排列。特别当n=m时，称为全排列。有放回选取：从n个不同的元素中有放回的选取m次进行排列，这时的元素允许重复，其总数为

这种排列称为有重复的排列。（与次序有关）

“分组”的思想有放回选取：从n个不同元素中有放回的选取m次，不考虑排列次序，其总数为★理解“隔板法”！

“古典概型”概率计算的例子例1.4.2将一部四本头的文集按任意次序放到书架上去，问各册自右向左或者自左向右恰成1,2,3,4的顺序排列的概率是多少？例1.4.3从5双不同的鞋中任取4只，求这4只鞋中至少有2只配成一双的概率。注意:不能直接用来计算！

例1.4.4将n个球随机放入N个盒子中，允许有空盒。试求以下几个事件的概率。A：某指定的n个盒子中各有一球；B：恰有n个盒子中各有一球(n≤N)；C：某指定的盒子中恰有m个球；D：每个盒子至多一个球。注：利用P(B)，可以计算出n个人中至少有两人生日相同的概率。P(D)=P(B)例1.4.5N件产品，其中有D件次品，现从中任意抽取n

件，问其中恰有k件次品的概率(k≤D)。超几何分布例1.4.6（抽签问题）袋中有a只黑球，b只白球，它们除颜色不同之外，其它方面(质地、大小)没有差别。现有k个人依次在袋中取一只球，分别求在有放回选取和无放回选取的情况下，第i个人取到黑球的概率，其中i=1,…,k。有放回：无放回：

※建议：设法将问题归入已学模型；对复杂问题，可尝试将其分解为若干步骤，再应用乘法原理；合理应用逆事件；如果问题不易理解，不妨先考虑特殊情况。

例1假设在一片5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油。如果再这片海域里随意选定一点钻探，问钻到石油的概率是多少？补充：几何概型例2在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，现从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，求发现大肠杆菌的概率。

蒙特卡洛方法/计算机随机模拟方法◎小结表征事件发生可能性大小的量——概率(定义)概率的性质（六条）古典概型：等可能性+有限样本点乘法原理、加法原理、排列组合基本公式以及一些经典模型和方法几何概型：等可能性+无限样本点（几何方法）§5.条件概率

几何概型：设试验E的样本空间是区域Ω，以m(Ω)、m(A)、m(AB)分别代表事件Ω、A、AB对应点集的测度，并且m(A)＞0，那么

①号②号红色23白色47

概率的性质对条件概率都成立作业！

例1.5.3袋中有r只红球，t只白球，每次从袋中任取一只球，观察它的颜色后放回，并放入a只同色球。现连续取球4次，求第一、二次取到红球，第三、四次取到白球的概率。注①：卜里耶模型——描述传染病的模型。注②：a=0对应有放回摸球，a=-1对应无放回摸球。全概率公式简单复杂

B1B2BnSA

上式称为全概率公式。

※找到样本空间的一个合适的划分！例1.5.4（二进信道模型）若发报机以0.7和0.3的概率发出信号0和1，由于随机干扰的影响，当发出信号0时，接收机不一定收到0，而是以概率0.8和0.2收到信号0和1；同样的，当发报机发出信号1时，接收机以概率0.9和0.1收到信号1和0.考虑：接收机收到0的概率；接收机收到0时，发报机是

发出信号0的概率。01010.80.90.10.2原因结果贝叶斯公式

由贝叶斯公式得

§6.独立性引例：设试验E为“抛甲、乙两枚硬币，观察正反面出现的情况”，事件A为“甲币出现H”，事件B为“乙币出现H”。易知E的样本空间为S={HH，HT，TH，TT}，我们有：事件A与事件B的出现具有某种“独立性”

(1)(2)

事件独立性与概率的计算相互独立事件至少发生其一的概率例1.6.3假设每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率。

回忆两两互不相容的情况在“可靠性理论”中的应用对于一个元件，它能正常工作的概率为p，这称为它的可靠性；若元件组成系统，则系统能正常工作的概率就称为该系统的可靠性。例1.6.4（附加通路的系统）如果构成系统的每个元件可靠性均为r(0<r<1)，且各元件能否正常工作是相互独立的，试求下面系统的可靠性。例1.6.5（附加元件的系统）在例1.6.2的条件下，试求下面附加元件系统的可靠性。每对并联元件的可靠性为：系统的可靠性为：

例1.6.6要验收一批（100件）乐器，方案如下：自该批乐器中随机取3件进行测试（设3件乐器的测试结果是相互独立的），若3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接受。设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率是0.95；而一件音色纯的乐器被误认为不纯的概率是0.01。如果已知这100件乐器中恰有4件是音色不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少？