正多边形的概念及正多边形与圆的关系【高效课堂精创】 九年级数学下册 教学课件

正多边形的概念及正多边形与圆的关系24.6.1正多边形的概念及正多边形与圆的关系学习目标1.了解正多边形的有关概念.2.理解并掌握正多边形与圆的关系.24.6.1正多边形的概念及正多边形与圆的关系新课导入

下图的这些图案，都是我们在日常生活中经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?24.6.1正多边形的概念及正多边形与圆的关系讲授新课正多边形的概念及相关计算问题1

观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？各边相等，各角也相等.24.6.1正多边形的概念及正多边形与圆的关系各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.正多边形各边相等各角相等缺一不可知识归纳24.6.1正多边形的概念及正多边形与圆的关系问题2

n边形的内角和为多少？正n边形的每个内角的度数如何计算？正n边形的每个内角的度数为n边形的内角和公式(n－2)·180°24.6.1正多边形的概念及正多边形与圆的关系问题3

n边形的外角和为多少？已知正n边形的内角为a度，如何求n的值？n边形的外角和为360°正n边形的内角为a度，则它的外角为(180-a)度.故24.6.1正多边形的概念及正多边形与圆的关系例1已知一个正多边形有一个内角是150°，那么它是正几边形？由正多边形的一个内角的度数求其边数，可以用n

边形的内角和公式(n－2)·180°＝150°n，求出n的值；也可以先求每个外角的度数为30°，再求

边数．分析：24.6.1正多边形的概念及正多边形与圆的关系方法一：∵n边形的内角和为(n－2)·180°，∴此正多边形内角和为150°n＝(n－2)·180°，

解得n＝12.∴此多边形为正十二边形．方法二：∵正多边形的每个内角相等，则每个外角也相等，∴每个外角为180°－150°＝30°.又∵多边形的外角和是360°，∴360°÷30°＝12，即此多边形为正十二边形．解：24.6.1正多边形的概念及正多边形与圆的关系例2

如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；（1）证明：∵在正六边形ABCDEF中，AB=BC，∠ABC=∠C=120°.∵BG=CH，∴△ABG≌△BCH.（2）求∠APH的度数．（2）解：由（1）知，△ABG≌△BCH，∴∠BAG=∠CBH∴∠BPG=∠ABG=120°，∴∠APH=∠BPG=120°．24.6.1正多边形的概念及正多边形与圆的关系正多边形与圆的关系问题

如图，把☉O进行5等分,依次连接各等分点得到五边形ABCDE

.分别过点A，B，C，D，E作☉O的切线，切线交于点P，Q，R，S，T，依次连接各交点，得到五边形PQRST.五边形ABCDE及五边形PQRST是正多边形吗？·AOEDCBPQRST24.6.1正多边形的概念及正多边形与圆的关系·AOEDCB探究1

五边形ABCDE是正五边形吗？简单说说理由.①②AB____BC____CD____DE____AE.＝＝＝＝＝＝＝＝④∠A___∠B___∠C___∠D___∠E.＝＝＝＝③＝＝＝＝∵顶点A，B，C，D，E都在☉O上，∴五边形ABCDE是☉O的内接正五边形.24.6.1正多边形的概念及正多边形与圆的关系

把圆分成n（n＞2）等份，依次连接各分点所得的多边形就是这个圆的一个内接正n边形.归纳总结24.6.1正多边形的概念及正多边形与圆的关系探究2

五边形PQRST是正五边形吗？简单说说理由.·AOEDCBPQRST五边形ABCDE是☉O的内接正五边形.连接OA，OB，OC.则∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB，∵TP，PQ，QR分别是以点A，B，C为切点的☉O的切线，∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ，∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.24.6.1正多边形的概念及正多边形与圆的关系又∵AB=BC，∴△PAB≌△QBC，∴∠P=∠Q，PQ=2PA.同理，得∠Q=∠R=∠S=∠T，QR=RS=ST=TP=2PA.∵五边形PQRST的各边与☉O相切，∴五边形PQRST是☉O的外切正五边形.·AOEDCBPQRST24.6.1正多边形的概念及正多边形与圆的关系

把圆分成n（n＞2）等份，依次连接过等分点作圆的切线，各切线相交所得的多边形就是这个圆的一个外切正n边形.归纳总结24.6.1正多边形的概念及正多边形与圆的关系由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆周，从而得到正多边形．采用“先用量角器画一个的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对弧的等弧”．这种方法简便，且可以画任意正多边形、误差小．1.用量角器等分圆：圆内接正多边形的画法24.6.1正多边形的概念及正多边形与圆的关系用尺规作图的方法等分圆周，然后依次连接圆上各分点得到正多边形，这种方法有局限性，不是任意正多边形都能用此法作图，这种方法从理论上讲是一种准确方法，但在作图时较复杂，同样存在作图的误差．作图时易忽视累积误差的影响，导致作图不准，应减少累积误差.2.用尺规等分圆：3.易错警示：24.6.1正多边形的概念及正多边形与圆的关系例3

利用尺规作图，作出已知圆的内接正方形和内接正六边形.解：内接正方形的做法：（1）用直尺作圆的一条直径AC；ACO（2）作与AC垂直的直径BD；BD

（3）顺次连接所得的圆上四点.

四边形ABCD即为所求作的正方形.再逐次平分各边所对的弧，就可以作出正八边形、正十六边形等.24.6.1正多边形的概念及正多边形与圆的关系O解：内接正六方形的做法：（1）用直尺作圆的一条直径AD；（2）以点A为圆心，OA为半径作圆，与⊙O交于点B、F；

（4）顺次连接所得的圆上六点.六边形ABCDEF即为所求作的正六边形.ADBF（3）以点D为圆心，OD为半径作圆，与⊙O交与点C、E.CE方法归纳：用等分圆周的方法作正多边形：①用量角器等分圆周；②用尺规等分圆周(特殊正n边形).24.6.1正多边形的概念及正多边形与圆的关系例4

如图，⊙O的内接正方形ABCD，E为边CD上一点，且DE=CE，延长BE交⊙O于F，连接FC，若正方形边长为1，求弦FC的长．解：连接BD，如图．在Rt△CBD中，∵∠DBE=∠FCE，∠CFE=∠BDE，∴△DEB∽△FEC.24.6.1正多边形的概念及正多边形与圆的关系当堂练习2.如图是一枚“八一”建军节纪念章，其外轮廓是一个正五边形，则图中∠1的大小为_____.1.如果一个正多边形的一个外角为30°，那么这个正多边形的边数是（）A．6B．11C．12D．18C108°24.6.1正多边形的概念及正多边形与圆的关系3.如图，正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，则B、E两点间的距离为________.解析：连接BE、AE，如图所示.∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF=∠AFE=120°，FA=FE，∴∠FAE=∠FEA=30°，∴∠BAE=90°，∴BE是正六边形ABCDEF的外接圆的直径，∵正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，∴BE=8，即则B、E两点间的距离为8.824.6.1正多边形的概念及正多边形与圆的关系4.如图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在形内作正方形ABMN，连接MC．求∠BCM的大小．解：∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠ABC=120°，AB=BC．∵四边形ABMN为正方形，∴∠ABM=90°，AB=BM．∴∠MBC=120°-90°=30°，BM=BC．∴∠BCM=∠BMC．∴∠BCM=75°．24.6.1正多边形的概念及正多边形与圆的关系5.如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G，求∠G的度数．∵ABCDE是正五边形，∴∠C=∠CDE=108°CD=CB