专题42 圆中折叠问题的巧妙应用(解析版)

专题42圆中折叠问题的巧妙应用【专题说明】初中数学中的圆,从静止的角度来看就是一个单纯的几何图形,从运动的角度来看,往往会跟旋转联系在一起.而折叠问题自然属于轴对称变换的范畴,这两者怎么就联手了呢?圆如何来帮助我们解决与折叠相关的问题呢【精典例题】1、如图，AB是口0的直径，且AB=4,C是口0上一点，将弧AC沿直线AC翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O,nH14, -1.41，.''3~1.73，那么由线段AB、AC和弧BC所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（）A．3.2 B．3.6 C．3.8 D．4.2【分析】作OEDAC交口0于F,交AC于E,根据折叠的性质得到OE=|oF，求出口ACB的度数即可解决问题．【解答】解：作OEDAC交口0于F,交AC于E.连接OB，BC.由折叠的性质可知，EF=OE=|OF,□OE=12OA,CB0在RtDAOE中，OE=goA,CB0在RtDAOE中，OE=goA,□□CAB=30°,□AB是直径,□□ACB=90。，□BOC=2DBAC=60。,□AB=4,□BC=2aB=2,ACf3BC=2、；3□线段AB、AC和弧BC所围成的曲边三角形的面积为S=2・AC・BC+S 1 ~巧~ 60n・22V3〜S=2・AC・BC+S故选：c.扇形BC-SgC=2/3X2+^6T-Ph3+3^故选：c.【点评】本题考查的是翻折变换的性质、圆周角定理，折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.2、如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D,若AD=6,DB=7,则BC的长是（ ）A.\91 B.A-'3c.J34 D.430【分析】连接CA、CD,根据翻折的性质可得弧CD所对的圆周角是DCBD,再根据AC弧所得的圆周角也是□CBA,然后求出AC=CD,过点C作CEDAB于E,根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=ED=|AD,根据直径所对的圆周角是直角可得□ACB=90。，然后求出口ACE和DCBE相似，根据相似三角形对应边成比例求出CE2，再求出BE,然后利用勾股定理列式计算即可求出BC.【解答】解：如图，连接CA、CD,根据折叠的性质，弧CD所对的圆周角是DCBD, □弧AC所对的圆周角是DCBA,□CBA=DCBD,□ac=cd（相等的圆周角所对的弦相等）,过点C过点C作CEDAB于E,贝9AE=ED=2aD=jx6=3,□BE=BD+DE=7+3=10,□AB是直径,cB□□ACB=90。，cB□□ACB=90。，DCEDAB,□□ACB=DAEC=90°,□□A+DACE=DACE+DBCE=90°,□□A=DBCE,□□ACEMCBE,AECE□'=AECE□'=□ceBE，即CE2=AE・BE=3xlO=3O,在RtDBCE中，BC=uBE2+CE2=x102+30=「130故选：D.【点评】本题考查了翻折的性质,相似三角形的判定与性质,圆的性质,等腰三角形的判定与性质,作辅助线并求出AC=CD是解题的关键.3、如图，在口0中，点C在优弧Ab上，将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D,连接AC,CD.则下列结论中错误的是（）A.AC=CDB.AC+BD=BCC.ODDAB D.CD平分口ACB【分析】A、作辅助线，构建折叠的性质可得AD=CD；B、相等两弧相加可作判断；C、根据垂径定理可作判断;

D、延长OD交口0于E,连接CE,根据垂径定理可作判断.【解答】解：A、过D作DD'DBC，交口0于D'，连接CD'、BD',由折叠得：CD=CD'，DABC=DCBD',B、C、D、□AC=CD'=CD，故□B、C、D、□AC=CD'=CD，故□正确;□AC=CD',口AC=CD，，由折叠得：BD=BDf,□AC+BD=BC,故□正确;□D为AB的中点，DODDAB，故□正确;延长OD交口0于E,连接CE,□OD^AB,□□ACE=DBCE,□CD不平分DACB,故□错误；故选：D.【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.也考查了圆周角定理和垂径定理.4、如图，DABC内接于口0,BC=2迈,^BAC=45°,将劣弧Ab和Ac分别沿直线AB、AC折叠后交于点M,点S、T是弦AB、AC上的动点，则口MST的周长的最小值为（ ）A.2丫2 B.4 C.4丫2 D.8【分析】作点M关于AB的对称点M',关于AC的对称点M〃，根据折叠的性质得到点M',M〃在圆周上,连接M'M〃，交AB于S,交AC于T,则口MST的周长最小，连接AM',AM〃，OB,OC,根据圆周角定理得到M'M〃是口。的直径，即可得到结论.【解答】解：作点M关于AB的对称点M，关于AC的对称点M〃,□将劣弧AB和AC分别沿直线AB、AC折叠后交于点M,则口M'AM〃=2DBAC,□BAC=45。，□M'AMhBOC=90。，BC=2『2，DOB=2，M'M〃=2OB=4,□MST的周长的最小值为4,故选：B.【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，轴对称-最短路线问题，翻折变换（折叠问题），圆周角定理勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键.5、如图，在口0中，点C在优弧DACB上,将弧沿DBC折叠后刚好经过AB的中点D,若口0的半径为污,AB=4，则BC的长是 .

【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC,作CEDAB于E,OFDCE于F,如图，利用垂径定理得到ODDAB,

则AD=BD=2aB=2,于是根据勾股定理可计算出OD=1,再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，贝9根据圆周角定理得到訟&,所以AC=DC,利用等腰三角形的性质得AE=DE=1,接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF后得到CE=BE=3，于是得到BC=3込【解答】解：连接OD、AC、DC、OB、OC,作CEDAB于E,OFDCE于F,如图,DD为AB的中点，DODDAB,DAD=BD=2aB=2,在RtDOBD中,OD=、OB2—BD2={(i'5)2—22=1,□将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D.dAc和CD所在的圆为等圆，DAC=CD,DAC=DC,DAE=DE=1,易得四边形ODEF为正方形，DOF=EF=1,在RtDOCF中，CF=JCO2—OF2=（\；5）2—12=2,DCE=CF+EF=2+1=3,而BE=BD+DE=2+1=3,□BC=3\2.故答案为3迈【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．6、如图，AB是半径为2的口0的弦，将Ab沿着弦AB折叠，正好经过圆心O,点C是折叠后的Ab上一动点，连接并延长BC交口0于点D,点E是CD的中点，连接AC，AD,EO.则下列结论：□□ACB=120。，□□ACD是等边三角形，DEO的最小值为1,其中正确的是 .（请将正确答案的序号填在横线上）【分析】根据折叠的性质可知，结合垂径定理、三角形的性质、同圆或等圆中圆周角与圆心的性质等可以判断□□是否正确，EO的最小值问题是个难点，这是一个动点问题，只要把握住E在什么轨迹上运动，便可解决问题．□□ACB=120°（同弧所对圆周角相等）dd=2□AOB=60。（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）□□ACD=180°-DACB=60°□□ACD是等边三角形（有两个角是60°的三角形是等边三角形）□F是AB中点即，EF是DABE斜边中线□AF=EF=BF即，E点在以AB为直径的圆上运动.所以，如图3,当E、O、F在同一直线时，OE长度最小此时，AE=EF，AEDEF□O的半径是2,即OA=2,OF=1□AFf：3 （勾股定理）OE=EF-OF=AF-OFr3-1所以，□不正确综上所述：□□正确，□不正确.故答案为□□.【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂径定理.7、如图，将Ab沿着弦AB翻折，C为翻折后的弧上任意一点，延长AC交圆于D,连接BC.求证：BC=BD；若AC=1,CD=4,AB=120°，求弦AB的长和圆的半径.【分析】(1)作点C关于AB的对称点C,连接AC,BC.利用翻折不变性，以及圆周角定理即可解决问题；(2)连接OA，OB,作OMDAB于M,AHDBC交BC的延长线于H.解直角三角形求出AB,OA即可；【解答】(1)证明：作点C关于AB的对称点C',连接AC',BC'.由翻折不变性可知：BC=BC',DCAB=DBAC',口BD=BC,□BD=BC',□BC=BD.(2)解：连接OA,OB,作OMDAB于M,AHDBC交BC的延长线于H.□AB=120°，□□D=2x120°=60°,BACr□□AOB=DACB=2DD=120°,BACr□□AOB=DACB=2DD=120°,□BC=BD,□□BCD是等边三角形，□BC=DC=4,在RtDACH中,□□H=90。，DACH=60°,AC=1,□ch=2，AH=□ch=2，AH=V□AB=AH2+BH2=□OMDAB,□AM=BM=<21~T□AM=BM=<21~T，在RtDAOM中,□□OAM=30°，□AMO=90°，□OA=AMcos30°=门【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，翻折变换，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．8、如图，已知口0的半径为2,AB为直径，CD为弦.AB与CD交于点M,将CD沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P,使AP=OA，连接PC求CD的长；求证：PC是口0的切线；点G为ADb的中点，在PC延长线上有一动点Q,连接QG交AB于点E.交BC于点F(F与B、C不重合).问GE・GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由.

【分析】(1)连接OC,根据翻折的性质求出OM,CDDOA，再利用勾股定理列式求解即可;(2)利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定理逆定理求出口卩。0=90°,再根据圆的切线的定义证明即可;(3)连接GA、AF、GB,根据等弧所对的圆周角相等可得DBAGWAFG,然后根据两组角对应相等两三角相似求出DAGE和DFGA相似，根据相似三角形对应边成比例可得G|=AG，从而得到GE・GF=AG2，再根据等腰直角三角形的性质求解即可.CD=2CM=2OC2-OM2=222-12=2、32）证明：PA=OA=2,AM=OM=1,CM=1CD^'''3,DCMP=DOMC=90°,□PC=\/MC2+PM2 •③2+32=2朽□OC=2,PO=2+2=4,PC2+OC2=(2\：3)2+22=16=PO2,□PCO=90。，PC是口0的切线；解：GE・GF是定值，证明如下，OGGE□=□GFGH□GE・GF=OG・GH=2x4=8.【点评】本题是圆的综合题型，主要利用了翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理，勾股定理逆定理，圆的切线的定义，相似三角形的判定与性质，难点在于(3)作辅助线构造出相似三角形.9、如图，将半径为12的口0沿AB折叠，弧AB恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D,则折痕AB长为()A.4迈 B.8\迈 C.6 D.6\2【分析】延长CO交AB于E点，连接OB,构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出AB的长【解答】解：延长CO交AB于E点，连接OB,CEDAB，E为AB的中点，□OE=DE-OD=4-2=2，在RtDOEB中，□OE2+BE2=OB2,□BE=OB2-OE2=*62—424*2□AB=2BE=8\込.故选：B.【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键.10、已知如图：□O的半径为8cm,把弧AmB沿AB折叠使弧AmB经过圆心O,再把弧AOB沿CD折叠，使弧COD经过AB的中点E,则折线CD的长为（ ）A.8cmCA.8cmC.2\'7cmD.4\7cm【分析】连接OE并延长交CD于点F,交CD于点F,交弧AmB于点G,根据翻折的性质得出OF'=6,再由勾股定理得出．□CD=2CD=4\7cm.故选：D.点评】本题考查了垂径定理和勾股定理以及翻折的性质,是基础知识要熟练掌握．11、如图，是一个圆心角为90°的扇形，AO=2cm，点P在半径AO上运动，点Q在弧AB上运动，沿PQ将它以上的部分向下翻折，使翻折后的弧恰好过点O,则OP的最大距离为 .【分析】作O关于PQ的对称点O',O怡好落在口0上，于是得到OP=cos：POE，推出口OO'Q为等边三角形,根据等边三角形的性质得到OQ=O'Q=OO'=R,当cosDPOE最小时，DPOE最大，当口QOB=0°时，DPOE=30°于是得到结论．【解答】解：作O关于PQ的对称点O',O"恰好落在口0上,

1一 2RDOP=CosD