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定积分基本定理第一页，共二十页，2022年，8月28日4.2.1变上限定积分如果x是区间[a,b]上任意一点，定积分表示曲线y=f(x)在部分区间[a,x]

上曲边梯形AaxC的面积，如图中阴影部分所示的面积.当x在区间[a,b]

上变化时,阴影部分的曲边梯形面积也随之变化，所以变上限定积分yxy=f(x)axbOACB是上限变量x的函数.记作

F(x)，即≤≤F(x)第二页，共二十页，2022年，8月28日注意到教材中的积分式,积分上限中的积分变量，与被积函数中自变量用的是同一个字母符号，其实两者的含义是不同的,为避免混淆,这里改用为积分变量.由于定积分的值与积分变量的记号无关,把积分变量改用别的字母表示,不影响积分结果.通常称积分式为变上限的积分第三页，共二十页，2022年，8月28日变上限的积分≤≤有下列重要性质:定理4.1

若函数

f(x)在区间

[a,b]

上连续，则变上限定积分在区间

[a,b]

上可导，并且它的导数等于被积函数，即第四页，共二十页，2022年，8月28日定理4.1告诉我们，是函数f(x)在区间[a,b]

上的一个原函数，这就肯定了连续函数的原函数是存在的，所以，定理4.1也称为原函数存在定理.变上限定积分

推论

(原函数存在的充分条件)闭区间上的连续函数,

在该区间上它的原函数一定存在.第五页，共二十页，2022年，8月28日例

1(1)

求(x).解

根据定理4.1，得(2)求解第六页，共二十页，2022年，8月28日补充例求(x).解(x)第七页，共二十页，2022年，8月28日补充例求F(x).解

根据定理

1，得第八页，共二十页，2022年，8月28日*补充例

解第九页，共二十页，2022年，8月28日例2求解当时,原式为型不定式,可用洛必达法则求得第十页，共二十页，2022年，8月28日4.2.2微积分的基本公式定理

如果函数

f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是

f(x)在区间

[a,b]

上任一原函数，那么为了今后使用该公式方便起见，把上式右端的这样上面公式就写成如下形式：“Newton—Leibniz公式”第十一页，共二十页，2022年，8月28日例

3

计算下列定积分.

解第十二页，共二十页，2022年，8月28日4.2.3定积分的性质下面各性质中的函数都假设是可积的.

性质

1

(1)

两个函数和的定积分等于它们定积分的和，即性质2

被积函数的常数因子可以提到积分外面，即第十三页，共二十页，2022年，8月28日性质

1

(1)

可推广到有限多个函数代数和的情况，即第十四页，共二十页，2022年，8月28日性质

3

(积分对区间可加性)

如果积分区间

[a,b]

被点

c分成两个区间

[a,c]

和

[c,b]，那么当点

c不介于a

与b

之间，即c<a<b

或a<b<c时，结论仍正确.第十五页，共二十页，2022年，8月28日补充例题

计算下列定积分.

解第十六页，共二十页，2022年，8月28日解

把被积函数化简.补例

计算第十七页，共二十页，2022年，8月28日解补充题例≤≤第十八

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