实变函数第一章第二节

实变函数第一章第二节第一页，共三十四页，2022年，8月28日定义1：设X,Y是两个非空集合，若依照对应法则f，对X中的每个x，均存在Y中唯一的y与之对应，则称这个对应法则f是从X到Y的一个映射，记作f:X→Y注：集合，元素，映射是一相对概念略：像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射，一一映射（双射）１映射的定义[]第二页，共三十四页，2022年，8月28日例1、定积分运算为从[a,b]上的可积函数集到实数集的映射(函数,泛函,算子)2、集合的特征函数（集合A与特征函数互相决定）称为集A的特征函数，第三页，共三十四页，2022年，8月28日

对等与势1）设A,B是两非空集合，若存在着A到B的一一映射（既单又满），则称A与B对等,注：称与A对等的集合为与A有相同的势（基数），记作势是对有限集元素个数概念的推广记作约定注:对等关系是等价关系第四页，共三十四页，2022年，8月28日1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...1,3,5,7,9,11,13,15,...2,4,6,8,10,12,14,16...n2n-12n例第五页，共三十四页，2022年，8月28日有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等）且一定能做到，而有限集则不可能。例第六页，共三十四页，2022年，8月28日基数的大小比较

注1)任意两个集合他们地基数都是可以比较大小的,并且他们间的关系(>,<,=)唯一.第七页，共三十四页，2022年，8月28日Bernstein定理的证明fλ第八页，共三十四页，2022年，8月28日Bernstein定理第九页，共三十四页，2022年，8月28日Bernstein定理的证明证明:ABgf第十页，共三十四页，2022年，8月28日Bernstein定理的证明ABggfff第十一页，共三十四页，2022年，8月28日ABfgffgBernstein定理的证明第十二页，共三十四页，2022年，8月28日Bernstein定理的证明此处都是关于映射g,如果不是同一映射,则不一定成立.第十三页，共三十四页，2022年，8月28日例：由可知，试问如何构造两者间的既单又满的映射。Bernstein定理的运用第十四页，共三十四页，2022年，8月28日Th1.2.2:A可数当且仅当

A可以排成一个无穷序列{a1,a2,a3,…}1,2,3,4,5,6,…a1,a2,a3,a4,a5,a6,…例：1）Z={0，1，-1，2，-2，3，-3，…}１可数集的定义例:2）[0,1]中的有理数全体

={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,…}

设A是任一集合，若A与自然数集N对等，则称A为可数集或可列集，其基数记为第十五页，共三十四页，2022年，8月28日假设这是一个无限集M我们可以取出其中一个点a1显然M\{a1}还是无限集在M\{a1}中可以取出一点a2显然M\{a1，a2}还是无限集我们可以取出一个可数子集{a1,a2,a3,...}

[定理1.2.3]

任何无限集合均含有可数子集（即可数集是无限集中具有最小势的的集合)２可数集的性质（子集）第十六页，共三十四页，2022年，8月28日[th1.2.4]

可数集的无限子集为可数集,从而可数集合的任何子集或者是有限集或者是可数集[th1.2.5]A为可数集,B为有限集或者可数集,则为可数集.A={a1,a2,a3,a4,a5,a6,…}B={b1,b2,b3,b4,b5,b6,…}或B={b1,b2,b3，……,bk}第十七页，共三十四页，2022年，8月28日可数集的性质（并集）[th1.2.5]

即可数个可数集的并仍为可数集第十八页，共三十四页，2022年，8月28日当Ai互不相交时，按箭头所示，我们得到一个无穷序列;当Ai有公共元时，在排列的过程中除去公共元素；A1A2A3A4可数个可数集的并

仍为可数集的证明第十九页，共三十四页，2022年，8月28日设Ai={1/i,2/i,3/i,4/i,5/i,…},则Ai是可数集，例1.2.3全体有理数之集Q是可数集所以Q是可数集（可数个可数集的并）说明:有理数集在直线上稠密,但仍与稀疏分布在直线上的整数集有相同多的点(对等意义下).故Q+是可数集第二十页，共三十四页，2022年，8月28日笛卡尔乘积的定义第二十一页，共三十四页，2022年，8月28日有限个可数集的卡氏积是可数集设A，B是可数集，则A×B也是可数集从而A×B也是可数集（可数个可数集的并）利用数学归纳法即得有限个乘积的情形x固定x，y在变第二十二页，共三十四页，2022年，8月28日定理若A中的每个元素可由n个互相独立的记号一对一地加以决定,各记号跑遍一个可数集则A为可数集.证明:构造一一对应第二十三页，共三十四页，2022年，8月28日例1.2.4平面上以有理点为圆心，有理数为半径的圆全体A为可数集证明：平面上的圆由其圆心(x,y)和半径r唯一决定,从而r(x,y)第二十四页，共三十四页，2022年，8月28日整系数多项式方程的实根称为代数数；不是代数数的实数称为超越数。由代数基本定理知任意整系数多项式至多有有限个实根，从而结论成立.设P是整系数多项式全体所成之集,P(n)是n次整系数多项式全体例1.2.4代数数全体是可数集第二十五页，共三十四页，2022年，8月28日有关超越数的说明1874年Cantor开始研究无限集的计数问题;1873年C.埃尔米特证明了e是超越数;1882年Lindemann证明了π是超越数;1934年A.O.盖尔丰得证明了若α不是0和1的代数数，β是无理代数数,则αβ是超越数(此问题为Hilbert于1900年提出的23个问题中的第7问题)。我们证明了代数数全体是可数集合，通过后面可知道超越数全体是不可数集，故超越数比代数数多得多第二十六页，共三十四页，2022年，8月28日假设这是集合A从中可以取出可数子集M很容易将M一分为二M1,M2，使得两个都是可数集A\MM={a1,a2,a3,a4,a5,a6,…}M1

={a1,a3,a5,…}M2={a2,a4,a6,…}取A*=(A\M)∪M1=A-M2即可P42:16.说明：由此我们可得任一无限集一定存在它的一个真子集与它有相同多的元素个数第二十七页，共三十四页，2022年，8月28日定理定理7:A为无限集A可以与其真子集对等第二十八页，共三十四页，2022年，8月28日数的进位制简介十进制小数相应于对[0,1]十等分二进制小数相应于对[0,1]二等分三进制小数相应于对[0,1]三等分说明：对应[0,1]十等分的端点有两种表示，如0.2000000…0.1999999…（十进制小数）第一次十等分确定第一位小数第二次十等分确定第二位小数第二十九页，共三十四页，2022年，8月28日不可数集的存在性的证明证明：假设（0,1）是可数集,则（0,1）可以写成一个无穷序列的形式：把每个数写成正规小数（不能以0为循环节）令x=0.a1a2a3a4…其中则得到矛盾，所以

(0,1)是不可数集。第三十页，共三十四页，2022年，8月28日推论：若用或c表示全体实数所成集合R的基数,用a表示全体正整数所成集合N的基数,则c>a.定理2:任意区间(a,b),[a,b),(a,b],(0,∞),[0,∞)均具有连续基数.2连续势集的定义称(读作:Alehp)或c为连续基数.第三十一页，共三十四页，2022年，8月28日例1.2.6:(见书)第三十二页，共三十四页，2022年，8月28日

连续势集的性质（并集）定理1.2.7:连续势集的（有限个，可数个，连续势个）并仍为连续势集(](](]012n-1n(](](]01