密度矩阵重整化

密度矩阵重整化第一页，共二十五页，2022年，8月28日一个多体相互作用系统在某个特定状态(例如基态)下的物理性质

困难点：不可微扰凝聚态物理多体理论需要解决的问题是什么？第二页，共二十五页，2022年，8月28日用密度矩阵挑选所要保留的基矢用有限的几个基矢来近似表示一个无穷维空间中的一些状态密度矩阵重整化群系统的总自由度随粒子数呈指数增长:mN(m=2,3,…,N~1023)优化处理多粒子相互作用体系的一种数值重整化群方法第三页，共二十五页，2022年，8月28日S=1/2Heisenberg模型Totaldegreesoffreedom:2N量子效应：第四页，共二十五页，2022年，8月28日Heisenberg相互作用:H2分子能量三重态单态J第五页，共二十五页，2022年，8月28日Particleinabox第六页，共二十五页，2022年，8月28日所研究的矩阵的特点维数高:mN

稀疏：90％或更多矩阵元为零有一定的对称性（或守恒量〕：矩阵可分块对角化第七页，共二十五页，2022年，8月28日重整化群思想标度变换：作用量A与A’具有相同的泛函形式(称之为可重整性)，这也是量子场论方法的基础重正化群：只是一个半群第八页，共二十五页，2022年，8月28日保留H4

的p最小本征态经典重整化群方法:按能量保留状态保留H2

的p最小本征态第九页，共二十五页，2022年，8月28日经典重整化群方法失败的原因边界误差太大切断误差太大共p2个状态仅p个被保留按能量取舍状态有可能丢掉了一些有用的状态而保留了一些无用的状态两个开边界子系统合在一起其衔接部分的状态与实际差的很远第十页，共二十五页，2022年，8月28日改进的重整化群方法

边界误差减小

切断误差减小

2p个状态，保留p个第十一页，共二十五页，2022年，8月28日密度矩阵重整化群系统环境Superblock按系统的约化密度矩阵的本征值保留状态第十二页，共二十五页，2022年，8月28日约化密度矩阵约化密度矩阵的本征值等于其对应的本征态|>在基态上的投影振幅第十三页，共二十五页，2022年，8月28日DMRG迭代过程系统和环境中各加进一个点并初始化或更新H=Hsys+Henv+Hsys,env用Lanczos或其它稀疏矩阵对角化方法对角化H求出基态波函数构造并对角化约化密度矩阵做基矢切断并求出变换矩阵Unp第十四页，共二十五页，2022年，8月28日Lanczos方法第十五页，共二十五页，2022年，8月28日DMRG与其它方法比较MonteCarlo或其它近似方法

误差~1%1D量子系统DMRG的误差远小于其它近似方法总自由度数：2L第十六页，共二十五页，2022年，8月28日

零温，实空间：1992

热力学计算(TMRG)：经典系统1995，1D量子系统1996

高维空间：动量空间1995，分子第一性原理计算1998，待进一步发展

动力学关联函数计算：零温及1D有限温度1999

非平衡态(含时演化)问题：2001，待进一步发展与MonteCarlo方法的结合：1999，有很大的发展空间密度矩阵重整化群方法发展的主要进展第十七页，共二十五页，2022年，8月28日计算量主要CPU时间用于矩阵的对角化实际计算的矩阵的维数：104－106

稀疏程度：10-30％需要对角化的矩阵的个数：103－105矩阵与矢量相乘的总次数：105－107硬盘：10G－200G第十八页，共二十五页，2022年，8月28日转移矩阵重整化群：有限温度DMRG方法转移矩阵空间时间第十九页，共二十五页，2022年，8月28日转移矩阵重整化群与DMRG的比较T=0DMRGTMRGTargetMatrixHamiltonianHSymmetricTransferMatrixTNon-symmetricTargetStateGroundstatemax|max>DensitymatrixSymmetricNon-symmetricLatticesizeFiniteInfinity(Finitetimeslices)第二十页，共二十五页，2022年，8月28日S=1/2Heiserberg模型的磁化率第二十一页，共二十五页，2022年，8月28日S=1/2Heiserberg模型的关联长度第二十二页，共二十五页，2022年，8月28日二维密度矩阵重整化群方法核心问题：2D格子如何向1D格子映射？多链方法2D方法Condmat/0102200第二十三页，共二十五页，2022年，8月28日Heisenberg模型的基态性质SquareLatticeTriangleLatticeSquare TriangleDMRG-0.3346-0.1814MC-0.334719-0.1819SW-0.33475