第五章大数定律

第五章大数定律与中心极限定理切比雪夫不等式或由切比雪夫不等式可以看出，若越小，则事件{|X-E(X)|<}的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大.如图所示二、Chebysherv不等式的应用概率的估算

例解：设该地区次小麦品种的亩产量为X.理论证明的工具例1已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.解：设每毫升白细胞数为X依题意，E(X)=7300,D(X)=7002所求为P(5200X9400)P(5200X9400)=P(-2100X-E(X)2100)=P{|X-E(X)|2100}由切比雪夫不等式

P{|X-E(X)|2100}即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/9.例2在每次试验中，事件A发生的概率为0.75,利用切比雪夫不等式求：n需要多么大时，才能使得在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90?解：设X为n次试验中，事件A出现的次数，E(X)=0.75n,的最小的n.则X~B(n,0.75)所求为满足D(X)=0.75×0.25n=0.1875n=P(-0.01n<X-0.75n<0.01n)=

P{|X-E(X)|<0.01n}

P(0.74n<X<0.76n)可改写为在切比雪夫不等式中取n，则

=P{|X-E(X)|<0.01n}解得依题意，取

即n取18750时，可以使得在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90.第一节大数定律大数定律依概率收敛定义及性质小结依概率收敛定义：设是一个随机变量序列，a是一个常数，若对于任意整数ε，有：则称序列依概率收敛于a记做：请注意:背景：

大数定律研究在什么条件下随机变量序列的算术平均值收敛于其均值的算术平均值。特例：频率的稳定性。大数定律（难点）大数定律设{Xk}是随机变量序列，数学期望E(Xk)(k=1,2,...)存在，若对于任意ε>0，有则称随机变量序列{Xn}服从大数定律.大数定律Chebysherv

定理1(Chebysherv大数定律)切比雪夫大数定律表明，独立随机变量序列{Xn}，如果方差有共同的上界。则当n充分大时，偏差很小的概率接近于1与其数学期望即当n充分大时，差不多不再是随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于1切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述解独立性依题意可知,检验是否具有数学期望？例1说明每一个随机变量都有数学期望,检验是否具有有限方差？说明离散型随机变量有有限方差,故满足切比雪夫定理的条件.一、大数定律定理2（切比雪夫定律的特殊情况）切比雪夫则对任意的ε>0，有做前n个随机变量的算术平均说明

设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数ε>0，有定理2（伯努利大数定律）或

伯努利下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.

设随机变量序列X1,X2,…相互独立，服从同一分布，具有数学期E(Xi)=μ,i=1,2,…，则对于任意正数ε

，有定理3（辛钦大数定律）辛钦

1、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.注2、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况.3、辛钦定理具有广泛的适用性.要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性块，例如n块地.计算其平均亩产量，则当n较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计.大数定理的应用Khintchin大数定理应用Bernoulli大数定理应用寻找随机事件概率提供了一条实际可行的途径寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径例2

在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码.

设，k=1,2,…问对序列{Xk}能否应用大数定律？即对任意的ε>0,解:k=1,2,…E(Xk)=0.1,

诸Xk

独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律.解由辛钦定理知例3小结大数定律

大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：平均结果的稳定性第二节中心极限定理中心极限定理例题小结

定义：设{Xk}为相互独立的随机变量序列,有有限的数学期望E(Xk)=μk和方差D(Xk)=σk2,令若对于一切实数x,有则称随机变量序列{Xk}服从中心极限定理.一、中心极限定理定理5.5（独立同分布下的中心极限定理）定理5.5的等价形式1){Xn}独立同分布，D(Xn

)<∞。则当n较大时，定理表明，当n充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布。注例:将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于500的概率是多少？解设 Xk为第k次掷出的点数,k=1,2,…,100,则X1,…,X100独立同分布.求：提示：由中心极限定理可知：标准化之后服从N(0,1)例:将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于500的概率是多少？由中心极限定理，Yn服从N(0,1)标准化Yn例：根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命总和大于1920小时的概率解：设第i只元件的寿命为Xi，i=1,2,…,16由已知条件，诸Xi独立，E(Xi)=100,D(Xi)=1000016只元件的寿命总和为依题意，所求为例：根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命总和大于1920小时的概率.由中心极限定理，近似N(0,1)=1-0.7881=0.2119定理5.7(棣莫佛－拉普拉斯DeLaplace定理）

设随机变量(n=1,2,‥‥)服从参数n,p(0<p<1)的二项分布，则对任意x，有定理表明，当n很大，0<p<1是一个定值时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变量的分布近似正态分布

N(np,np(1-p)).即例

已知一大批种子的良种率是1/6，现从中任意选出600粒，求这600粒种子中，良种所占的比例值与1/6之差的绝对值不超过0.02的概率。

解从一大批种子中任选600粒，内含良种的粒数为随机变量X，有X～B(600,1/6)。所求概率可表为如不用中心极限定理，则应如下求解：中心极限定理的应用独立同分布的中心极限定理应用DeMoivre-Laplace中心极限定理应用二、例题例1于是解例2.

(供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车.设开工率为0.6,并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦.问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?用X表示在某时刻工作着的车床数，解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验是观察该台车床在某时刻是否工作,工作的概率0.6,共进行200次独立重复试验.依题意，X~B(200,0.6),现在的问题是：P(X≤N)≥0.999的最小的N.求满足设需N台车床工作，（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，N台工作所需电力即N千瓦.）由德莫佛-拉普拉斯极限定理近似N(0,1),于是P(X≤N)=P(0≤X≤N)这里np=120,np(1-p)=48由3σ准则，此项为0。查正态分布函数表得从中解得N≥141.5,即所求N=142.也就是说,应供应142千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.≥3.1,故例3解例1根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布.现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.三、课堂练习例2在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码.

设，k=1,2,…(1)至少应取球多少次才能使“0”出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是0.95?(2)用中心极限定理计算在100次抽取中,数码“0”出现次数在7和13之间的概率.由题给条件知，诸Xi独立，16只元件的寿命的总和为且E(Xi)=100,D(Xi)=10000依题意，所求为P(Y>1920)设第i只元件的寿命为Xi,i=1,2,…,16例1解答：E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心极限定理,近似N(0,1)P(Y>1920)=1-P(Y1920)=1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119（1)解：设应取球n次，0出现频率为由中心极限定理例2解答：欲使即查表得从中解得即至少应取球3458次才能使“0”出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是0.95.（2）解：在100次抽取中,数码“0”出现次数为由中心极限定理,即其中E(Xk)=0.1,D(Xk)=0.09即在100次抽取中，数码“0”出现次数在7和13之间的概率为0.6826.=0.6826例

某保险公司对一种电视机进行保险，现有3000个用户，各购得此种电视机一台，在保险期内，这种电视机的损坏率为0.001，参加保险的客户每户交付保险费10元，电视机损坏时