第五章线性系统的频域分析法第3讲

5.3频率域稳定判据第五章线性系统的频域分析法使用Nyquist图和Bode图判别系统的稳定性。一、Nyquist判据的数学基础——幅角定理设复变函数①对s平面上的每一个点s(复数变量)，在F(s)平面上必有一点通过映射关系F(s)与之对应。②对s平面上的任一个不通过极点的封闭曲线，在F(s)平面上必有一连续封闭曲线ΓF通过映射关系F(s)与之对应。一、Nyquist判据的数学基础——幅角定理设复变函数①对s平面上的每一个点s(复数变量)，在F(s)平面上必有一点通过映射关系F(s)与之对应。②对s平面上的任一个不通过极点的封闭曲线，在F(s)平面上必有一连续封闭曲线ΓF通过映射关系F(s)与之对应。取简单的复变函数幅角定理：设s平面闭合曲线包围F(s)的Z个零点和P个极点，则s沿顺时针运动一周时，F(s)平面内的闭合曲线ΓF绕原点运动的圈数为：R=P-Z说明：当R>0时，曲线Γ逆时针包围原点；

当R<0时，曲线Γ顺时针包围原点；当R=0时，曲线Γ不包围原点。若R=P，即F平面内曲线ΓF逆时针绕原点的圈数等于F(s)的极点被曲线包围的个数，则内没有包含F(s)的零点。由幅角定理推导出的重要结论：1.复变函数F(s)的选择二、如何引入幅角定理

判断系统是否稳定要看闭环特征方程的特征根在s平面上的分布情况，所以初步选择为研究对象。

F(s)的极点=开环传函的极点；F(s)的零点=闭环传函的极点特点：s沿闭合曲线Г运动一周产生2条曲线，ГF

和ГGH，两个曲线相差1。将ГGH曲线沿正实轴方向移一个单位，可得ГF。ГF包围F(s)平面坐标原点的圈数=ГGH包围(-1，j0)点的圈数。系统稳定←→s平面的右半平面没有Φ(s)的极点

←→s平面的右半平面没有F(s)的零点

选择曲线Γ顺时针包围s的右半平面，由幅角定理推导出的结论，知：若R=P，即F平面内曲线Γ绕原点的逆时针圈数等于F(s)的在右半平面的极点数，则s右半平面内没有包含F(s)的零点，系统稳定。

对于开环传函G(s)H(s)，选择合适的封闭曲线Γ顺时针包围s的右半平面，如果ГGH在F(s)平面逆时针包围(-1，j0)点的圈数R等于G(s)H(s)的在s平面右半平面极点数P，则闭环系统稳定。2.S平面内闭合曲线Γ的选择由于ΓF不能通过F(s)=1+G(s)H(s)的极点，分两种情况讨论。G(s)H(s)无虚轴上的极点

S平面上的Г由两部分组成，C1：半径为∞的右半圆s=Rejq(R→∞，-900≤q≤+900)

；C2：

s平面的整个虚轴s=j(-∞<<+∞)。C2C1R=∞=C1+C2[s]G(s)H(s)有虚轴上的极点Г在第一种情况的基础上加上开环虚轴极点：①开环系统含有积分环节对应的极点0在原点附近，取s=εejθ(ε→0+,-900≤θ≤+900)(修正围线C3)C2C1R=∞=C1+C2+C3C3[s]②开环系统含有等幅振荡环节对应的极点在附近，取(e→0+,-900≤q≤+900)

(修正围线C4、C5)C2C1R=∞C4C5=C1+C2+C4+C5[s]讨论在s平面当s沿运动时，通过复变函数G(s)H(s)映射曲线ГGH的情况。3.闭合曲线ГGH的绘制C2C1R=∞=C1+C2[s]G(s)H(s)无虚轴上的极点(ν=0，0型系统)当s沿C1顺时针移动时nm时，上式=0。说明C1为FGH为一个点，对系统的稳定性研究没有意义。C2C1R=∞=C1+C2[s]当s沿C2移动，且ω∈[0,∞)时，ГGH对应开环幅相曲线C2C1R=∞C=C1+C2+C3C3修正围线C3的映射ГGH为①G(s)H(s)含有积分环节[s]G(s)H(s)有虚轴上的极点考虑到半闭合曲线，C3的一半（即θ∈[0,90°]，s∈[j0，j0+]）映射，是从GH(j0+)点逆时针作半径无穷大、圆心角为ν×90°的圆弧。②

G(s)H(s)含有等幅振荡环节4、ГGH包围(-1,j0)圈数的计算三、奈氏判据奈氏判据的主要特点有1.根据系统的开环频率特性，来研究闭环系统稳定性，而不必求闭环特征根；2.能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）；3.可用于分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析与设计；4.基于系统的开环奈氏图，是一种图解法。四、奈氏判据判稳实用步骤1、做常规开环传函极坐标图(0+≤≤+∞)；2、从G(j0+)H(j0+)开始，逆时针补画一条半径为∞，圆心角为或的圆弧；3、计算R(按照正负穿越情况计算)；4、从G(s)H(s)中找出不稳定极点数P；5、按照奈氏判据Z=P-R=P-2N，判定系统的稳定性。例：

一个系统的开环传递函数为

用奈氏稳定判据判断系统的稳定性系统稳定频率特性没有极点位于右半s平面，P=0。例：

系统开环传递函数为

五、对数坐标图上的Nyquist稳定性判据

奈氏图与伯德图的对应关系

开环系统幅相频率特性与对数频率特性之间存在如下对应关系:（1）在GH平面上,|GK(j)|=1的单位圆，对应于对数幅频特性的0分贝线；单位圆外部如(-，-1)区段，对应L(ω)>0dB，单位圆内部对应L(ω)<0dB。（2）从对数相频特性来看,GK(j)平面上的负实轴，对应于对数相频特性上的()=-180°。（3）(-1，j0)点的向量表达式为1∠-180°，对应于伯德图上穿过0分贝线，并同时穿过()=-180°的点。半对数坐标下的奈氏回线Г的确定

穿越在伯德图上的含义系统开环对数幅频特性L()通过0分贝线，即L(c)=0或A(c)=1时的频率c称为截止频率。截止频率c

是分析与设计时的重要参数。相当于穿越负实轴上的一点（1）穿越：在L(ω)>0dB的频率范围内，相频特性曲线穿过-180°；在L(ω)<0dB的频率范围内，相频特性曲线穿过-180°不是穿越。正负（2）正穿越N+

：产生正的相位移，这时，相频特性应由下部向上穿越-180°线。（3）负穿越N-：产生负的相位移，这时，相频特性应由上部向下穿越-180°线。正、负穿越的定义和前面的定义实际上是一致的。正负奈氏判据在极坐标图和对数坐标图上的表现形式的对比极坐标图负实轴(-∞,1)对数坐标图j(w)=-1800

L(w)>00-1800

-3600

N-N+第三象限第二象限对数坐标图上R的计算方法：在20lgA(w)>0的频段内，相频特性j(w)穿越-1800次数的2倍。0-p

N-N+-1

j(w)从-p线出发时，计做半次穿越。s/rad0.11100.01s/rad0.11100.01-2700-3600-1800-900002040-20-40辅助线N-N+注意：当开环传递函数含有积分环节时，对应的对数相频特性曲线上w为0+处，用虚线向上增补n个900角。[例]设系统的开环传递函数如下，系统开环对数频率特性曲线如图所示，试判别闭环系统的稳定性。

解：由系统开环传递函数可知，开环系统是稳定的，即P=0，在L(ω)>0dB的频率范围内，相频特性曲线(