第六章矩阵分析及其应用

第六章矩阵分析及其应用虽然在微积分开端时期贝克莱将无穷小称为“上帝的幽灵”，进而导致“第二次数学危机”，直到柯西的“极限论”和戴德金等的“实数理论”的出现危机才算彻底解决。但微积分在近代社会的巨大作用我们早已深有体会，将微积分中的极限、导数、积分、级数等分析思想和方法应用于矩阵的研究，自然就在情理之中。§1、矩阵序列与矩阵级数

微积分的基础是数列极限的收敛理论及其衍生出来的级数理论。矩阵可看成一个“超数”，因此类比可得矩阵序列与矩阵级数，只要找到度量两个“超数”距离的适当工具。在矩阵里，这就是范数。尽管使用给定基下的分量和元素等也可以，但明显用范数记号简洁明晰，且有助于证明。一、矩阵序列的收敛性定义1

设有中的矩阵序列这里。如果，则称此矩阵序列收敛，其极限为，记为根据矩阵序列收敛性的定义，可证明下列性质。定理2

中的矩阵序列分别收敛于，则定理3

中的矩阵系列分别收敛于，则定理4

中的矩阵序列收敛于，且所有

和都可逆，则注意定理中条件“所有和都可逆”必不可少，例如下面的不可逆，虽然可逆，且注意都是方阵用矩阵的范数理论来研究矩阵序列的收敛性是最常用、最简洁的方法。特别地，若，则的充要条件是定理5

中的矩阵序列收敛于的充要条件是对任意一种矩阵范数，都有证明：所以由范数的等价性，对于上任意一个范数，必存在正常数，使由于向量是特殊的矩阵，因此我们有推论1

中的向量序列收敛于的充要条件是对任意一种向量范数，都有联想到等比数列收敛当且仅当，类似地，我们有最常见的矩阵序列是方阵的幂构成的矩阵序列。定理6

中的矩阵是收敛矩阵，即的充要条件是矩阵的谱半径小于1，即注意是方阵证明：设矩阵的Jordan分解为则从而由定理3可知，这里规定时，由于谱半径不易计算，联系到谱半径不超过任何一种矩阵范数，实际常用范数来判断矩阵是否是收敛矩阵。只有很难找到这样的范数，才计算出矩阵的所有特征值，进而得到谱半径。定理7

中的矩阵是收敛矩阵的充分条件是存在一种矩阵范数，使得二、矩阵级数定义8

设有中的矩阵序列，矩阵级数指的是无穷和称矩阵级数收敛，且其和为，如果其部分和序列收敛于，即这是因为显然，矩阵级数收敛时其通项收敛于，即这个结果与数项级数一致。定义9

中的矩阵级数称为绝对收敛的，如果数项级数都绝对收敛。这里定理10

中的矩阵级数绝对收敛的充要条件是正项级数收敛，这里的矩阵范数是任意的。同数项级数相吻合的是，判定矩阵级数是否绝对收敛可借助范数理论转化为判定正项级数的敛散性。证明：必要性。从而若级数绝对收敛，则都收敛，故所以正项级数收敛。根据范数的等价性，对任意矩阵范数，正项级数收敛。证明：充分性。若级数收敛，则正项级数

也收敛，故所以都收敛，即绝对收敛，因此矩阵级数绝对收敛。定义11

中的矩阵级数称为矩阵的幂级数。这里.

由前可知矩阵的幂级数是实变量的幂级数以及复变量的幂级数的推广，因此讨论矩阵幂级数的收敛性问题自然就与复变量的幂级数的收敛半径联系起来。注意是方阵定理12

设幂级数的收敛半径为，则当时幂级数收敛；当时幂级数发散。证明：设矩阵的Jordan分解为则从而其中这里规定时，绝对收敛，故矩阵幂级数绝对收敛。则当时幂级数当时矩阵必有某个特征值，从而幂级数发散，因此矩阵幂级数发散。绝对收敛，故矩阵幂级数绝对收敛。最后讨论最特殊的诺伊曼(Neumann)级数,即幂级数的收敛半径是，并且收敛于所以我们通过类比可以得到定理13

上的诺伊曼(Neumann)级数收敛的充要条件是。并且诺伊曼(Neumann)级数收敛于定理14

对上满足的相容矩阵范数，如果，则有误差估计式定理14的证明需要用到上一节的定理34，即：定理34

对，若，则矩阵非奇异，且证明：所以Neumann级数收敛。则由于，由题知两边取范数，并利用引理6，得例15判断方阵幂级数收敛，并求其和。解：方阵

的谱半径满足所以方阵幂级数收敛，并且§4、函数矩阵及矩阵从函数的眼光看，特征多项式和矩阵序列涉及的都是特殊的函数矩阵，即元素是函数的矩阵，这就自然引出对矩阵的研究，并进而发现它能够简化Jordan标准型的繁杂计算。一、函数矩阵定义1称矩阵为函数矩阵，也称为矩阵值函数，其中元素

为数域上关于实数的函数。特别地，当时是一个函数行向量；当时是一个函数列向量。两者统称向量值函数。

（3）矩阵值函数：初等变换，相似变换，矩阵多项式，矩阵指数函数，求特征值，求主元列，等定义域是矩阵或向量，值域也是矩阵或向量函数与矩阵

（2）标量函数：行列式，秩，二次型，迹，范数等定义域是矩阵或向量，值域是数集；

（1）函数矩阵：梯度，矩阵等定义域是数集，值域是矩阵或向量：定义2称阶函数矩阵是可逆的，如果有并称为的逆矩阵。反之亦然。

视函数为“数”，则函数矩阵的加法、数乘、乘法、转置与常数矩阵的相应运算相同；方函数矩阵的行列式计算与常数矩阵也相同。定义3称阶函数矩阵在上是可逆的，当且仅当在上处处不为零，且这里为的伴随矩阵。在上是可逆的，但在上却不是可逆的。定义4

设有函数矩阵。如果函数在都有极限，则称函数矩阵在有极限，记为如果，则称函数矩阵在连续。

显然函数矩阵求极限的加减法、数乘、乘法等运算法则与函数极限的相应运算法则相同。定义5

设有函数矩阵。称矩阵

可导，如果其每个元素都是可微函数，且导数为定义6

设有函数矩阵。称矩阵的导数为满足下式的矩阵：联想到普通函数的导数也满足下式：定理7

设和都是可微矩阵，则这里为可微矩阵。遗憾的是，链氏法则对矩阵值函数并不成立。例如对矩阵多项式函数显然上式中，要使法则成立，显然需要补充条件如此，对多项式函数，才能成立链式法则定义8

设有函数矩阵。称矩阵二阶可微，如果其每个元素都是二阶可微函数，且二阶导数为一般地，不难给出函数矩阵的高阶导数。例9

设矩阵，证明因为矩阵的迹是线性函数，即例13说明对函数矩阵A(t)而言，求导和A(t)的线性函数l(A(t))可以交换运算次序，即定义10

设有函数矩阵。称在上可积，如果其每个元素都在上可积，且积分为容易验证函数矩阵的积分具有下列性质：这里为常量矩阵。定理11

设和都在上可积，则定理12

设在上连续，则成立微积分基本定理：定理13

设在上连续，则成立牛顿-莱布尼兹公式：二、矩阵及其标准型定义14称函数矩阵为矩阵，如果元素为数域上关于的多项式函数。定理15矩阵可逆的充要条件是其行列式为非零的常数，即定义16如果矩阵经过有限次的初等变换化成矩阵，则称矩阵与等价，记为定理17矩阵与等价的充要条件是存在可逆矩阵，使得定理18任意阶的矩阵都必定有一个与之等价的Smith标准型这里数称为的秩，记为，非零对角元是首一（首项系数为1）多项式，并且定义19矩阵的Smith标准型中的非零对角元

称为的不变因子。例20

求矩阵的Smith标准型，其中解：对矩阵进行初等变换，可得不满足整除条件！即为所求的Smith标准型。定义21矩阵的所有非零阶子式的首一（最高次项系数为1）最大公因式

称为的阶行列式因子。定理22等价矩阵具有相同的秩和相同的各级行列式因子。定理23

矩阵的Smith标准型是唯一的，并且定理23说明我们可以用行列式因子来确定不变因子，从而得到唯一的Smith标准型。但行列式因子的计算复杂，所以通过初等变换求Smith标准型显然“胜出”。在线性代数中处理数字矩阵时也是如此。定理24矩阵与等价的充要条件是它们有相同的行列式因子（或相同的不变因子）。定义25

将矩阵的所有非常数不变因子分解为互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）称为的初等因子。例如例20中的不变因子为因此的初等因子为例26

矩阵的不变因子为则矩阵的所有初等因子为如果知道矩阵的所有初等因子，能否确定相应的不变因子呢？等价矩阵的初等因子是否相同呢？下面的两个矩阵的初等因子相同，但不变因子不相同，也不是等价矩阵，因为它们的秩不相等：定理27矩阵与等价的充要条件是它们有相同的初等因子，并且秩相等。例28

求矩阵的Smith标准型，其中解：对矩阵进行初等变换，可得即为所求的Smith标准型。例28中的不变因子为因此的初等因子为反之，如果还知道的秩为3，则可知的三个不变因子，进而可确定的Smith标准型，因此也可唯一确定相应的Jordan块，即：总结等价不变因子或行列式因子相同初等因子相同秩相同三、Smith标准型的应用定理29两个数字方阵相似的充要条件是它们的特征矩阵等价。定义30称阶数字矩阵的特征矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子为矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子。定理31两个数字方阵相似的充要条件是它们有相同的行列式因子（或不变因子）。不变因子或行列式因子相同初等因子相同

与等价

与相似

与的秩都为定理32复数域上两个数字方阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子。由定理32和例28可知，初等因子与阶Jordan块存在一一对应关系。因此可利用特征矩阵的初等因子求矩阵的Jordan标准型。例33

求矩阵的Jordan标准型，其中解：对矩阵进行初等变换，可得因此的初等因子为从而所求Jordan标准型为初等因子法的优缺点都是不能求出Jordan变换矩阵。

那么的最小多项式为定理34矩阵的最小多项式是矩阵的第个不变因子，也就是说，如果有

这里为的Jordan标准型中包含的最大Jordan块的阶数，即的指标。例35

求矩阵的最小多项式，其中并求矩阵的矩阵多项式解：对矩阵进行初等变换，可得因此的最小多项式为由于因此定理36矩阵可对角化的充要条件是的最小多项式没有重根。例37

证明幂等矩阵一定相似于对角矩阵。证明：由于，因此是的零化多项式。由于没有重根，因此也没有重根。根据定理36，结论成立。§3、矩阵函数及其计算矩阵函数在力学、控制理论及信号处理等学科中具有重要应用。类比普通函数，矩阵函数的特殊之处在于其自变量与因变量都是方阵。对应于矩阵函数的多种表示方式(幂级数、Jordan表示、多项式表示、积分表示等)，定义矩阵函数的方式也很多。一、矩阵函数的定义及性质定义1

设一元函数可展开为收敛半径为的幂级数，即而矩阵的谱半径，则矩阵函数

即为相应的矩阵幂级数(收敛时)的和，即在高等数学和复变函数中，有幂级数展开式：相应地，我们有矩阵函数：以及含参矩阵函数：根据欧拉公式，可以推出：遗憾的是，指数运算规则一般不成立：例如，令有则可以验证确实两两不等。那么什么条件下指数运算规则成立呢？定理2

如果，那么证明：而推论

设，则二、矩阵函数的计算由矩阵函数的定义，矩阵函数的计算转化为矩阵幂级数和的计算，主要就是矩阵幂的计算。首先联想到矩阵的对角化问题，即希望利用特征值分解来计算矩阵函数。由于对角矩阵的对角元就是矩阵的特征值，而相似矩阵就是相应的特征向量构成的矩阵。这样对任意矩阵，则可以使用Jordan分解。这两种方法的计算都比较复杂，因此最后我们给出待定系数法。Jordan分解法计算原理

设任意矩阵的Jordan分解为则对于任意复系数多项式，有其中特别地，当矩阵

可对角化时，我们有下面的特征值分解法。特征值分解法计算原理

设可对角化矩阵的特征值分解为则有例3

求矩阵函数、和，其中解：求得的Jordan分解为其中当时，则当时%exm612.mA=[-110;-430;102];

expm(A)%调用expm函数

%expmusesthePadéapproximationwithscaling

%andsquaring.ans=-2.71832.71830-10.87318.154800.76581.95257.3891%exm612.m（续）A=[-110;-430;102];

symst%声明符号变量t

eAt=expm(A*t)；

eAt=simple(eAt)%简化矩阵函数的结果eAt=

[-exp(t)*(2*t-1),t*exp(t),0][-4*t*exp(t),exp(t)*(2*t+1),0][exp(t)*(2*t-exp(t)+1),-exp(t)*(t-exp(t)+1),exp(2*t)]当时%exm612.m（续）A=[-110;-430;102];

symst%声明符号变量t

sinAt=sin(A*t)%内置函数sin(A)给出错误结果sinAt=

[-sin(t),sin(t),0][-sin(4*t),sin(3*t),0][sin(t),0,sin(2*t)]%exm612.m（续）A=[-110;-430;102];sinAt=(expm(j*A*t)-expm((-1)*j*A*t))/(2*j)

%利用Euler公式，调用函数expmsinAt=simple(sinAt)%简化矩阵函数的结果sinAt=

[sin(t)-2*t*cos(t),t*cos(t),0][-4*t*cos(t),sin(t)+2*t*cos(t),0][sin(t)-2*cos(t)*sin(t)+2*t*cos(t),2*cos(t)*sin(t)-sin(t)-t*cos(t),sin(2*t)]例4

求矩阵函数和，其中解：

矩阵的特征值为

对应的特征向量为

对应的特征向量为

因此相似矩阵为

从而%exm613.mA=[460;-3-50;-3-61];

symst%声明符号变量t

eAt=expm(A*t)；

eAt=simple(eAt)%简化矩阵函数的结果eAt=

[2*exp(t)-1/exp(2*t),2*exp(t)-2/exp(2*t),0][1/exp(2*t)-exp(t),2/exp(2*t)-exp(t),0][1/exp(2*t)-exp(t),2/exp(2*t)-2*exp(t),exp(t)]%exm613.m（续）A=[460;-3-50;-3-61];cosA=(expm(j*A)+expm((-1)*j*A))/2

%利用Euler公式，调用函数expmcosA=1.49681.91290-0.9564-1.37260-0.9564-1.91290.5403%ex613.m（续）

A=[460;-3-50;-3-61];

[P,D]=eig(A);cosA=P*((expm1(j*D)+expm1((-1)*j*D))/2)*inv(P)+eye(size(A))%函数expm1返回e(x)^-1cosA=1.49681.91290-0.9564-1.37260-0.9564-1.91290.5403利用幂级数求矩阵函数，要求相应的函数必须能够展开成收敛的幂级数，这个条件一般不容易满足。而根据特征值分解法，我们可以根据矩阵的谱即矩阵的特征值的集合来定义矩阵函数，这样就拓宽了矩阵函数的定义范围，尤其是对那些不能展开成收敛的幂级数的函数也可以定义出相应的矩阵函数。

一般地，如果矩阵的最小多项式为则对于任意复值函数，只要有意义，我们就说函数在矩阵的谱上有定义。则定义任意复值函数的矩阵函数为定义5

设复值函数在矩阵的谱上有定义，矩阵有Jordan分解其中例6

求矩阵函数和，其中解：求得的Jordan分解为其中显然和在都有意义，因此和都有意义。%exm613.m（续）A=[-110;-430;102];lnA=logm(A)

%函数logm(A)返回lnAlnA=-2.00001.0000-0.0000-4.00002.000001.3069-0.30690.6931%exm613.m（续）A=[-110;-430;102];sqrtA=sqrtm(A）sqrtA=-0.00000.5000-0.0000-2.00002.00000.00000.5858-0.08581.4142需要指出的是，计算相应的矩阵函数时，涉及到的算法主要分为特征值方法（特征值分解、Jordan分解、Schur分解等）和逼近方法（泰勒逼近、pade逼近等）。考虑到计算复杂性及稳定性，具体实现时前一类方法实际采用的是Schur分解法（例如matlab中的logm函数），后一类方法实际则采是Pade逼近法（例如matlab中的expm函数）。详见Golub&VanLoan《矩阵计算》、Matlab帮助文档和徐树方《控制论中的矩阵计算》。在定义5中，矩阵函数只与函数在上的值有关，这启发我们，如果能够求出一个尽可能简单的函数（比如复系数多项式），使得两者在上等值，那么便有。这就是著名的Hermite多项式插值问题。则存在唯一的复值多项式函数，使得定理7

设复值函数在矩阵的谱上有定义，矩阵有最小多项式以及待定系数法计算原理

设矩阵的特征多项式为由带余除法，设有确定出余式再根据Cayley-Hamilton定理，有从而则可由例8

求矩阵函数，其中

矩阵的特征多项式为

因此设则

解得因此

注意到此例中因此

即矩阵的高次幂都可以转化为低次幂，因此

从而矩阵幂级数求和问题转化为数项级数求和。递推公式法计算原理

由矩阵的特征多项式或最小多项式得到矩阵的递推关系式，代入矩阵函数的矩阵幂级数定义形式中，从而将矩阵函数的计算转化为数项级数求和问题。显然这种方法适用于递推关系式不太复杂的情形。例9

设4阶矩阵的特征值为，

求解：由题的特征多项式为因此从而从而§4、矩阵的微分与积分实际使用时，矩阵函数与函数矩阵的微分、积分常常同时出现。研究矩阵函数和函数矩阵的微分、积分，这对研究微分方程组以及优化问题等都非常重要。其中尤为重要的是梯度分析的方法，张贤达在《矩阵分析及应用》中将之列为矩阵分析的五大分析方法之首，并有详细介绍。定义1

设有矩阵函数，其中为常数矩阵。则是关于参数的函数矩阵，其导数（如果存在的话）为其积分可参照函数矩阵的积分。一、含参矩阵函数的微分和积分例1矩阵为任意常量方阵，则例2

已知

(1)求矩阵;(2)求。注意到时，，因此解：（1）两边对求导，得解：（2）各元素分别对求定积分，得%exm614.m

symst%函数矩阵SS=[sin(2*t)+3*sin(t)5*sin(2*t)-sin(t);3*sin(2*t)-sin(t)5*sin(2*t)+sin(t)];DS=diff(S,‘t‘)%调用内置函数diff求S对t的导数DS=

[2*cos(2*t)+3*cos(t),10*cos(2*t)-cos(t)][6*cos(2*t)-cos(t),10*cos(2*t)+cos(t)]%exm614.m（续）

symst%函数矩阵SS=[sin(2*t)+3*sin(t)5*sin(2*t)-sin(t);3*sin(2*t)-sin(t)5*sin(2*t)+sin(t)];symsab%声明符号变量a，bIS=int(S，‘t’，a,b)%调用内置函数int对S从a到b求定积分IS=

[(cos(a)-cos(b))*(cos(a)+cos(b)+3),(cos(a)-cos(b))*(5*cos(a)+5*cos(b)-1)][(cos(a)-cos(b))*(3*cos(a)+3*cos(b)-1),(cos(a)-cos(b))*(5*cos(a)+5*cos(b)+1)]二、函数对向量的微分定义3

设有多元函数。定义函数对的微分(即梯度)为向量显然，梯度的各分量给出了标量函数在该分量上的变化率，从而指出了此函数的最大增长率。例4

对双线性型有特别地，有

对二次型，有特别地，当对称时，有有例5当对称时，对二次泛函因此求二次泛函的极值问题转化为求方程组的解，即二次泛函的稳定(Stationary)点是可能的极值点。%exm615.msymsx1x2abcdx=[x1;x2],y=[y1;y2]z=[y1y2];%引入z的目的是简化结果，同理引入ATA=[ab;cd];AT=[ac;bd];f=z*A*x;

%线性型fR1=jacobian(f,x)%调用内置函数jacobian求f对x的导数AT*yR1=[a*y1+c*y2,b*y1+d*y2]

ans=a*y1+c*y2b*y1+d*y2理论结果是列向量，但显示为行向量%exm615.m（续）symsx1x2abcdx=[x1;x2],y=[y1;y2]z=[y1y2];%引入z的目的是简化结果，同理引入ATA=[ab;cd];AT=[ac;bd]f=z*A*x;

%线性型fR2=jacobian(f,y)%调用内置函数jacobian求f对y’的导数A*xR2=[a*x1+b*x2,c*x1+d*x2]

ans=a*x1+b*x2c*x1+d*x2理论结果是列向量，但显示为行向量%exm615.m（续）symsx1x2abcdx=[x1;x2]；z=[x1x2];%引入z的目的是简化结果，同理引入ATA=[ab;cd];AT=[ac;bd]f=z*A*x;%二次型fR3=jacobian(f,x)%调用内置函数jacobian求f对x的导数(A+AT)*xR3=[2*a*x1+b*x2+c*x2,b*x1+c*x1+2*d*x2]

ans=2*a*x1+x2*(b+c)2*d*x2+x1*(b+c)理论结果是列向量，但显示为行向量定义6

设有多元函数。定义函数对的微分(即行梯度)为行向量定义7行向量值函数

对列向量的微分为Jacobi矩阵（行对列）将梯度推广到向量值函数，我们有定义8列向量值函数

对行向量的微分为Jacobi矩阵（列对行）特别地，当时，有Jacobi行列式例9

对，有例10

对，有都是行对列例11

推广例4的结论。对有例12

链式法则例13

（二重积分的坐标变换）直角坐标系下的二重积分变成了相应的极坐标下的二重积分经过变换定义14

多元函数对列向量的二阶微分为Hessian矩阵其Hessian矩阵为例15当对称时，对二次泛函如果矩阵还是正定的，并且存在，使得，则由可知是二次泛函的局部极小点。%exm616.msymsx1x2abcdx=[x1;x2],z=[x1x2];%引入z的目的是简化结果R1=jacobian(z,x)%调用内置函数jacobian求x’对x的导数A=[ab;cd];R2=jacobian(z*A,x)%调用内置函数jacobian求x’A对x的导数R1=[1,0][0,1]R2=[a,c][b,d]都是行向量对列向量，返回的是Jacobi矩阵%exm616.m（续）symsx1x2abcdb1b2x=[x1;x2];z=[x1x2];

A=[ab;bd];%A是对称矩阵B=[b1;b2],BT=[b1b2];f=(1/2)*z*A*x-BT*x+c%二次泛函fR3=jacobian(f,x)%R3是列向量%列向量对行向量，这里返回的Jacobi矩阵是二次泛%函的Hessian矩阵，即对称矩阵AH=jacobian(R3,z)R3=[a*x1-b1+b*x2,b*x1-b2+d*x2]H=[a,b][b,d]实际应用中经常要考虑诸如矩阵的迹、矩阵的行列式等矩阵标量函数与矩阵元素值变化之间的关系，比如扰动分析中某个矩阵元素值的变化对矩阵的迹的影响等。矩阵标量函数显然可理解为元的函数，即因此有必要将梯度推广到矩阵标量函数。三、矩阵标量函数对矩阵的微分定义16

设有矩阵标量函数。函数对的微分为梯度矩阵例18

对双线性型有例17

对矩阵的迹有因此例19

对矩阵乘积的迹有四、矩阵对矩阵的微分定义20

设矩阵值函数

的元素都是矩阵标量函数。矩阵函数对的微分指的是矩阵其中例21

已知，设，求解：因为所以%exm617.msymsx1x2a11a12a21a22x=[x1;x2];y=[y1;y2];z=[x1x2];w=[y1y2];A1=[a11a12;a21a22];f=z*A1*y%线性型fR1=jacobian(f,A1)%调用内置函数jacobian求f对A1的导数x*wR1=[x1*y1,x2*y1,x1*y2,x2*y2]

ans=[x1*y1,x1*y2][x2*y1,x2*y2]理论结果是矩阵，但按列排序方式显示为行向量%exm617.m（续）symsa11a12a21a22a13a23symsb1b2b3A1=[a11a12;a21a22];A2=[a13;a23];A=[A1A2];b=[b1;b2;b3];B=A*b%调用内置函数jacobian求Ab对矩阵A1的导数R2=jacobian(B,A1))%调用内置函数jacobian求Ab对列向量A2的导数R3=jacobian(B,A2)R4=jacobian(B,A)R2=[b1,0,b2,0][0,b1,0,b2]

R3=[b3,0][0,b3]

R4=[b1,0,b2,0,b3,0,b4,0][0,b1,0,b2,0,b3,0,b4]理论结果是：R2=R3=[b1,b2][b3][0,0][0][0,0][0][b1,b2][b3]

R4=[b1,b2,b3,b4][0,0,0,0][0,0,0,0][b1,b2,b3,b4]输出结果是：§5、矩阵函数的应用矩阵函数经常与函数矩阵（包括向量值函数及矩阵）联系在一起。利用分析学的理论，可以将非线性问题近似成线性问题。事实上，用“线性化”处理非线性问题是一种重要的思维方式，比如控制中的线性系统理论，其中最典型的就是线性微分方程组在线性系统中的应用。一、线性常系数齐次微分方程组线性常系数齐次微分方程的通解为将推广到向量，将系数推广到对角矩阵以及块对角矩阵，结论仍然成立吗？此时有对于任意系数矩阵，注意到Jordan分解令，则方程组的最简解耦为因此从而定理1

线性常系数齐次微分方程组的通解为这里，是常数矩阵，证明

由于两边积分得因此例2

求线性常系数齐次微分方程组在下列初始条件下的解：解：方程组的矩阵形式为这里根据定理1，其解为矩阵的Jordan分解为，这里这时因此所求微分方程组的解为二、线性常系数非齐次微分方程组线性常系数非齐次微分方程的通解为将推广到向量，将系数推广到任意矩阵，结论仍然成立吗？定理3

线性常系数非齐次微分方程组的通解为这里，其他与定理1相同。两边积分得即证明

用乘方程两边，并整理得再用乘方程两边，并整理即得结果。例4

求线性常系数非齐次微分方程组满足初始条件的解，这里解：矩阵的Jordan分解为，这里因此因此所求微分方程组的解为%exm619.mA=[-110;-430;102];

symst%声明符号变量t

eAt=expm(A*t)；

eAt=simple(eAt)%简化矩阵函数的结果

x0=[113]’;

xh=S*x0xh=simple(xh)xh=-exp(t)*(t-1)-exp(t)*(2*t-1)exp(t)*(t+3*exp(t))%exm619.m(续)symssf=[exp(t);exp(t);exp(4*t)]%自由项fg=[exp(s);exp(s);exp(4*s)]T=simple(expm(-A*s));%e^(-As)h=simple(T*g)%e^(-As)f(s)xp0=int(h,0,t)%从0到t求e^(-As)f(s)的积分xp=eAt*int(h,0,t);%非齐次的特解xpxp=simple(xp)x=xh+xp;%非齐次的通解xx=simple(x)h=s+12*s+1exp(2*s)–sxp=-(t*exp(t)*(t-2))/2-t*exp(t)*(t-1)(exp(t)*(exp(3*t)-exp(t)+t^2))/2x=-(exp(t)*(t^2-2))/2-exp(t)*(t^2+t-1)(exp(t)*(2*t+exp(3*t)+5*exp(t)+t^2))/2%exm619.m（续）

用dsolve求解符号微分方程组symstx1x2x3%声明符号变量[x1,x2,x3]=dsolve('Dx1=-1*x1+x2','Dx2=-4*x1+3*x2',...'Dx3=x1+2*x3','x1(0)=1','x2(0)=1','x3(0)=3')%...是续行符xh=[x1;x2;x3]%齐次的通解xhxh=-exp(t)*(t-1)-exp(t)*(2*t-1)exp(t)*(t+3*exp(t))%exm619.m（续）

用dsolve求解符号微分方程组symstx1x2x3%声明符号变量[x1,x2,x3]=dsolve('Dx1=-1*x1+x2+exp(t)',...'Dx2=-4*x1+3*x2+exp(t)',...'Dx3=x1+2*x3+exp(4*t)',...

'x1(0)=1','x2(0)=1','x3(0)=3‘)%...是续行符x=[x1;x2;x3]%非齐次的通解xx=-(exp(t)*(t^2-2))/2-exp(t)*(t^2+t-1)(exp(t)*(2*t+exp(3*t)+5*exp(t)+t^2))/2线性定常连续系统的状态方程为其通解为三、应用：线性定常系统的状态转移矩阵这里第一项(零输入响应)是由初始状态引起的系统自由运动，第二项(零状态响应)是由控制输入所产生的受控运动。由于变换矩阵起着一种状态转移的作用，称为状态转移矩阵。显然它表征了从初始状态到当前状态的转移关系。而且从本质上看，无论是初始状态引起的运动（第一项），还是由输入引起的运动（第二项），都是一种状态转移，都可用状态转移矩阵来表示。实际上根据定义可以证明，状态转移矩阵满足以及这与下列关系显然吻合：四、矩阵微分方程很容易验证，矩阵微分方程的解为这里是未知函数矩阵。而且，可以成立Jacobi恒等式：因此，当为非奇异矩阵时，方程的解都是非奇异的。特别地，当时，方程的解称为的基本解矩阵。Jacobi恒等式的证明：注意到这说明方程的解都可以用基本解矩阵来表示，即令