离散数学图论部分形成性考核书面作业4答案

离散数学业

姓学得

名号分离数图部形性核面业本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业。一、填题1．已知图G中有个1结点，22度结点，3个3度结点，4个4结点，则的边数是

15

．2．设给定G如右由图所示，则图的点割集是{f}

．3．设G是一个图，结点集合为V，边集合为，则的结点

度数之和

等于边数的两倍．4．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且度．

等于出5．设G=<，E>是具有个结点的简单图，若在G每一对结点度数之和大于等于

，则在中存在一条汉密尔顿路．6．若图E>中有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V每个非空子集S，在中删除S中的所有结点得到的连通分支数为，则中结点数S|与W满足的关系式为7．设完全K有个结点(n，条边，当

．n奇数

时，K

中存在欧拉回路．1/8．结点数与边数e足树．

e=v-1

关系的无向连通图就是9．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为，则可从G中删去4

条边后使之变成树．10设正则5树的树叶数为，则分支数为i=

．二、判说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路．．(1)不正确，缺了一个条件，图G应该是连通图，可以找出一个反例，比如图是一个有孤立结点的图。2．如下图示的图G在一条欧拉回路．(2)不正确，图中有奇数度结点，所以不存在是欧拉回路。3．如下图示的图G是欧拉图而是汉密尔顿图．解：正确因为图中结点，b，d，f的度数都为奇数，所以不是欧拉图。2/13451231345123234354512534如果我们沿着(a,d,g,f,e,b,c,a)，这样除起点和终点是a，我们经过每个点一次仅一次，所以存在一条汉密尔顿回路，是汉密尔顿图4．设G是一个有个结点16边的连通图，则为平面图．解：(1)错误假设图是连通的平面图，根据定理，结点数v，边数为，应满足e小于等于，但现在小于等于3*7-6，显示不成立。所以假设错误。5．设G是一个连通平面图，且有个结点条边，则有7个面．(2)正确根据欧拉定理，有，边数，结点数e=6，代入公式求出面数r=7三、计题1．设=<，E>，V={v，v，，v，v}E={(,，,v)，(,v)，,v)，,v)，,v)}试(1)给出的图形表示；(3)求出每个结点的度数；解：(1)v

(2)写出其邻接矩阵；(4)画出其补图的图形．v

vv

v3/1253412534(2)邻接矩阵为

(3)

v结点度数为，v结度数为，结度数为3，结度数为2v结度数为212345(4)补图图形为vv

vv

v2．图GV,E>，其中={,b,,d,e，E={(,b),(a,ca,eb,d),(,e),c,e),(c,d),(,e)}，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试（1）画出G的图形；（2）写出G的邻接矩阵；（3）求出G权最小的生成树及其权值．（1）G的图形如下：4/（2）写出G的邻接矩阵（3）G权最小的生成树及其权值3．已知带图G右图所示．(1)求图的最小生成树；

(2)计算该生成树的权值．解：(1)最小生成树为5/1

275

3(2)该生成树的权值为(1+2+3+5+7)=184．设有一权为2,5,7,31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权．6/63

311

171

75

523权为

2*5+3*5+5*4+7*3+17*2+31=131四、证题1．设G是一个阶无向简单图，n大于等于3的奇数．证明图与它的补G中的奇数度顶点个数相等．证明：GEGEn无向完全K的边删去n所得到的．所以对于任意结u，在的度数之和等于uK中n的度数．由于n大于等于3的奇数，从而的每个结点都是偶数度的nn(2)），于是在中是奇数度结点，则它G中也是奇数度结点．故图与它的补中的奇数度结点个数相等．7/2．设连通Gk个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加能使其成为欧拉图．

条边才证明：由定理，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k偶