第二章拉伸、压缩与剪切

材料力学第二章拉伸、压缩与剪切§2-1轴向拉伸和压缩的概念§2-2轴向拉（压）杆内的内力§2-4轴向拉（压）杆的强度计算§2-5拉（压）杆的变形·胡克定律§2-6材料拉伸和压缩时的力学性能§2-7简单拉压超静定问题§2-3轴向拉（压）杆内的应力§2-1轴向拉伸和压缩的概念工程结构及机械中常见的拉伸及压缩变形的构件：起重机的吊缆桁架中的杆件连杆曲柄连杆机构ωF特点：连杆为直杆外力大小相等方向相反沿杆轴线杆的变形为轴向伸长或缩短

以轴向伸长或轴向缩短为主要特征的变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩。拉（压）杆:以轴向伸长或轴向缩短为主要变形的杆件。（1）受力特征:

构件是直杆；作用于杆件上的外力或外力合力的作用线沿杆件的轴线。

（2）变形特点:

杆件的主要变形是沿轴线方向的伸长或缩短。FFFF讨论:下列图中哪些是轴向拉伸杆?F(a)F(b)FF(c)F(d)q§2-2轴向拉（压）杆内的内力一、用截面法求内力FFmn求mn横截面上的内力?截面法的步骤：1.截：2.取：3.代：4.平：mnFFN∴FN=FmnF∑x=0FN–F=0从二力平衡公理可知：

FN、通过轴线，所以叫轴力，用FN表示。FFkk求kk横截面上的内力?kkFFNk∴FNk=F∑x=0F–FNk=0比较两种受力后的内力及变形情况?FFmnmnFFN∴FN=F∑x=0FN–F=0杆件拉伸时，FN

为正—拉力（方向：离开横截面）;●轴力FN的正负规定:FFmmFFN

mmFFN

mm∴FN

为杆件压缩时，FN

为负—压力（方向：指向横截面

）。●轴力FN的正负规定:F

F

mmF

FN

mmF

FN

mm∴FN

为用“设正法”求轴力:先假设欲求轴力为正，解得为正是拉力，解得为负是压力。F

F

mmFN

F

mm∴FN=–F∑x=0FN+F=0（压力）多力杆:F5

F4

F3

F2

F1

11求1-1横截面上的轴力。11F3

F2

F1

FN1

∑x=0FN1

+F2+F3

–F1=0∴FN1=F1–F2–F322问：2-2横截面上的轴力?结论：两力作用间各横截面的轴力相等。二、由外力直接求内力任意横截面上的轴力等于截面一侧所有外力的代数和。F5

F4

F3

F2

F1

11看左侧：FN1=F1–F2–F322FN2=F1–F2看右侧：FN1=F4+F5规定（对外力）：离开截面取，指向截面取。三、轴力图用坐标（x，FN）来表示轴力沿杆件轴线的变化情况。

x表示横截面的位置；FN

表示轴力的大小。FN图FFN图F

F

F

F

FxFNxFN例1.变截面直杆，求各段的轴力，并画出轴力图。30kN10kNCBAD轴力只与外力有关，而与杆件尺寸无关。解：（1）求各段轴力AB段:11由1-1右侧FN1=30-10=20kNBD段:22由2-2右侧FN2=-10kN（2）画轴力图2010FN（kN）图例2.等截面直杆，画轴力图。F=2qa

BCA2aaq●分布载荷作用段的轴力图是斜直线。AB段:11FN1=2qaBC段:22xFN2=qx—轴力方程解：（1）求各段轴力（2）画轴力图2qaFN图例3.等截面直杆考虑自重，已知横截面面积为A，杆长为l，材料的容重为γ，F=2/3γAl，画轴力图。l

解：（1）求自重沿轴线的分布力qq（2）画轴力图FN图§2-3轴向拉（压）杆内的应力一、

横截面上的应力问题：1）横截面上各点处产生何种应力？2）应力的分布规律？3）应力的数值？1、应力的分布规律实验：FFFF①各横向线保持为直线，并仍垂直于轴线，但距离增大了。②变形后原来的矩形网格仍为矩形。（1）变形现象：变形前的横截面变形后仍保持为平面，且垂直于轴线。（2）平面截面假设：根据变形现象作假设FFFF（3）推论:②无切应变，因此横截面上没有切应力。①任意两个横截面之间各纵向纤维的伸长相同，即各纵向纤维受力相等。（4）结论:横截面上只有正应力，并均匀分布，用s

表示。2、正应力计算公式轴力与应力的关系：sFNF注意:s

的符号与FN一致，正—称为拉应力，负—称为压应力。例1.等截面直杆，已知横截面面积A=500mm2。(1)画轴力图;(2)求各段横截面上的正应力。A

50kN80kN

30kNB

C

D

解：（1）求各段轴力AB段:FN1=80-50+30=60kNBC段:由2-2右侧FN2=30-50=-20kN1122由1-1右侧CD段:33由3-3右侧FN2=30kN（2）画轴力图FN（kN）图602030横截面面积A=500mm2。A

50kN80kN

30kNB

C

D

(3)求各段横截面上的正应力。602030FN（kN）二、

斜截面上的应力混凝土圆柱重物圆柱是怎样断裂的？为什么圆柱会断裂？铝板的拉伸实验：45o沿与轴线成45o角左右的斜截面破坏。1、斜截面上应力的分布规律变形现象:变形前平行的两条斜直线变形后仍保持为直线并相互平行。推论:在相互平行的两个斜截面之间的各纵向纤维的变形相同，说明斜截面上各点的应力也是均匀分布的。FF

实验：2、斜截面上应力的计算kkaFF

AaA(1)

斜截面定位：以横截面与斜截面的夹角a定位。

(2)

a角的正负规定：从横截面转到斜截面，逆时针转为正，顺时针转为负。A—横截面面积，Aa—kk斜截面面积，Aa=A/cosa。其中

s0

是横截面上的正应力。FkkpaaFa

kkFa斜截面上的内力（用截面法）：Fa=F∵斜截面上各点应力均匀分布。∴结论：轴向拉（压）时斜截面上既有正应力，还有 切应力。pa

kkFasatapa是斜截面上任意点的全应力，通常将其分解为正应力和切应力。

讨论:（2）当=0时，smax=s0。即横截面上的正应力为最大正应力。此时切应力为0

。pa

kkFasata（1）s0、

的符号代入计算。（3）当=45o时，

t

45o

=

t

max

=s0/2。即最大切应力发生在与轴线成45o角的斜截面上。此时正应力为s0/2。（4）当=90o时，s

=0

，t

=0。即纵截面上无任何应力。●正应力s

和切应力

t

正负号的规定：（1）正应力s

：离开截面（拉）为正，指向截面（压）为负。（2）

切应力

t

：对保留段内任一点之矩，顺时针 转为正，逆时针转为负。例2.计算阶梯状方形柱体的最大正应力，已知载荷F=50kN。F

C

BA

F

F

40003000370240III解：（1）画轴力图FN（kN）50150FN1=-50kNFN2=-150kN(2)求各段横截面上的正应力AB段:BC段:例3.图示轴向受压矩形等截面直杆，其横截面尺寸为40mm×10mm，载荷F＝50kN。试求斜截面m-m上的正应力和切应力。mmFF

40°解：（1）求轴力FN=-50kN(2)求横截面上的正应力(3)求m-m斜截面上的应力，α=50o§2-4轴向拉（压）杆的强度计算一、名词介绍:1.工作应力:杆件实际上所承受的应力。2.极限应力:材料破坏时的应力。用σo表示。3.许用应力:工作应力允许的最大值。用[σ]

表示。n—安全因数。

为保证构件能正常工作并具有足够的安全储备，将极限应力除以一个大于1的系数n（安全系数也称为安全因数），便得到许用应力[σ]，即二、强度条件:或杆内的最大工作应力不得超过材料的许用应力。三、强度条件的应用:(1)强度校核已知外力，杆件横截面的形状和尺寸，材料。验算杆件是否安全。(2)

设计横截面尺寸(3)

确定许可载荷注意：工程上，是允许的。已知外力，材料，杆件横截面的形状。设计杆件横截面的尺寸。已知杆件横截面的形状和尺寸，材料。求杆件所能承受的最大载荷。例1.

已知一圆杆受拉力F=25kN，直径d=14mm，材料的许用应力为[]=170MPa。试校核此杆是否满足强度要求。解：(1)求轴力FN=25kN(2)求最大的正应力(3)校核强度故拉杆安全。例2.曲柄连杆机构。当连杆接近水平时，F=3780kN,连杆横截面为矩形，h/b=1.4,材料的许用应力为[]=90MPa。试设计连杆的横截面尺寸h和b。连杆ωFFFhbF=3780kN，h/b=1.4,

[]=90MPa。FFhb解：(1)求轴力FN=-3780kN(2)求横截面面积A(3)求尺寸h、b例3.两杆桁架如图所示，杆件AB

由两个10号工字钢杆构成，杆AC由两个截面为80mm80mm7mm的等边角钢构成，

所有杆件材料均为钢Q235，[]=170MPa。试确定结构的许可载荷[F]。F1m30ºACBAB杆—10号工字钢，AC杆—80mm80mm7mm等边角钢，[]=170MPa。试确定结构的许可载荷[F]。F1m30ºACB解：(1)求轴力30ºFAFN2FN1AB杆—10号工字钢，AC杆—80mm80mm7mm等边角钢，[]=170MPa。试确定结构的许可载荷[F]。(2)确定两杆的面积30ºFAFN2FN1查表得：(3)确定许可载荷[F]由AC杆确定：由AB杆确定：§2-5拉（压）杆的变形·胡克定律

实验表明，杆件在轴向拉力或压力的作用下，沿轴线方向将发生伸长或缩短，同时，横向（垂直的方向）必发生缩短或伸长，如所示。

FFll1aa1一、轴向（或纵向）变形，横向变形绝对变形：线应变（正应变）相对变形：单位长度上的变形;无量纲量。长度变化的测量1.轴向（或纵向）变形2.横向变形绝对变形:横向线应变：FFll1aa1轴向变形：或

—泊松比二、泊松比

在线弹性范围内，横向正应变ε’与轴向正应变ε之比的绝对值是一个常数。(应力不超过比例极限)试验表明：当拉（压）杆内的正应力小于某一极限值（比例极限）时，杆的伸长（或缩短）△l与轴力FN及杆长l成正比，而与横截面面积A成反比。—虎克定理三、虎克定理（引入一比例常数得等式）E—拉、压弹性模量;反映材料抵抗弹性变形的能力。具有与应力相同的量纲,常用单位GPa。注意：E、

是材料固有的弹性常数。EA—抗拉（压）刚度。反映构件抵抗弹性变形的能力。变换的形式：（虎克定理的另一表达形式）表明：当应力不超过比例极限时，应力与应变成正比。注意：（1），FN要代入符号计算。

—伸长；—缩短。（2）FN、A或E分段变化：FN或A沿轴线连续变化:2FFqF例1.台阶形杆件受载如图所示，已知AB和BC段的截面面积为A1=400mm2、A2=250mm2。材料的弹性模量为E=210GPa。试计算AB段、BC段和整个杆件的伸长量；并计算截面C相对于截面B的位移△CB以及截面C的绝对位移△C。F=40kN

CBA

B'C'l1=300l2=200A1=400mm2、A2=250mm2。E=210GPa。F=40kN

CBA

B'C'l1=300l2=200解：(1)求轴力FN1=40kNFN2=40kNAB段:BC段:(2)求各段的变形及杆的总变形AB段:BC段:A1=400mm2、A2=250mm2。E=210GPa。F=40kN

CBA

B'C'l1=300l2=200FN1=40kNFN2=40kN(2)求各段的变形及杆的总变形(3)求截面C相对于截面B的位移△CB以及截面C的绝对位移△C

l

例2.等截面直杆考虑自重，已知横截面面积为A，杆长为l，材料的容重为γ，杆的总重为G，求杆的变形量△l。解：(1)求自重沿轴线的分布力qq(2)画轴力图xdx(3)求微段dx的变形量dx(4)求杆的总变形量

四、桁架节点的位移计算变形：指构件的尺寸和形状的改变。位移：指构件上的点或者截面由于变形而引起的位

置的改变。A问：A截面有没有变形？有没有位移？

例3.

图示受力铰接三角架(桁架），已知：F=9.8kN,1杆的E1=200GPa，A1=127mm2，l1=1.15m,2杆的E2=70GPa，A2=101mm2，l2=1m

。试求节点A的水平及垂直位移。A12F30°解：(1)求两杆的轴力A12F30°F=9.8kN,1杆的E1=200GPa，A1=127mm2，l1=1.15m,2杆的E2=70GPa，A2=101mm2，l2=1mA12F30°(2)计算两杆的变形量(3)假想打开A铰使杆件自由变形，用切线代圆弧作图来确定节点A的新位置A1230°A1230°BBCA1230°BC30°(3)假想打开A铰使杆件自由变形，用切线代圆弧作图来确定节点A的新位置(4)计算节点A的水平及垂直位移

例4.

已知F及CD杆的EA,AB杆为刚性杆。求节点A的垂直位移。FABCD60°aa§2-6材料拉伸和压缩时的力学性能材料的力学性能（机械性质）：

材料在外力作用下所表现出的变形、破坏等方面的特性。材料的力学性能要通过材料的力学实验获得。实验应满足的条件：1.常温（20±10℃）

2.静荷

3.采用国家标准试件实验设备：万能试验机。电子万能试验机液压式万能试验机拉伸实验的标准试件：圆柱形试样:或方柱形试样:或l——标距或工作段。

一、

材料拉伸时的力学性能1.低碳钢的拉伸实验1.低碳钢的拉伸实验拉伸图lFFF△lF△l应力-应变曲线图A—横截面原始面积σ—名义应力l

—试验段原长—名义应变分为四个阶段：①弹性阶段OB；②屈服阶段CD；③强化阶段DG；④局部变形阶段GH低碳钢拉伸时的力学性能Ⅰ.弹性阶段OB①在此区段，变形是弹性的。点B：e—弹性极限E—直线OA的斜率点A：p

—比例极限②OA

段是直线段，即胡克

定律成立。σp是材料应力与应变成正比的最大应力。③σe与σp很接近，工程上通常不作严格区分。Ⅱ.屈服阶段CD①在此阶段，应力几乎不变，而变形却急剧增长，材料暂时失去了抵抗变形的能力—屈服现象。②在试件的磨光表面上，可以看到与轴线大致成45的斜纹—滑移线。③屈服极限σs—屈服阶段内应力的最低值。

在屈服阶段,大部分变形为塑性变形，它将导致构件不能正常工作,因此屈服极限σs是低碳钢的重要强度指标。Ⅲ.强化阶段CG

①在此阶段，材料又增强了抵抗变形的能力，要使材料继续变形，必须增加外力，这种现象称为强化。②强度极限b

—最高点G对应的应力值

，材料所能承受的最大正应力。③大部分的变形仍是塑性的，但有一部分是弹性的。Ⅳ.缩颈阶段GH①试件的某一局部范围内，横截面显著缩小—缩颈现象。a.伸长率l1

—试件断裂后标距的长度。b.断面收缩率A1—试件断裂后最细处的横截面面积。

②塑性指标：

低碳钢Q235的力学性能指标塑性指标：弹性指标:通常：如果

,该材料称为塑性材料;如果,称为脆性材料。E强度指标:◆强化阶段的卸载和再加载（冷作硬化现象）

在此阶段E点卸载，

s-e曲线是一条直线。如果立即重新加载，则s-e曲线首先沿卸载曲线线性变化，然后沿原曲线变化。ee

—弹性应变ep

—残余应变(塑性)材料的比例极限得到提高。pepEα◆强化阶段的卸载和再加载—冷作硬化。Eα

不经过热处理，只在常温下拉到强化阶段再卸荷(预加塑性变形)，而使材料的比例极限提高(提高钢材强度)的方法，

若在第一次卸载后间隔一段时间再加载，这时的应力与应变关系曲线将沿虚线上升到一个更高的位置，比例极限进一步得到提高。这种现象称为冷拉时效。

2.其他塑性材料拉伸时的力学性能锰钢没有屈服和缩颈阶段。硬铝和退火球墨铸铁没有明显的屈服阶段。总的来说,对于以上材料:5%,属于塑性材料。

对于没有屈服阶段的塑性材料，是将卸载后产生0.2%的塑性应变所对应的应力值作为屈服极限，称为名义屈服极限或条件屈服极限。sp0.20.002残余应变名义屈服极限①无明显直线阶段，故认为近似线弹性，胡克定律近似成立。弹性模量由一条割线的斜率来确定，切割点通常定在应变为0.1%的点处。典型脆性材料②没有屈服、强化、颈缩现象，试件在很小的变形下突然断裂，断口平齐。③只能测出强度极限sbt(拉断时的最大应力)。其值远低于低碳钢。3.铸铁拉伸时的s—e

曲线铸铁试件轴向拉伸时的断裂截面强度极限是脆性材料唯一的强度指标。二、

材料压缩时的力学性能压缩实验的标准试件：短的圆截面柱体短的正方形截面柱体压拉特点：①压缩时的sp、se

、ss

和弹性模量E

与拉伸时基本相同。

②无sb，压缩时无断裂发生。1.

低碳钢压缩时的σ-ε曲线

③试件被压成腰鼓形

特点：①弹性区域仍不明显，近似服从胡克定律；无屈服极限，只能测出强度极限sbc

。2.

铸铁压缩时的σ-ε曲线

②压缩性能比拉伸性能好，σbc=（3～5）σbt。(砼的抗压强度极限是其抗拉强度极限的10倍左右)③破坏断面的法线与轴线大致成45的夹角，由于该斜截面上的切应力最大。

三、塑性材料和脆性材料的主要区别1.多数塑性材料在弹性变形范围内，σ—ε符合胡克定律；多数脆性材料在拉（压）时，σ—ε一开始就是一条微弯的曲线，但由于σ—ε曲线曲率较小，应用上仍设它们成正比；2.塑性材料断裂时δ较大，故塑性材料可压成薄片或抽成细

丝，脆性材料则不能；3.多数塑性材料屈服阶段以前，抗拉、抗压性能基本相同，应用范围广；多数脆性材料抗压>>抗拉,价廉，易就地取材，用做受压构件；4.塑性材料力学性能指标σp、σe、σs、σb

。

δ、ψ较大；E为切线模量；脆性材料：σb

。δ<2%—5%；E为割线模量5.塑性材料受动荷载能力强，脆性材料受动荷载能力差。

塑性材料:当应力达到屈服强度σS时，将发生较大的塑性变形，即使杆件不会破坏，由于过大的塑性变形，使之丧失正常工作的能力，故极限应力取

脆性材料:最大工作应力为强度极限，极限应力取或6.极限应力σ°§2-7简单拉压超静定问题超静定（静不定）—仅仅依靠静力平衡方程不能求解所有未知力的问题（或未知力的个数大于独立平衡方程的个数。）一、基本概念例如：外力沿铅垂方向，求各杆的轴力。CFABD12平衡方程:FAFN1FN2(用截面法取A点研究)两个平衡方程可以求解两个未知力，属于静定问题。CFABD123平衡方程：刚才的结构，加上第3根杆，求各杆的轴力。FAFN1FN3FN2两个平衡方程，有三个未知力，无法求解，属于静不定问题。为什么会从静定变成静不定呢？因为有了多余的约束。（要求解这三个未知力，必须补充方程。）要通过变形的协调关系来建立补充方程。静不定度（次数）=未知力的数目-有效平衡方程的数目例1.设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：l1=l2、

l3=l

；各杆截面面积相等为A；各杆弹性模量相等为E。外力沿铅垂方向，求各杆的轴力。解：(1)几何关系给结构一个假象的变形位置，找变形的谐调关系。CFABD123l求解前先作静不定次数的判定。CABD123CABD123原则一：由节点新位置作原

杆轴线的垂线确定

杆的变形量。——变形谐调关系？——变形谐调关系解：(1)几何关系(2)通过物理关系，建立补充方程CABD123l——补充方程CFABD123FAFN1FN3FN2(3)列静力平衡方程(4)联立（1）（2）（3）式求解注意:求解静不定问题时，“设正法”不能用，要按“原则二”画受力图。原则二：列静力平衡方程，画受力图时，应保证变形和受力的一致性。CABD123lFAFN1FN3FN2例2.结构中AB杆为刚性杆，1杆和2杆的材料相同。已知：A1=A2=A

，求两杆的轴力。ADC2

1

BaaaaF45°求解前先作静不定次数的判定。ADC2

1

BaaaaF45°解：(1)几何关系(2)通过物理关系，建立补充方程ADC2

1

BaaaF45°(3)列静力平衡方程(4)联立（1）（2）式求解（压）例3.结构如图，杆的刚度为EA,求两端的支反力。BAFCab求解前先作静不定次数的判定。解：(1)设支反力FA、FB如图FBFA(2)几何关系(3)通过物理关系，建立补充方程BAFCabFBFA(3)通过物理关系，建立补充方程BAFCabFBFA(4)列静力平衡方程(5)联立（1）（2）式求解例4.结构如图，杆的刚度为EA,材料的线膨胀系数为,温度升高了△T。求杆内的应力。BAlBA(1)打开B端，让杆件自由膨胀(2)假设有一力FN把它压回原处BA(3)求杆内的应力——与面积无关温度升高了△T,材料的线膨胀系数为由温度变化所产生的应力叫温度应力。温度应力只存在于静不定结构中。BAl在静定结构中不存在温度应力，因为杆件能自由变形。BA温度升高可自由向右伸长，变形不受限制。例5.要把3根杆装配在两块刚性板上，中间的2杆由于加工的误差短了。求装配后三根杆内的应力。321(1)几何关系l321aal321321(1)几何关系(2)物理关系(3)列静力平衡方程321aa(4)联立（1）（2）（3）式求解l321321321aa(5)求杆内的应力l321321321aa由装配而引起的应力叫装配应力。装配应力只存在于静不定结构中。比如：静定结构

工程中构件或零件彼此连接时，起连接作用的部件称为连接件。如螺栓、铆钉、键等等。螺栓§2.13剪切的概念键m轴齿轮键FF铆钉FF铆钉nnFF受力特征：杆件受到两个大小相等，方向相反、作用线垂直于杆的轴线并且相互平行且相距很近的力的作用。变形特征：两力之间的截面将发生相对错动，甚至破坏。FF剪切面杆件