第二章可控性与可观性7

2.6.1概述经典控制论中：系统用传递函数描述；注重输入-输出间的直接关系;可控性与可观性不是问题!2.6可控性与可观性SISO、低阶，输出可控制亦可测量；现代控制论中：系统复杂：MIMO，高阶，时变，非线性等系统模型：状态方程＋输出方程

输入是否使状态发生希望的变化？

可控性问题要使状态发生某种变化，输入＝？

最优控制问题由于输出状态，状态输入所以要得到理想的输出，首先要控制好状态 使输出随状态发生变化（1）

输入状态间的问题：（2）

输出状态间的问题：

状态可否从输出得到？

可观测性问题如何从输出得到？

最优估计问题可控性、可观性为现代控制理论的基础，是现代控制理论应用的前提条件！什么是可控性？可观测性？如何判断？可控性：系统输入对系统状态的有效控制能力可观性：系统输出对系统状态的确切反映能力状态可控？系统可控？状态不可控？系统不可控？状态可观测？系统可测观？状态不可观测？系统不可观测？问题：分析如下4个系统的可控性和可观测性：2.6.2可控性定义及其判据2.6.2.1可控性定义：线性时变连续系统的状态方程为：状态可控性：对于线性时变连续系统，如果对取定初始时刻的一个非零初始状态，存在一个时刻，和一个无约束的容许控制使状态由转移到时的则称此在是可控的。系统可控性：对于线性时变连续系统，如果所有状态在则称系统在都是可控的，时刻是完全可控的，也称系统在t0

是可控的。系统不可控：对于线性时变连续系统，取定初始时刻如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻是不可控的，则称系统在时刻是不完全可控的，也称系统不可控。几点说明：（1）未限制状态转移的轨迹。可控性只表征系统状态运动的一个定性特性。

（2）定义中对控制量的每个分量的大小并未限制，只要求控制量u是容许控制的，这表明控制量的每个分量应在时间区间Tf上平方可积：（3）定义是相对于时间区间Tf中的一个取定时刻来定义的，对于线性时变系统是完全必要的，而对于线性定常系统，系统的可控性与初始时刻的选取无关。可控性仅与系统本身有关，与输入量无关！t1=?（4）定义中规定由非零状态转移到零状态。如果将其变更为由零状态转移到非零状态，则称这种情况为状态可达或系统可达。对于线性定常系统，可控性与可达性等价。若系统在

则系统在上完全可控。时刻是完全可控的，(5)对线性定常连续系统：2.6.2.2可控性判据线性时变连续系统在使得Gram矩阵为非奇异的或是正定的。时刻可控的充要条件为：存在某个有限时刻（1）Gram矩阵判据（判别原理？）可控性仅与状态方程中的系统矩阵和控制矩阵有关！分析：线性定常连续系统使如下定义的Gram矩阵为非奇异的或是正定的。完全可控的充要条件为：存在时刻线性定常连续系统Gram矩阵判据：（2）秩判据假设线性时变连续系统的A(t)和B(t)

的每个元素分别是n-2和n-1次连续可微函数，并记使得令则该线性时变系统在t0时刻完全可控。如果存在某个时刻线性定常连续系统完全可控的充要条件为：其中n为系数矩阵A的阶次线性定常连续系统秩判据系统的可控性矩阵

：n行nm列，如何确定秩为多少？计算技巧？（3）PBH判据（Popov-Belevitch-Hautus判据）线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是对系统矩阵的所有特征值其中n为系数矩阵A的阶次（4）约当规范型判据1）若系统矩阵A的特征值互异且则线性定常连续系统完全可控的充要条件为矩阵不包含全为0的行。2）当系统矩阵A的特征值有相同的其中，设有q-l个相同特征值有l个相同特征值其余为互异特征值q-ll小结（可控性判别要素）：（1）状态化成零；（2）仅与状态方程有关；（3）不是求出一个u(t1)，而是判断其存在否！则系统可控的充要条件是：(b)对应于互异特征值部分，中没有元素全为零的行。(a)对应于的相同特征值部分，中与每个约当块最后一行相对应的一行元素不全为零；若在有限时间间隔输出y(t1),则称此系统是输出完全可控。内，存在无约束分段连续函数u(t)，能使任意初始输出y(t0)转移到任意最终2.6.2.3输出可控性及其判据定义：判据：线性定常连续系统的状态方程表达式为：系统输出完全可控的充分必要条件是：的秩等于输出向量的维数，即

2.6.3可观测性定义及其判据2.6.3.1可观测性定义：设线性时变连续系统的状态方程和输出方程为：A(t),B(t),C(t),D(t):

系统可观测性：对于线性时变连续系统，如果对取定初始时刻系统的输出y唯一确定状态向量的初值则称系统在时间区间是完全可观测的存在一个时刻可以根据简称系统可观测。

可观性反映可否通过y(t)

确定x(t)问题如何确定?可观测＝可测量？研究表明，系统可观性与输入无关！系统不可观测：对于线性时变连续系统，如果对取定初始时刻系统的输出y不能唯一确定状态向量的初值则称系统在时间区间是不完全可观测的存在一个时刻对于所有简称系统不可观测。2.6.3.2可观测性判据（1）Gram矩阵判据（判别原理？）时刻可观测的充要条件为：线性时变连续系统在使得Gram矩阵为非奇异的或是正定的。存在某个有限时刻其中：为状态转移矩阵。线性定常连续系统Gram矩阵判据：使如下定义的Gram矩阵为非奇异的或是正定的。完全可观测的充要条件为，存在时刻线性定常连续系统（2）秩判据假设线性时变连续系统的A(t)和B(t)

的每个元素分别是n-2和n-1次连续可微函数，并记使得令则该线性时变系统在t0时刻完全可观测。如果存在某个时刻线性定常连续系统秩判据：N

称为系统的可观测矩阵（几行几列？）。线性定常连续系统完全可观测的充要条件为：其中n为系统矩阵A的阶次（3）Popov-Belevitch-Hautus判据线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件是对系统矩阵的所有特征值其中n为系统矩阵A的阶次。（4）约当规范型判据1）系统矩阵A的特征值互异线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件为矩阵不包含全为0的列。2）系统矩阵A的特征值有相同的其中，设有q-l个相同特征值有l个相同特征值其余为互异特征值(a)中对应于A的相同特征值部分，其第一列元素不全为零；(b)中对应于A的互异特征值部分，没有元素全为零的列。2.6.4对偶原理2.6.4.1线性定常系统的对偶关系有两个线性定常系统，一个系统另一个系统为是一个r维输入，m维输出的n阶系统是一个m维输入，r维输出的n阶系统若系统满足下述条件，则称互为对偶系统：注意：2.6.4.2线性时变系统的对偶关系有两个线性时变系统，一个系统另一个系统为若系统满足下述条件，则称互为对偶系统：若为系统的状态转移矩阵为系统的状态转移矩阵互为对偶的两个系统的状态转移矩阵互为转置逆，即2.6.4.3线性系统的对偶原理若线性定常系统是互为对偶的两个系统，则系统的可控性等价于系统的可观测性；系统的可观测性等价于系统的可控性。反之亦然若线性时变系统是互为对偶的两个系统，则反之亦然系统的可观测性等价于系统的可控性。则系统的可控性等价于系统的可观测性；2.6.5线性离散系统的可控性和可观测性2.6.5.1线性离散系统的可控性与可达性线性时变离散系统的状态方程为：可控性：如果对初始时刻和状态空间中的所有非零状态，都存在时刻，m>l,和对应的控制u(k),使得x(m)=0，则称系统在时刻l

完全可控。如果对初始时刻和初始x(l)=0，存在时刻，m>l,和相应的控制u(k),使x(m)可为状态空间中的任意非零状态，则称系统在时刻l

完全可达。可达性：可控性与可达性等价条件：（1）对线性时变系统，等价的充要条件是：对所有，系统矩阵A(k)为非奇异。（2）对线性定常系统，等价的充要条件是系统矩阵A为非奇异。（3）若离散系统状态空间表达式是由相应的连续系统模型离散化得来，则恒等价。线性定常离散系统可控性判据：记：称M为系统的可控性矩阵，则线性定常离散系统完全可控的充要条件是：因

M为nnr矩阵，上面充要条件又等价于：由于

M的行数总小于列数，因此在计算时只要所选取的列能判定出其秩为

n，就不必将其余项都列出。例题：2.6.5.2线性离散系统的可观测性线性时变离散系统的状态空间表达式为：线性定常离散系统可观测性判据：系统可观测性：记：如果对初始时刻的任一非零初始状态，都存在有限时刻，m>l,且可由离散时间区间内的输出y(k)唯一地确定x0，则称系统在时刻l

完全可观测。称N为系统的可观测矩阵，则线性定常离散系统完全可观测的充要条件是：例题：2.6.6在[s]平面上的可控性和可观测性判别方法2.6.6.1状态空间表达式与传递函数（阵）

考虑单输入单输出线性定常系统，其状态空间表达式为假设初值为零，上式两边取拉氏变换u-x间的传递函数为：u-y间的传递函数为：由于

因此，u-x间与u-y间的传递函数可写为二者拥有相同的分母，为系统特征式考虑多输入多输出线性定常系统，其状态空间表达式为假设初值为零，上式两边取拉氏变换u-x间的传递函数阵为u-y间的传递函数阵为为传递函数阵二者也拥有相同的分母，为系统特征式。

同一系统，不同状态空间表达式，同一传递函数阵！u-x间与u-y间的传递函数又可写为：2.6.6.2可控、可观测系统的传递函数（阵）特性或传递函数阵中不出现相约现象。系统状态完全可控的充分必要条件是在传递函数如果相约，则在被约去的模态中，系统不可控。或传递函数阵中不出现相约现象。系统状态完全可观测的充分必要条件是在传递函数如果相约，则在被约去的模态中，系统不可观测。例题（书上）原因？（见系统分解部分！）2.6.7可控规范型和可观测规范型状态变量选择不同经相似（非奇异）变换状态空间表达式不同规范型可观测规范型可控规范型约当规范型对角矩阵前两种便于计算状态转移矩阵和判断系统可控性、可观测性；后两种便于系统综合和辨识；2.6.7.1可控规范型单输入单输出n阶线性定常系统状态空间表达式为：如果系统是状态完全可控的，则满足相似（非奇异）变换不改变系统的可控性、可观测性；只有系统状态完全可控/可观测，才能化成可控/可观测规范型。本节只讨论单输入/单输出系统。（1）可控规范I型若系统是可控的，则存在线性相似变换其中：使其中可控规范I型为如下特征多项式的各项系数其中中元素中元素为相乘的结果:由可控规范I型的状态空间表达式可直接求得系统传递函数为：系统传函分母多项式的系数与矩阵最后一行元素对应；系统传函分子多项式的系数与矩阵元素对应。Example求下列系统的可控规范I型状态空间表达式和传递函数:（a）判定系统的可控性系统状态完全可控（b）计算系统特征多项式则（c）确定（d）写出规范型状态空间表达式（2）可控规范II型若系统是可控的，则存在线性相似变换其中使状态空间表达式转化成其中中元素为如下特征多项式的各项系数中元素为相乘的结果Example求下列系统的可控规范II型状态空间表达式（a）判定系统的可控性系统状态完全可控（b）计算系统特征多项式则（c）确定（d）写出规范型状态空间表达式2.6.7.2可观测规范型仍考虑单输入n阶线性定常系统，其状态空间表达式为如果系统状态是完全可观测的，则满足（1）可观测规范I型若系统是可观测的，则存在线性相似变换其中使得其中可观测规范I型其中中元素为如下特征多项式的各项系数：中元素为相乘的结果（2）可观测规范II型若系统是可观测的，则存在线性相似变换其中使得其中可观规范II型其中中元素为如下特征多项式的各项系数：中元素为相乘的结果可观测I型与可控II型对偶可观测II型与可控I型对偶分析：2.6.8线性定常系统结构的规范分解系统的状态变量系统分割成相应子系统不可控不可观测不可控可观测可控不可观测可控可观测特殊相似变换目的：研究系统结构对系统特性的影响；便于系统校正和控制！2.6.8.1按可控性分解设不可控系统的状态空间表达式为系统可控性矩阵为若可控性矩阵的秩为经相似变换：变换成下列规范表达式其中l维可控状态(n-l)维不可控状态(n-l)行l行(n-l)行l行(n-l)列l列(