第九章无穷级数

人类知识的积累总是遵循着从已知到未知的认识规律。就拿微积分来说吧.微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，一部微积分发展史，是人类一步一步顽强地认识客观事物的历史，是人类理性思维的结晶而其中的极限理论则被说成是人类理性思维的典范。利用极限概念，我们逐步获得了导数，定积分等概念；利用定积分、极限概念又获得了广义积分的概念。下面看看无穷级数理论是怎样产生的。无穷级数第九章第一节无穷级数的概念和性质一.无穷级数的概念定义1由无穷多项构成的一个连加式称为一个无穷级数,简称为级数.记为即其中un称为级数的通项或一般项.若级数的每一项un都为常数,则称该级数为常数项级数(或数项级数),若级数的项un=un(x),则称为函数项级数.

{}考察由于定义2若级数的部分和数列{sn}的极限存在,且等于s,即则称级数

收敛,s称为级数的和.并记为,这时也称该级数收敛于s.若部分和数列的极限不存在,就称级数发散．等差数列前ｎ项的求和公式等比数列前ｎ项的求和公式考察级数的敛散性．因为例1判定级数的敛散性.解所以收敛.即=3例2考察级数的敛散性.解当n为奇数时，=1,当n为偶数时=0.{}：1,0，1,0，因为发散.同理可知发散．例3求的和.解例4解讨论几何级数(等比级数)注:当时，即为例1中的级数.例5解的敛散性(其中为常数q为公比)．

综上所述,几何级数当|q|<1时级数收敛,且收敛于，当|q|≥1时级数发散.此级数发散。例6证明调和级数发散．证引入辅助函数本堂课主要内容1.无穷级数的定义，无穷级数收敛与发散的概念.2.几何级数当时，收敛于3.调和级数发散.4.级数发散(a为常数).当时，发散.|q|≥1 ——练习————性质1在级数的前面增加或去掉有限项其敛散性不变,但一般会改变收敛级数的和．二、无穷级数的基本性质 性质2级数与有相同的敛散性,且收敛时有收敛性质3若级数与都收敛,则也收敛,且性质4

收敛级数加括号后所成的级数仍收敛,且其和不变.若级数收敛,则

性质5(级数收敛的必要条件)注意(1)若则发散.例1解第二节正项级数及其敛散性判别法若级数的各项un≥0(n=1,2,…),则称该级数为正项级数．

由于sn=sn-1＋un≥sn-1,所以正项级数的部分和数列{sn}是一个单调增加数列．定理1

正项级数它的部分和数列{sn}有上界.收敛的充要条件是：证必要性:若收敛存在有界有上界.充分性：<1即其部分和数列有界，所以正项级数收敛。解由于例1试判定正项级数的敛散性．定理2(比较判别法)

设有两个正项级数和如果存在正整数N,当n≥N时,有un≤vn,则有：例2考察解因为

例3证明级数发散.证例4解而发散，所以发散。例5判别级数的敛散性.解例6判别级数解例7判别级数的敛散性.解例8判别级数的敛散性.解例9判定级数的敛散性.解定理3[比值判别法]

若对正项级数有：

判断下列正项级数的敛散性.(1)

例10解例11判别级数的敛散性.解注当级数的一般项含有n!,等因子时，用比值判别法比较方便.解因为例12判别级数的敛散性.例13讨论级数的敛散性.解判断下列正项级数的敛散性:例14解注当一般项含n！时不宜用根值判别法.例15判别级数的敛散性(a>0).解练习：判断下列级数的敛散性:发散收敛例16解法一解法二一、交错级数及其敛散性判别其中un≥0(n=1,2,…).第三节任意项级数及其敛散性判别

定义如果在任意项级数中,正负号相间出现,这样的任意项级数就叫做交错级数.它的一般形式为定理1(莱布尼茨判别法)

若

交错级数满足则级数收敛,且其和s≤u1.(1)unun+1满足定理1的条件(1)和(2)的交错级数称为莱布尼茨型级数．证根据项数n是奇数或偶数分别考察sn．设n为偶数,于是sn=s2m=u1-u2+u3-…+u2m-1-u2m,将其每两项括在一起s2m=(u1-u2)+(u3-u4)+…+(u2m-1-u2m)．每个括号内的值都是非负的.如果把每个括号看成是一项,这就是一个正项级数的前m项部分和.显然,它是随着m的增加而单调增加的．如果把部分和s2m改写为s2m=u1-（u2-u3)-…-(u2m-2-u2m-1)-u2m,s2m≤u1,即部分和数列有界．

当n为奇数时把部分和写为sn=s2m+1=s2m+u2m+1,所以,不管n为奇数还是偶数,都有故交错级数收敛．由于s2m≤u1,而,因此根据极限的保号性可知,有s≤u1．例1解例2判断级数的敛散性.解练习：判断级数的敛散性.证因为un≤|un|,所以0≤|un|＋un≤2|un|．已知收敛,由正项级数的比较判别法知,收敛，从而收敛．二、任意项级数及其敛散性判别法例3解例4判断级数是否收敛，若收敛，判断是绝对收敛还是条件收敛.解特别值得注意的是，当我们运用达朗贝尔比值判别法或柯西根值判别法来判别正项级数是发散时，可以断言，也一定发散．这是≠0，从而有≠0．因为此时有例5判定级数的敛散性.解例6讨论级数的敛散性.解练习：

判断下列级数的敛散性:解解解解解例设证均绝对收敛.第四节幂级数一、函数项级数由定义在同一区间内的函数序列构成的无穷级数

就称为函数项级数．

若令x取定义区间中某一确定值x0,则得到一个数项级数

若上述级数收敛,则称点x0为函数项级数的一个收敛点.反之,若上述级数发散,则称点x0为函数项级数的发散点.收敛点的全体构成的集合,称为函数项级数的收敛域.若x0是收敛域内的一个值,则必有一个和s(x0)与之对应,即当x0在收敛域内变动时,由对应关系,就得到一个定义在收敛域上的函数s(x),使

这个函数s(x)就称为函数项级数的和函数．将函数项级数

的前n项和记为sn(x),且称之为部分和函数,即

在函数项级数的收敛域内有若以rn(x)记余项,rn(x)=s(x)-sn(x),则在收敛域内有求级数的收敛域与和函数.此级数为几何级数(即等比级数),当|x|<1时,级数收敛,|x|≥1时级数发散.故其收敛域为(-1,1).例1解和函数为：二、幂级数及其敛散性定义1具有下列形式的函数项级数

称为在x=x0处的幂级数或(x-x0)的幂级数,其中a0,a1,…,an,…称为幂级数的系数．若x0=0,则称

为x=0处的幂级数或x的幂级数．

定理1［阿贝尔(Abel)定理］(1)若幂级数在点x=x0(x0≠0)处收敛,则对于满足|x|＜|x0|的一切x,均收敛．(2)若幂级数在点x=x0处发散,则对于满足|x|＞|x0|的一切x,均发散．

可见

1.若x0是的收敛点,则该幂级数在(-|x0|,|x0|)内收敛;若x0是的发散点,则该幂级数在(-∞,-|x0|)∪(|x0|,+∞)内发散.

2.对幂级数而言,存在关于原点对称的两个点x=±r,r＞0,它们将幂级数的收敛点与发散点分隔开来,在(-r,r)内的点都是收敛点,而在[-r,r]以外的点均为发散点,在分界点x=±r处,幂级数可能收敛,也可能发散,称具有这种性质的正数r为幂级数的收敛半径.4.当幂级数仅在x=0处收敛时,规定其收敛半径为r=0;当在整个数轴上都收敛时,规定其收敛半径为r=+∞,此时的收敛区间为(-∞,+∞)．

3.由幂级数在x=±r处的收敛性就可以确定它在区间(-r,r),[-r,r),(-r,r],[-r,r]之一上收敛,该区间为幂级数的收敛区间.

定理2设有幂级数,如果

则(1)当0＜

＜＋∞时,的收敛半径r=；(2)当=0时,r=+∞;(3)当

=+∞时,r=0．证视为含参数x的数项级数.则例1求幂级数的收敛半径及收敛区间.解收敛半径所以，原级数的收敛区间为（-1,1]当时，原级数化为,又因为例2.求幂级数的收敛域.解因为所以从而收敛域为例3解缺少偶次幂的项.例4解原级数的收敛区间为已知幂级数求幂级数的收敛域。思考例5由-1<t<1,及t=lnx知-1<lnx<1,即lne-1<lnx<lne例6定理3设r是幂级数的收敛半径,若的系数满足

则(1)当0＜＜+∞时,r=;(2)当

=0时,r=+∞；(3)当

=+∞时,r=0．例7解三、幂级数的运算性质则(1)1.四则运算性质设的收敛半径为，和函数为；的收敛半径为，和函数为.解释：(4)逐项求导数若幂级数的收敛半径为r,则在(-r,r)内和函数s(x)可导,且有2.分析运算性质可见幂级数在其收敛开区间内可以逐项求导(5)逐项积分若幂级数的收敛半径为r,则和函数在(-r,r)上可积,且有可见幂级数在其收敛开区间内可以逐项积分.两边积分得例1解例2求级数的收敛域与和函数.解收敛区间为(-1,1),例3解思考求幂级数的和函数我们已经知道，给定一个幂级数，则在它的收敛域范围内存在一个函数，使得这就是下节要研究的目标.第五节函数的幂级数展开泰勒(Taylor)公式如果函数f(x)在x=x0的某一邻域内,有直到n+1阶的导数,则在这个邻域内有如下公式：

称上式为泰勒公式.其中rn(x)称为余项.如果令x0=0,就得到

称上式为马克劳林公式.显然，若在点的某邻域内具有任意阶导数，则相应地有称上式为泰勒级数.如果令x0=0,就得到

称上式为马克劳林级数.现在的问题是是否成立.是否成立.定理如果函数f(x)在点