第十二章数项级数

级

数

与

多

元

微

积

分

SeriesandCalculousinSeveralVariables授课教师：胡鹏彦授课对象：05本科第十二章数项级数§1级数的收敛性§2正项级数§3一般项级数§1级数的收敛性定义给定一个数列{un},对它的各项依次用“”号连接起来的表达式(1)称为数项级数或无穷级数(也简称级数),其中un称为数项级数(1)的通项.数项级数(1)常记作:或简单写作§1级数的收敛性数项级数(1)的前n项之和记为(2)称它为数项级数(1)的第n个部分和,也简称为部分和.§1级数的收敛性定义若数项级数(1)的部分和数列{Sn}收敛于S,即则称数项级数(1)收敛,称S为数项级数(1)的和,记作或若{Sn}是发散数列,则称数项级数(1)发散.§1级数的收敛性例1讨论等比级数(也称为几何级数)的敛散性(a0).例2讨论数项级数的敛散性.§1级数的收敛性级数与数列敛散性的联系:级数敛散性与其部分和数列的敛散性是相同的,一个级数对应一个部分和数列,同时一个数列可以作为某个级数的部分和数列.§1级数的收敛性数列收敛的柯西(Cauchy)准则要条件是:任给正数

,总存在正整数N,使得当mN以及任意的正整数

p,都有数列{an}收敛的充§1级数的收敛性定理12.1(级数收敛的柯西准则)要条件是:任给正数

,总存在正整数N,使得当mN以及任意的正整数

p,都有推论若级数(1)收敛,则级数(1)收敛的充§1级数的收敛性正整数N,存在m0

N以及正整数

p0,有级数(1)发散的充要条件是:存在正数0

,对任何§1级数的收敛性例3讨论调和级数的敛散性.例4应用级数收敛的柯西准则证明级数收敛.§1级数的收敛性定理12.2若级数un与vn都收敛,则对任意常数c,d,级数cundun也收敛,且定理12.3去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性.定理12.4在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和.§1级数的收敛性若级数un收敛,其和为S,则级数第n个余项(或简称余项),它表示以部分和Sn代(8)也收敛,且其和Rn

S

Sn.(8)式称为级数un的替S时所产生的误差.§2正项级数定理12.5正项级数un收敛的充要条件是:部分和数列{Sn}有界,即存在某正数M,对一切正整数n有SnM.一正项级数收敛性的一般判别原则若数项级数各项的符号都相同,则称它为同号级数.由正数项组成的级数称为正项级数.§2正项级数例1考察的收敛性.定理12.6(比较原则)设un和vn是两个正项级数,若存在某正数N,对一切nN都有则(i)若级数vn收敛,则级数un也收敛;(ii)若级数un发散,则级数vn也发散.(1)§2正项级数推论则设(i)当0

l

时,级数(3)与(4)敛散性相同;(ii)当l

0且级数(4)收敛时,级数(3)也收敛;(iii)当l且级数(4)发散时,级数(3)也发散.(3)(4)是两个正项级数,若(5)§2正项级数例2例3考察的收敛性.考察的收敛性.§2正项级数定理12.7(达朗贝尔(D’Alembert)判别法或比式判别法)设un为正项级数,且存在某正数N0及常数q

0

q

1(i)若对一切n

N0,成立不等式则级数un收敛.(ii)若对一切n

N0,成立不等式二比式判别法和根式判别法则级数un发散.(7)(8)§2正项级数推论1(比式判别法的极限形式)则若un为正项级数,且(i)当q

1时,级数un收敛;(ii)当q

1或

q

时,级数un发散.(9)比式判别法的极限形式在

q

1时是失效的.§2正项级数例4讨论级数

例5的敛散性.讨论级数nxn1x0的敛散性.§2正项级数定理12.8(柯西(Cauchy)判别法或根式判别法)设un为正项级数,且存在某正数

N0及正常数

l,(i)若对一切n

N0,成立不等式则级数un收敛.(ii)若对一切n

N0,成立不等式则级数un发散.(11)(12)§2正项级数推论1(根式判别法的极限形式)若un为正项级数,且则(i)当l

1时,级数un收敛;(ii)当l

1时,级数un发散.例7研究级数的敛散性.根式判别法的极限形式在

l

1时是失效的.(13)§2正项级数根式判别法与比式判别法的关系凡能用比式判别法鉴别敛散性的级数,也能用根式判别法来判断,而且根式判别法较之比式判别法更有效.§2正项级数定理12.9设f为[1,)上非负减函数,那么正项级数三积分判别法同时收敛或同时发散.f(n)与反常积分例9讨论p级数的敛散性.例10讨论下列级数的敛散性.§2正项级数定理12.10(拉贝(Baabe)判别法存在某正数

N0及常数

r,(i)若对一切n

N0,成立不等式则级数un收敛.(ii)若对一切n

N0,成立不等式则级数un发散.四拉贝判别法设un为正项级数,且§2正项级数推论(拉贝判别法的极限形式)若un为正项级数,且存在,则(i)当r

1时,级数un收敛;(ii)当r

1时,级数un发散.拉贝判别法的极限形式在

r

1时是失效的.§3一般项级数若级数的各项符号正负相间,即则称(1)为交错级数.一交错级数定理12.11(莱布尼茨判别法)若交错级数(1)满足:则级数(1)收敛.(i)数列{un}单调递减;(1)(ii)§3一般项级数推论若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件,则收敛级数(1)的余项估计式为§3一般项级数若级数各项绝对值所组成的级数二绝对收敛级数及其性质(5)(6)收敛,则称原级数(5)为绝对收敛.定理12.12绝对收敛的级数一定收敛.考察绝对收敛级数可用正项级数敛散性判别法.§3一般项级数的敛散性.若级数(5)收敛,但级数(6)不收敛,则称例1考察级数级数(5)为条件收敛.§3一般项级数1.级数的重排称为正整数列的重排,数列{un}按映射把正整数列到它自身的一一映射所得的数列{ukn}称为数列的重排.即把级数写成(7)为级数(5)的重排.记而称级数绝对收敛级数的性质:§3一般项级数定理12.13设级数(5)绝对收敛,且其和等于S,则任意重排后所得的级数(7)也绝对收敛,且有相同的和数.注:由条件收敛级数重排得到的级数不一定收敛,即使收敛,也不一定收敛于原来的级数的和.§3一般项级数设有收敛级数2.级数的乘积(11)(12)(13)§3一般项级数可用正方形顺序或对角线顺序依次相加得到级数.(14)§3一般项级数(15)§3一般项级数定理12.14(柯西定理)若级数(11)和(12)都绝对收敛,则对(13)中所有乘积uivj按任意顺序排列所得的级数wn也绝对收敛,且其和等于AB.§3一般项级数引理(分部求和公式,也称阿贝耳变换)设i,vi(i1,三阿贝耳判别法和狄利克雷判别法2,,n)为两组实数,若令则有如下分部求和公式成立(18)§3一般项级数推论(阿贝耳引理)若(i)1,2,,n是单调数组;(ii)对任一正整数k

1

k

n有|k

|

A这里(19)则记时,有k

v1vn,§3一般项级数定理12.15(阿贝耳判别法)若{an}为单调有界数列,级数bn