第六章空间力系重心

第六章空间力系重心

§6-1工程中的空间力系问题§6-2力在空间坐标轴上的投影§6-4空间力系的平衡方程§6-5重心的概念§6-3力对点之矩和力对轴之矩§6-6重心坐标公式§6-7物体重心的求法§6-1工程中的空间力系问题

一、空间力系的概念

不能简化到某个平面的力系。二、空间力系分类

xyz§6-2力在空间坐标轴上的投影一、直接投影法

设α、β、γ分别为力F与x轴、y轴、z轴正向夹角，则F在坐标轴上的投影：OFxFyFzFαβγ若已知力F的投影，则力F的大小和方向：xyz二、间接投影法

OFxFyFzFFxyθφ若已知力F的投影，则力F的大小和方向：§6-3力对点之矩和力对轴之矩OxyzrF一、力对点之矩mO(F)=

r×FmO(F)力矩是(定位于矩心的)定位矢量，其方向由右手螺旋定则确定。设r=xi+yj+zk，F=Fxi+Fyj+Fzk，则mO(F)在坐标轴上的投影为：Oxyz二、力对轴之矩概念

力F对z轴之矩等于其在垂直于z轴的平面上的分力Fxy对z轴与此平面的交点O之矩。Oxy平面中Fxy对点O之矩就是空间中Fxy对通过O点且与Oxy平面垂直的z轴之矩。在空间坐标系Oxyz中，设作用于点A(x,y,z)的力F在平行于z轴的方向和平面Oxy上的分力为Fz、Fxy，即：FxyFzAFOxyzrFmO(F)FxyMZ(F)r因力对与其共面(平行、共线或相交)的轴之矩为零，故F对z轴之矩等于Fxy对z轴之矩，即：将Fxy分解，即：由平面一般力系合力矩定理知：故OxyzFxyFzAFFxFy同理：xyzO符号规定面对选定的坐标轴正向，绕该轴逆时针转的力矩为正值，顺时针转的力矩为负值。mxmymzmxmymz+-+-+-视线视线视线§6-4空间力系平衡方程yxOzyxOzyxOz一、空间一般力系的简化

F1r1F2r2F3r3F1r2F1'm1m2m3利用力的平移原理，空间力系Fi向简化中心O平移，得到一汇交于O点的空间汇交力系Fi‘和矩为mi的空间力偶系。可将Fi’合成为一个合力R‘

，将力偶系合成为一对矩为MO的合力偶。F3F3'r1F2F2'r3F1'm2m3F2'm2m3MOF2'F3'm1RF3'——原力系Fi的主矢(矢量)，与简化中心无关。——原力系Fi对简化中心O点的主矩(矢量)，一般与简化中心位置有关。结论：空间一般力系向任意一点O简化，可得到一个力和一对力偶。该力为原力系的主矢，作用线通过简化中心；该力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩。在以简化中心O为原点的空间直角坐标系中，主矢和主矩的解析表达式(投影)为：主矢：——主矢在坐标轴上的投影等于各分力对同一轴之投影的代数和。主矩：——主矩在坐标轴上的投影等于各分力对该轴之力偶矩的代数和。二、合力矩定理

空间力系Fi的合力R对某一轴之矩等于力系中各分力Fi对同一轴之矩的代数和。即：显然，上式亦为空间力系的主矩在坐标轴上的投影。【例6-1】设空间力系Fi的作用点在各自箭头的起点，分布在边长为a的正方体上且边长代表的力大小为Fa。【解】1)求合力R在坐标轴上的投影zxym2m3Om1求：1）Fi的合力R在坐标轴上的投影；2）R的大小及方向；3）R对各坐标轴之矩；F3F1F2F4F5F63）求R对各坐标轴之矩由合力矩定理知：2）求R的大小及方向设R与x轴正向、y轴正向、z轴正向的夹角分别为α、β、γ。则：zxym2m3Om1F3F1F2F4F5F6zxym2m3Om1F3F1F2F4F5F6三、空间力系平衡的充要条件

力系中诸力在坐标轴上的投影的代数和为零，对各轴之矩代数和为零。四、空间一般力系的平衡方程

——力平衡——力矩平衡五、注意事项

空间一般力系平衡方程数为6个，只能运用该方程求解6个未知量，若未知量超过6个，则为超静定问题。平面一般力系是空间一般力系的特例。即：zxyO其平衡方程为：——仅可能求3个未知数空间平行力系是空间一般力系的特例。即：xyzO平衡方程为：——仅可能求3个未知数空间汇交（共点）力系只能列出三个力投影方程，只能求解三个未知数。2.注意事项三个投影轴可以不相互垂直，但三轴不能共面，任意二轴不能平行；三个力矩轴可不相交，可不互相垂直。若用力矩方程也能保证合力为零，则可用力矩方程代替力投影方程。若所选的力矩轴与未知力平行或通过几个未知力(或力的作用线)交点，则可使平衡方程中的未知数的数量减少。六、空间一般力系平衡方程的应用1.解题步骤选既含已知又含未知力的研究对象作受力分析；根据力系特征，列相应的平衡方程；3)求解。【解】1)对整体作受力分析。2)列平衡方程：3)求解：3.例题

【例6-2】图示结构中A、B、C、D均为球铰链连接，W=10kN。不计杆自重，求A、B、C处约束反力。xyzABCDWO15º30º45º45ºFBFAFC【例6-3】匀质等厚度圆盘重为W，在其周边3点用铅垂细线悬挂在水平位置，已知φ1=90º，φ2=150º。求3根线的拉力。ACWBxyzφ1φ2OFA【解】1)设3根绳子的拉力分别为FA、FB、FC，对圆盘作受力分析。FBFC2)列平衡方程：3)求解：【例6-4】不计杆件和圆盘自重，求图示结构中夹紧端A处的约束反力。ylllPzxmAxFAmAyD【解】1)对结构作受力分析。2)列平衡方程：3)求解：FA=P，mAx=-Pl，mAy=P(l-D/2)A【例6-5】转轴轮上皮带拉力T2=2T1，P=2kN，转轮直径D=40cm，l=20cm，R=30cm，α=30°。求皮带拉力和轴承A、B的约束反力。【解】1)对转轴作受力分析2)转轴上所有力的投影和对各轴之矩列表ABDxyzPRlllT1ααT2FAxFAzFBxFBz002FBzlFBz0-2FBxl000FBx000FAz00000FAx-3T2lsinα-T2D/2-3T2lcosα-T2cosαT2sinα-3T1lsinαT1D/2-3T1lcosα-T1cosαT1sinα0PR-Pl-P0FBzFBxFAzFAxT2T1Pmz(Fi)my(Fi)mx(Fi)FizFixFi3)列平衡方程4)求解【例6-6】齿轮传动轴大、小齿轮节圆直径满足D=2d，两齿轮都是直齿，压力角α＝20º。大齿轮上的主动力R1＝2000N，求该传动轴匀速转动时小齿轮上的约束反力R2及A、B轴承的约束反力。【解】1)对传动轴作受力分析。2)列平衡方程：R1LLLzxyABR2ααDddFBzFBxFAzFAx3)求解：xyzOABCW1W245º【例6-7】图示结构中，均质杆AB、BC重分别为W1、W2，在B点用球铰连接并靠在光滑铅垂墙面，A、C点用球铰与水平面连接，墙面与AC平行。求A、B、C处约束反力。FB【解】1)对结构作受力分析。FCxFCyFCzFAxFAyFAz2)选整体为研究对象，其平衡方程为：3)选AB杆为研究对象，其平衡方程为：4)求解得：xyzOABCW1W245ºFBFCxFCyFCzFAxFAyFAzD§6-5重心的概念

重心可看成是平行力系中心的一个特例，是平行力系合力的作用点。重心：作用于物体上各质点的重力可近似地看成是一个平行力系，此平行力系的中心即为重心。§6-6重心坐标公式

一、重心坐标一般公式

将物体分成n个微单元体，设各微单元体重为ΔWi，其重心坐标为(xiC，yiC，ziC)，物体总重为W，重心坐标为(xC，yC，zC)。ΔWi(xiC,yiC,ziC)W

(xC,yC,zC)xCyCyiCziCzCxiCzxyO由于重心位置不随各力绕其各自作用点转动相同角度而改变，可将物体和坐标系绕x轴逆时针转90º。ΔWi(xiC,yiC,ziC)W

(xC,yC,zC)xCyCyiCziCzCxiCzxyO由合力矩定理得：若物体处于均匀重力场中，即则得物体的质心坐标：

二、重心坐标精确公式

当n→∞即无限细分时，则每块的重力大小ΔWi→0，得重心坐标的精确公式：

若物体处于均匀重力场中，质心坐标的精确公式：三、均质物体的重心均匀重力场中均匀物体重度γ为常数，即，则重心就是物体的形心。1.体积形心一般公式精确公式2.薄壳的形心对于均质薄板，其厚度h为常数，，则形心坐标：一般公式精确公式对均质平板，。得：一般公式精确公式3.等截面细长杆的形心对于等截面细长杆，，则形心坐标：一般公式精确公式§6-7重心的求法一、对称法若形体具有对称中心，对称中心即为形心；若形体具有对称轴线，形心必在该轴上；若形体具有对称面，形心必在对称面上；若形体具有两根对称轴，形心必在两轴交点上；若形体具有两个对称面，形心在两对称面的交线上。ABCOyhbx二、积分法

当物体被分割的微小体积(或面积，或弧长)与坐标的函数关系易写出时，可用该法求解。【例6-8】

求图示三角形形心。【解】由相似三角形知：dyyu矩形微单元面积同理，将AB边作为底边可得xC的位置。【例6-9】求圆弧的形心。【解】当时，半圆弧形心：。RαθdθOyxdl=Rdθy=Rcosθ

【例6-10】求扇形的形心。xOyRα2R/3【解】阴影三角形形心的在处，故可视扇形形心集中在半径为、顶角为的圆弧上。根据圆弧形心公式，得形心：当时，得半圆形心公式：三、组合法若复合形体能分解成几个简单形体，而简单形体的形心又已知，则可由简单形体的形心组合得到复合形体的形心。【例6-11】求由半圆环和正三角形组成图形的形心坐标。r【解】图形由大半圆和正三角形组合后再挖去小半圆组成。OxyrROR四、实验法(对均质和非均质物体均适合)

悬挂法

运用二力平衡原理，即悬挂点的约束反力与重力(通过重心)必