第八章相关与回归分析1

第八章相关分析和回归分析

第一节相关分析的意义和种类第二节简单线性相关分析第三节回归分析下一页返回目录第8章回归分析1第一节、相关关系的意义和种类

一、相关关系的概念二、相关关系的种类

上一页下一页返回本章首页第8章回归分析2一、相关关系的概念（一）、变量间关系的形态：函数关系和相关关系1、函数关系

变量之间存在着确定的严格数量依存的关系，在这种关系中，对于某一个变量（自变量）的每一个数值，都有另一个变量（因变量）的确定数值与之对应。

设有两个变量：x和y，这两个变量的关系是确定的,x取某个确定的值，y有唯一确定的值与之相对应。可用一个函数关系式表示。例：S=πR2第8章回归分析32、相关关系（correlationanalysis）：⑴相关关系：变量之间存在不严格的数量依存关系，在这种关系中，对于某一个变量的每一个数值可以有另一个变量的若干个数值与之对应。例：父母的身高与子女身高的关系、施肥量与产量的关系等。第8章回归分析4（2）相关分析是对具有相关关系的两个或两个以上的变量之间相互关系所做的统计分析。分析的内容包括：关系的密切程度、关系的具体形式、关系的方向等等。第8章回归分析5㈡相关关系与函数关系的关系区别：第一、函数关系是变量之间的一种完全确定性的关系；相关关系一般是不完全确定的关系。第二、函数关系通常可以用数学公式准确的表示出来。相关关系则不能。第8章回归分析6联系：两种关系之间没有严格的界限：由于有测量误差的存在，确定性的函数关系往往通过相关的形式表现出来。反之，当人们对事物的内部规律了解得更深刻时，相关关系也可以转化为函数关系第8章回归分析7二、相关关系的种类㈠根据自变量的多少

1、单相关：只有一个自变量。

2、复相关：有两个及两个以上的自变量。上一页下一页返回本节首页第8章回归分析8㈡根据相关的形式不同

1、线性相关：当一个变量变动时，另一个变量也相应发生大致均等的变动（各期的逐期增长量大体相同）

2、非线性相关：当一个变量变动时，另一个变量也相应发生变动，但这种变动是不均等的。第8章回归分析9㈢根据相关关系的方向1、正相关：两个变量间的变化方向一致，都是增长趋势或下降趋势。2、负相关：两个变量变化趋势相反。上一页下一页返回本节首页第8章回归分析10（四）根据相关关系的程度1、完全相关：两个变量之间呈函数关系2、不相关：两个变量彼此互不影响，其数量的变化各自独立3、不完全相关：介于完全相关和不相关之间第8章回归分析11不相关负线性相关正线性相关非线性相关完全负线性相关完全正线性相关图示第8章回归分析12第二节、简单线性相关分析

一、相关图和相关表二、相关系数的定义及测定方法三、关于相关分析的说明

上一页下一页返回本章首页第8章回归分析13对于现象之间相关关系的判断，有许多种方法，如：画相关图做相关表计算相关系数等等第8章回归分析14一、相关图和相关表利用相关图和相关表可直观的判断出现象之间有无相关关系，相关的形态和相关的方向。1、相关图（散点图）例：十组高校人数与周边饭店的季销售额数据上一页下一页返回本节首页第8章回归分析15第8章回归分析16第8章回归分析17操作过程：上一页下一页返回本节首页①打开“8简单线性回归.xls”工作簿，选择“饭店”工作表，如下图所示，该表为相关表。第8章回归分析18②从“插入”菜单中选择“图表”选项，打开“图表向导”对话框如下图所示。在“图表类型”列表中选择XY散点图，单击“下一步”按钮。上一页下一页返回本节首页第8章回归分析19③在数据区域中输入B2:C11，选择“系列产生在—列”，如下图所示，单击“下一步”按钮。上一页下一页返回本节首页第8章回归分析20④打开“图例”页面，取消图例，省略标题，如下图所示。上一页下一页返回本节首页第8章回归分析21⑤单击“完成”按钮，便得到XY散点图如下图所示。上一页下一页返回本节首页第8章回归分析222、相关表简单相关表：自变量从小到大排列，因变量与之一一对应。见书P247。第8章回归分析23二、相关系数的定义及测定方法相关图和相关表不能准确的反映变量之间关系的密切程度相关系数则能从数量上准确的判断现象之间关系的密切程度1、相关系数定义：测定两个变量之间线性相关关系密切程度的统计分析指标。第8章回归分析242、相关系数的测定其中：上一页下一页返回本节首页第8章回归分析25将上式展开第8章回归分析26将上式分子分母同乘以1/n得：第8章回归分析27第8章回归分析28第8章回归分析29用计算器计算相关系数的方法：

上一页下一页返回本节首页第8章回归分析30x、y属于高度的正相关关系第8章回归分析313、相关系数的取值相关系数的取值在（-1~+1）之间如果r大于0，为正相关；r小于0为负相关

r取正值还是取负值取决于分子。第8章回归分析32r=1为完全正相关，r=-1,为完全负相关，r=0为不相关。r的绝对值在0-0.3是微弱相关;r的绝对值在0.3-0.5是低度相关;r的绝对值在0.5-0.8是显著相关;r的绝对值在0.8以上是高度相关.第8章回归分析33（1）相关分析中，两个变量的关系是对等的，即相关系数只有一个—改变自变量和因变量的位置，相关系数的大小和正负不变。（2）相关分析中，两个变量都是随机的三、关于相关分析的说明：第8章回归分析34（3）相关分析的不足：相关关系说明现象间有关系，但它不能说明一个现象发生一定量的变化时，另一个变量将会发生多大的变化，即它不能说明两个变量之间的一般关系值。回归分析则能将现象间关系一般化。第8章回归分析35第三节回归分析

一、回归分析的概念及分类二、一元线性回归分析三、估计标准误差

上一页下一页返回本章首页第8章回归分析36一、回归分析的概念及分类

（一）回归分析的含义：1、定义：在相关分析的基础上，对变量之间数量变化的一般关系进行测定，确立一个相应的数学表达式，以便从一个已知的量估计另外一个未知的量。上一页下一页返回本节首页第8章回归分析372、说明：回归分析实际上是将相关现象间不确定、不规则数量关系确定化、规则化。采用的方法是配合一个方程式来代表现象之间的一般数量关系。这个方程式叫回归方程。第8章回归分析38（二）回归分析的种类：1、按自变量x的多少，分为一元回归和多元回归；2、按y与x关系的形式，分为线性回归和非线性回归。第8章回归分析39二、一元线性回归分析上一页下一页返回本节首页（一）一元线性回归方程：它是根据成对的两组变量的数据，通过x、y的散点图大致判断出它们之间关系的形态像一条直线，这时便可配合一条直线方程式。第8章回归分析40其中，x为自变量，y为因变量，为y的理论值，或平均值，估计值、回归值。

a、b为两个未知参数。其中：a为截距，代表经济现象的基础水平；b为斜率，回归系数，代表自变量每变动一个单位，因变量的平均变化值。方程式的一般形态为：第8章回归分析41知道了回归方程的一般形式需要将a、b的值估计出来，一旦a、b的值确定，对于一个给定的x值，就能计算出y的回归值但a和b是未知的，需要利用最小二乘法估计第8章回归分析42最小二乘法：是使因变量的观察值（实际值）与估计值之间的离差平方和达到最小。即：第8章回归分析43如果：将带入到上述方程，则得：第8章回归分析44令：求偏导数并令其等于0：第8章回归分析45

解上述方程得到两个标准方程：第8章回归分析46可求得a、b的计算公式：这样便可求出方程，可进行预测分析。第8章回归分析47将上述b的公式分子分母同乘以1/n，则得：第8章回归分析48注意相关系数和回归系数的关系：第8章回归分析49上一页下一页返回本节首页试确定直线回归方程，并估计产量为10千吨时，生产费用是多少。第8章回归分析50设回归方程为：用最小平方法求参数a、b：第8章回归分析51故直线方程为=51.31+12.9x回归系数b的含义：产量每增加1千吨，生产费用增加12.9万元。下一页返回本节首页第8章回归分析52预测：产量为10千吨时，生产费用为：第8章回归分析53（二）一元线性回归分析的特点1、在两个变量之间，必须确定哪个是自变量，哪个是因变量。如果自变量和因变量的位置发生变化，方程也会改变。2、回归方程的主要作用是用自变量来推算因变量而不能反推。如果X为自变量，则：如果y为自变量，则：第8章回归分析54（三）相关分析和回归分析的关系联系:相关分析是回归分析的基础和前提回归分析是相关分析的深入和继续：第8章回归分析55区别：1、相关分析所研究的两个变量是对等的关系，改变自变量和因变量的位置，相关系数的大小和正负不变—相关系数只有一个；回归分析所研究的两个变量不是对等的关系，改变自变量和因变量的位置，回归方程也会改变。必须根据研究的目的，确定出自变量和因变量的位置。第8章回归分析562、对资料的要求不同相关分析对资料的要求是：两个变量必须是随机的；回归分析对资料的要求是：自变量是给定的，因变量是随机的。第8章回归分析57⑵用计算机计算：先作图表，然后添加趋势线。①用鼠标激活散点图，把鼠标放在任一数据点上，单击鼠标右键，打开菜单，在菜单栏里选择“添加趋势线”选项。图1上一页下一页返回本节首页第8章回归分析58图2上一页下一页返回本节首页第8章回归分析59②打开“类型”页面，选择“线性”选项，Excel将显示一条拟合数据点的直线。③打开“选项”页面如下图所示，在对话框下部选择“显示公式”和“显示R平方”选项，单击“确定”按钮，便得到回归图如下图所示。上一页下一页返回本节首页第8章回归分析60三、估计标准误差回归方程的一个重要作用在于根据自变量的已知值推算因变量的可能值。这个可能值（又称估计值、理论值、平均值、回归值）和它真正的实际值可能一致，也可能不一致.如果将一系列的估计值与实际值y进行比较，可以发现其中存在着一系列的离差，有的是正差，有的是负差。将这一系列的离差进行综合得到一个指标，该指标即为估计标准误差，利用它可说明回归方程的代表程度。第8章回归分析61

xy16867.3+0.727171.4-0.437575.5-0.547979.5-0.558483.6+0.468887.7+0.3合计0回归方程：第8章回归分析621、定义：估计标准误差是用来说明回归方程代表性大小的统计分析指标。2、计算：估计标准误差的计算原理与标准差相同，公式为：具体计算时可用：第8章回归分析633、估计标准误差和回归方程代表性大小的关系：反比关系。即估计标准误差越大，回归方程代表性越小；估计标准误差越小，回归方程代表性越大。第8章回归分析64四、多元线性回归回归方程为要估计参数a、b1、

b2手工计算较繁，可以用EXCEL数据分析功能完成。上一页下一页返回本节首页第8章回归分析65例某地区玻璃销售量与汽车产量、建筑业产值资料如左，试建立回归模型。上一页下一页返回本节首页第8章回归分析66⒈操作过程①打开“8回归.xls”工作簿，选择“玻璃”工作表。②在“工具”菜单中选择“数据分析”选项，打开“数据分析”对话框如下图所示。上一页下一页返回本节首页第8章回归分析67③在“分析工具”列表中选择“回归”选项，单击“确定”按钮，打开“回归”对话框如下图所示。上一页下一页返回本节首页第8章回归分析68④在Y值输入区域中输入B1:B19。⑤在X值输入区域中输入C1:D19。⑥选择“标志”，置信度选择95%。⑦在“输出选项”中选择“输出区域”，在其右边的位置输入“E1”，单击“确定”按钮。输出结果如下图所示。上一页下一页返回本节首页第8章回归分析69上一页下一页返回本节首页第8章回归分析70Excel的回归分析工具计算简便,但内容丰富，计算结果共分为三个模块：回归统计表方差分析表回归参数

⒉回归分析工具的输出解释上一页下一页返回本节首页第8章回归分析71回归统计表包括以下几部分内容：MultipleR（复相关系数R）：R2的平方根，又称为相关系数，它用来衡量变量x和y之间相关程度的大小。上节例中：R为0.9468，表示二者之间的关系是高度正相关。RSquare(复测定系数R2)：用来说明用自变量解释因变量变差的程度，以测量同因变量y的拟合效果。上节例中：复测定系数为0.9731，表明用自变量可解释因变量变差的97.31%。⑴.回归统计表上一页下一页返回本节首页第8章回归分析72AdjustedRSquare(调整复测定系数R2)：仅用于多元回归才有意义，它用于衡量加入独立变量后模型的拟合程度。当有新的独立变量加入后，即使这一变量同因变量之间不相关，未经修正的R2也要增大，修正的R2仅用于比较含有同一个因变量的各种模型。标准误差：又称为标准回归误差或叫估计标准误差，它用来衡量拟合程度的大小，也用于计算与回归有关的其他统计量，此值越小，说明拟合程度越好。上一页下一页返回本节首页第8章回归分析73观测值：是指用于估计回归方程的数据的观测值个数。⑵方差分析表方差分析表的主要作用是通过F检验来判断回归模型的回归效果。⑶回归参数表如上图所示，回归参数表是表中最后一个部分：上一页下一页返回本节首页第8章回归分析74图中，回归参数如下：Intercept：截距β0第二、三行：β0(截距)和β1(斜率)的各项指标。第二列：回归系数β0(截距)和β1(斜率)的值。第三列：回归系数的标准误差第四列：根据原假设Ho：β0=β1=0计算的样本统计量t的值。第五列：各个回归系数的p值(双侧)第六列：β0和β195%的置信区间的上下限。上一页下一页返回本节首页第8章回归分析75故直线方程为：yc=19.16+35.68x1＋10.86x2上一页下一页返回本节首页第8章回归分析76销售额x流通费率y 1.5 7 4.54.8 7.5 3.6 10.5 3.1 13.5 2.7 16.5 2.5 19.5 2.4 22.5 2.3 25.5 2.2 ㈠引例