第5章地壳应变应力分析-2014

地壳形变武汉大学许才军第5章地壳应力与应变分析变形、应变概念应力分析基础应变分析基础区域地壳运动应变分析变形、应变概念变形：当地壳中岩石体受到应力作用后，其内部各质点经受了一系列的位移，从而使岩石体的初始形状、方位或位置发生了改变，这种改变通常称为变形。位移的基本方式可以分为四种：平移、旋转、体变和形变。

变形、应变概念A.平移B.旋转C.形变D.体变平移和旋转是指刚体的平移和旋转，是物体相对于外部坐标作整体的平移或旋转。这种位移并不引起物体内部各质点间相对位置的变化，因此平移和旋转不会改变物体的形状。体变和形变使物体内部各质点间的相对位置发生了改变，从而改变了物体的大小和形状，即引起了物体的应变。变形、应变概念应变：是物体在应力作用下的形状和大小的改变量(有时也包含一定程度的旋转)，所以应变可理解为是表示物体变形的程度。地应变：地壳是具有一定弹性的，当作用于它的地应力不超过地壳岩石的弹性强度时，就产生弹性应变，称为地应变。2应力分析基础外力、内力应力的定义一点的应力主应力、主方向应力场外力和内力处于地壳中的任何地质体，都会受到相邻介质的作用力。这种研究对象以外的物体对被研究物体施加的作用力称为外力。由外力作用引起的物体内部各部分之间的相互作用力称为内力。外力和内力是一对相对的概念，当研究范围扩大或缩小时，外力可以变为内力，内力也可以变为外力。例如，当考察一个岩体内的某个矿物颗粒的受力时，周围颗粒对颗粒的作用力是外力；当研究对象是该岩体时，周围颗粒与该颗粒的相互作用力变成了内力，而围岩对岩体的作用力是外力；当研究的对象扩展到该岩体所在板块时，围岩与该岩体之间的相互作用力又变成了内力，而相邻板块对该板块的作用力是外力。

应力是作用于固体上的外力或使固体发生变形的其它因素在固体中所产生的内力的度量。

应力如图1（a），O是地壳内的一点，在O点上取一确定的方向OP和与之成正交的面积元。朝OP方向的一方面称为正方，反方向的一方称为负方。正方的质量作用于负方所有的力的合力为，当趋近于零时，的极限称为P点上通过面积元（法线方向是OP）的应力，以公式表示为：（1）是一个向量。地壳中的每一点O和通过O的每一方向，都存在一个向量，它的作用方式是：如果通过O取一面积为、法线方向为OP的小平面，正方的质量将有一力作用于负方的质量，负方的质量也有一力作用于正方的质量。图1应力的定义如图1（b），过O点取一直角坐标系O–xyz，设OP在Ox方向上，则在yz平面上；向量可以分解为成3个分量,,

它们分别在ox，oy，oz方向上。分量在ox方向上，与正交，称为法向应力；，在的平面上，称为切应力(剪应力）。若通过一个面的法向应力为正，称为张应力，为负则称为压应力；张应力将该面正方的质量从负方的质量拉开，压应力使正方的质量向负方的质量压缩。图1正面上沿坐标正向、负面上沿坐标负向的应力为正的应力；反之为负的应力。（图上所示均为正应力）应力正、负规定(SignConvention)

x

z

y切应力互等定理同理*其他应力分量对z轴合力矩为零，图上未标出

xyz相互垂直两微分面上的切应力（与）大小相等，且同时指向或背向两面的交线。称为切应力互等定理，即。如此，一点的应力状态由6个独立分量描述：

xyz平面应力状态（PlaneStress）当含有z方向分量的应力都等于零时，称为平面应力状态，此时的应力状态由三个分量描述：

x

z

yo平面应力状态矢量是一阶张量（Tensor）矢量A，在x－y坐标系里可以用坐标（X，Y）表示，在x’－y’坐标系里可以用坐标（X’，Y’）表示。它在新、老坐标系里的分量有如下的转换关系：yxAoXYx’X’Y’事实上，矢量是一阶张量应力的国际单位为帕斯卡（Pascal），简称帕（Pa），即。

兆帕（Mpa）巴(bar)大气压(atm)公斤/达因/帕(Pa)1.0139.807常见应力单位换算成帕时的系数表应力的单位及其换算应力矢量是与截面联系在一起的，通过地壳岩石中的任一点，可作出无数个截面，因而存在无数个应力矢量，一个应力矢量不能代表一点的应力。

一点的应力一点的应力状态是指某一瞬间作用于物体上的应力情况，即过一点的所有截面的全部应力矢量，才代表一点的应力状态。应力矢的尾端构成应力椭圆

应力矢的首端构成应力椭圆

应力分量地壳内一点O的应力可以用下述9个应力分量完全描述：

由于，，，一点上的应力只需要用6个分量来描述。一点的应力二维应力

如图（a)，过O点作一平面x=0，该面右方质量作用于左方质量单位面积的力的分量为和；同样，如图（b），过O点作一平面y＝0，通过该面单位面积的力的分量为和由于，这4个分量中只有3个是独立的

.若通过O的平面的法线OP与Ox轴成倾角，如图（d），则通过该面的应力分量，

可以用，，表示为如下(2)式(J.C.Jaeger,1969):J.C.Jaeger,Elasticity,FractureandFlow:WithEngineeringandGeologicalApplications,J.W.ArrowsmishLtd.,Bristal,GreatBritain(1969).

（2）若坐标轴ox，oy旋转了一个角度，成为ox′，oy′则相对于ox′，oy′的应力分量，可利用（2）式分别就角度和(90°+)得出：

上面两式相加，得出

这就是说，如果两轴旋转了一个角度，虽然和本身都变化了，但

+保持不变。方程（2）式完全描述了一点上的应力随着方向

变化的方式。

平面应力状态分析

物体上o点处于平面应力状态。沿方向取单元体，其上应力由描述。若过该点取沿任意方位的单元体，其上应力则由描述。目的是建立与之间的转换关系。oo正平面应力状态下的任意斜截面上的应力解析法－转换方程面积dA平面应力状态的研究方法——解析法\图解法楔形分离体的平衡－转换方程力平衡方程：张量关系：注：此处的x’方向与截面法向重合（一般无此条件）楔形分离体的平衡－转换方程力平衡方程：张量关系：注：此处的y’方向与截面切向重合（一般无此条件）主应力、主方向微分（2）式得令其为零可得此时法向应力为最大或最小；而此时切应力为零。

上式定义了成正交的两个方向（主方向），在这两方向上，一点上的法向应力一为最大，一为最小，切应力为零。这两方向构成应力的主轴，主轴上的应力称为主应力，通常用和表示（＞）。

上式有两个根，记为和，对应的极值记为和。主应力、主平面

主应力、主平面将以上三角关系代入的表达式得面内的最大、最小正应力：

主应力、主平面oIII面内最大切应力及作用面将对微分，并令其等于零得：表明面内最大切应力作用面与主平面成夹角。由于与的正切成负倒数关系，所以面内最大切应力及作用面面内最大切应力作用面与主平面成夹角。o主平面最大切应力作用面o面内最大切应力及作用面将代入正应力公式，最大、最小切应力作用面上的正应力为记两个根为和，将代入切应力公式，对应的切应力极值为面内最大切应力及作用面求最大切应力最小、最大切应力处于与主应力成45的截面上。

从后面讲的应力圆知识可知，最大主应力旋转－45的截面上，也就是与x方向成－58.3的截面上,切应力为正。6.714.04.0-6.7131.7ox13.3o45o45o应力状态的分类：(1).单向应力状态：三个主应力中，只有一个不为零——简单应力状态。(2).双向应力状态：三个主应力中，只有一个为零。(3).三向应力状态：三个主应力都不为零——复杂应力状态。dzdxdyXYZOsysyszsztzytyztyztzytyxtyxtxytxysxsxtzxtxztzxtxzdzdxdyXYZOs1s2s3如果已知一点上的应力状态，就可立即得出主轴方向和主应力值；再把主轴取作参考轴，来表达任一方向的应力就简单多了。若一平面的法线与x轴成角，则通过该平面的法向应力和切应力为：

——拉为正，压为负。

——单元体顺时针转时为正，逆时针转时为负。

应力莫尔圆应力分析中，有一种重要的图解方法，称为应力莫尔圆，它能完整地代表一点的应力状态。如图表示—点平面应力状态的应力莫尔圆，图中，横坐标代表正应力，纵坐标代表剪应力，图中以C点为圆心，以CM为半径的圆上的任何一点的横坐标与纵坐标就代表了二维空间中某一截面上的正应力与剪应力。

应力莫尔圆讨论单元体顺时针转时为正，逆时针转时为负

的表达式可写成两边平方并求加，消去得图解法－应力莫尔圆(一般情况)其中图解法－应力莫尔圆(一般情况)上式为一圆方程，圆心为C（a，0），半径为R。取轴向右为正,轴向下为正。在该坐标系中作圆，称为应力莫尔圆。图解法－应力莫尔圆（一般情况）作莫尔圆的步骤：以C

为圆心，CX

为半径作Mohr圆。确定正x

面对应的应力点；

确定点C(a,0)

；

132莫尔应力圆以C为圆心，CX

为半径作圆。连接X

和Y

，与轴交点为C;

确定正y

面对应的应力点

确定正x

面对应的应力点

或

应力莫尔圆证明：斜截面上的应力因为所以应力圆上的点X的坐标为（x，xy），与单元体x

面的应力相对应。应力圆上X’的坐标为（x’，x’y’），与单元体的x’面上的应力相对应。应力圆上CX’与CX的夹角为2，是x’轴与x轴之夹角的2倍。应力圆例题例：某点应力x=40MPa，y=-20MPa，xy＝30MPa。

试用解析法和图解法求主应力和最大切应力。1，解析法2，图解法=40MPa，=-20MPa，＝30MPax22.5IIIyxyxx’x”x”y”x”45°45°xyY(-20,-30)X’(52.43,0)X(40,30)C(a,0)45X’’(10,-42.4)Y’’(10,42.4)o45Y’(-32.43,0)三维应力状态下的最大应力三维应力状态是应力状态的一般形式，就其研究的方法而言，同二维应力状态基本相似，下面通过例子来进行分析。如图所示：主平面单元体，其上的主应力均为已知，要求单元体内各截面的应力。（1）分析与平行的任意斜截面abcd上的应力。<a>用平面abcd将单元体一分为二，取左下部分为研究对象。<b>对图b进行受力分析：由上式可看出：1)斜面abcd上的应力与单元体仅在结果完全相同，而与无关，即仅取决于我们可以得出：在平面内，与该类斜截面对应的点于所确定的应力圆上。作用下求得的。故而均位4)综上所述：在位于应力圆上，或位于由三个应力圆所构成的阴影区域内。平面内，代表任一斜截面上的应力的点或2)同理，可得出：单元体中与平行的各斜截面上的应力位于同所确定的应力圆上，与截面上的应力位于平行的各斜所确定的应力圆上。由3)可以证明：对于与三个主应力均不平行的任意斜截面上的应力〈见单元体图中的efg平面〉它们在必位于上述三圆所构成的阴影区内。平面的对应点，

由右图可见：在三维应力状态下，最大，最小正应力分别为最大，最小主应力，即：最大剪应力为：

又由于，故位于与均成的斜面上。注：上述结论，同样适用于单向和双向应力状态。5)讨论：目录应力场：受力物体内的每一点都存在与之对应的应力状态，物体内各点的应力状态在物体占据的空间内组成的总体，称为应力场。物体内各点的应力状态相同时，组成均匀应力场，否则组成非均匀应力场。由于上覆岩石压力

（式中，是岩石密度，是重力加速度，是距地表的深度）随深度而变化及地壳岩石的非均匀性，地壳中不存在理想的均匀应力场。构造应力场：由构造作用造成的应力场称构造应力场。地应力：地壳岩石中存在的应力称为地应力。地应力除了构造应力外，还有非构造应力，如有重力引起的应力，地形引起的应力，开挖引起的应力，人工载荷引起的应力，等等。

应力场古应力场：在地史时期作用的应力场称为古应力场(探讨地壳运动规律，指导成矿预测等，具有重要作用)。现今应力场：现今作用的应力场称为现今应力场(对于地震预报分析工作和工程场地稳定性评价，具有重要的意义)。

应力场的图示：应力场通常采用主应力迹线和主应力等直线、最大剪应力等直线等来表示，有时也采用主应力矢量图表示。用应力迹线和应力等值线表示的应力场A.剪应力分布（等值线单位为Mpa）B．主应力迹线C．最大剪应力迹线

主应力矢量图表示应力场非连续变形分析方法求得的华北地区主应力分布图3.应变分析基础应变的定义应变的度量均匀应变与非均匀应变

无限小应变分析

二维应变张量应变的定义

当一地块受到应力作用时，其中的质点系O，P，Q，R的相对构形将以某种方式发生变化。这种情况称为该地块经受应变。图中的实线表示质点系O，P，Q，R未受应变的位置，虚线表示它们应变后的位置，向量OO′称为O点的位移。如果给出了一地块中每一点的位移，那末该地块的应变状态就完全清楚了。在应变分析中，都是假定已知位移，来详细研究应变的性质及其随方向的变化。应当指出，这里所说的应变，是指地块内各质点相对构形的变化；如果像刚体那样，位移只是平移和旋转，就不存在应变。应变有两种量度：一是一条线的长度变化，二是两条线（或一条线和一平面）之间的角度变化，分别称为线应变和切（剪）应变。

1、线应变

设是两相邻点O和P之间的距离，是应变后的相应点O′和P′之间的距离，则线应变定义为线应变的符号为正（伸张）表示张应变的符号为负（压缩）表示压应变

应变的度量2、剪应变变形前相互垂直的两条直线，变形后其夹角偏离直角的量称为角剪切应变或简称角剪应变。其正切称为剪（切）应变

物体内各点的应变特征相同的应变称为均匀应变。其特征是：应变前的直线在应变后仍然是直线，一组平行线应变后仍然互相平行。物体内各点的应变特征发生变化的应变称为非均匀应变。其特征是：与均匀应变相反，直线经应变后不再是直线，而成了曲线或折线，平行线应变后不再互相平行。非均匀应变又可分成连续应变（变形）和不连续应变（变形）：如果物体内从一点到另一点的应变状态是逐渐改变的，则称为连续应变（变形）；如果是突然改变的，则应变是不连续的，称为不连续应变（变形）。均匀应变与非均匀应变

非均匀变形连续变形

无限小应变分析

定义的和是如此之小，以至它们的平方与乘积都可以忽视

二维无限小应变按无限小应变假设，视为无限小，则上式趋向一个极限同样，可以导出一点在y轴方向的线应变

如前图所示，线段PS和PQ原来是垂直的，∠QPS=90°，形变后角度减小了，这两线段交角的变化（在此情况下也是两轴交角的变化）的正切，就是剪切应变，以或表示，故

同样，可以导出已知，和，可按下式求出任意方位角上的线应变(Jaeger):第1剪应变率：代表形变中东西向伸长和南北向压缩的纯剪切部分，也可以认为是一个走向为N45°W的垂直面上的右旋剪切，或者是一个走向为N45°E的垂直面上的左旋剪切。第2剪应变率

：代表形变中北东-南西向伸长和北西-南东向压缩的纯剪切部分，也可以认为是一个走向为东西的垂直面上的右旋剪切，或者是一个走向为南北的垂直面上的左旋剪切。

当第1剪应变率为正时，表示地块受到东西向伸长、南北向压缩的形变；为负时则相反。当第2剪应变率为正时，表示地块受到北东—南西向伸长、北西—南东向压缩的形变；为负时则相反。

3，面膨胀

矩形PQRS的面积为

形变后的平行四边形PQ′R′S′的面积为

4，刚体旋转角

如图，PE为直角QPS的平分线；此直角形变后成为∠Q′PS′，角平分线PE形变后旋转到PE′的方向，所旋转的角度称为刚体旋转角

Q:刚体旋转角是否引起点的相对位移发生变化？

最大最小主应变

若平面坐标系的y轴指北，则，和分别表示一点上东西方向和南北方向的伸缩率（线应变）以及这两方向之间的角度的变化（切应变），这是一组应变量。就任一地面点来说，在方位角为的任一方向以及与其垂直的方向上，都有一组应变量，和。按弹性力学理论，在这许许多多成对的方向中，存在着一对互相垂直的特殊方向，它们的线应变分别达到最大值和最小值，称为主应变，按下式计算:二维应变张量（具体推导）根据弹性力学理论，已知一点的应变张量,则在该点沿方向的线应变为

另有方向与重直,则

、

间的剪应变为

如果与

x轴正向、y

轴正向的夹角分别为和即二维应变张量则可得是否存在某个方向使得线应变取得极值？根据线性代数理论知道，这实际上可以转化为求实对称矩阵

的特征值问题，即线应变的极值

与极值方向满足下列方程

Q:求极值的另一种方法！据此可得到的特征多项式

主应变的计算公式为

求地壳主应变的图解法圆的方程

最大剪切应变

取主轴为坐标轴，则主应变和可以表示为这一方程称为应变圆锥曲线。若和同符号，此曲线为椭圆；若两者反符号，则为双曲线；若，则为等轴双曲线。

应变椭圆

最大和最小应变，分别是应变椭圆的长半轴和短半轴,长轴的方位角按下式计算

三维应变张量三维应变张量应变二次曲面，它的三轴是主应变轴，主轴方向上的线应变是主应变体膨胀三维应变张量利用三维应变张量6个应变分量可以对地壳应变作全面的描述，提供更有地球物理意义的信息！应变场的图示：应变场通常采用面应变等直线、最大剪应变等直线或（以及）主应变矢量图等来表示。应变场的图示面应变等值线图

非连续变形分析最大剪应变等值线图

非连续变形分析

有限元模型计算的中国大陆主应变场

主应变

非连续变形分析StrainRateofBlocks

区域地壳运动应变分析1、应变分析中所用的两种基本数据2、应变分析方法3、有限单元应变分析法4、地形变资料求解应变值的归化

应变分析中所用的两种基本数据

(1)新、旧测量的原始观测资料，(2)根据新、旧测量结果的比较得出的位移场。两者优缺点利用原始观测资料时，要求新、旧测量的网形和观测量都相同，因而其适用性受到一些限制；其优点是，不依赖其他的观测量，避免了监测网平差中因基准点设定不当等原因带来的影响。

利用位移场时，由于网中各点的位移向量是根据新、旧平差结果的坐标之差得出的，为了使位移场能反映实际地壳应变，把残余的误差影响化为最小，必须采取特殊的平差方法，例如自由网平差和拟稳平差。其优点是，所有的观测量都可用于应变分析，并不要求新、旧测量中的观测量都相同，只是要求它们属于同一大地基准。此外，在求定位移场的平差过程中，可以滤掉观测数据的粗差和估计观测质量；而且由各点位移向量的图解，可以看出各点位移的趋势。目前侧重于利用位移场。

应变分析方法均匀应变场的位移分析法有限单元法（FEM）样条函数拟合法不连续变形分析法（DDA）数值流形方法（FEM+DDA）均匀应变场位移分析法设质点P（，）无限接近的另一点M（,）经变形后其位移分量的关系为：可推得位移与应变的关系为：其实用公式为：Strainaccumulationandrotationratemodel(Jaeger,1964)

应变累积和旋转率模型RigidBodyTranslationVelocityofBlocks

StrainRateofBlocks

RotationRateofBlocks采用有限单元应变分析法，就是把一个大区域分割成一些有限的小区。三角网和三边网的基本图形是三角形，把它作为有限单元比较方便。分别对各三角形进行应变分析，就可以得到接近于真实的地壳应变情况。有限单元应变分析法在应用三角形直接计算应变时，根据公式我们可以直接看到计算的结果与三角形的大小有明显关系。另外，统计结果也