第3章体波与射线理论

2023/2/212023/2/222023/2/232023/2/244月7日-9日，尼泊尔地理学会在加德满都举行第七届尼泊尔地理学大会。会上，一份最新的研究向世界各地的科学家做了陈述：在尼泊尔全境中，加德满都往西与博克拉之间地区是该国发生地震风险最高的地方。这份研究目前已提交给国际顶级学术期刊《自然》，正在审核之中。“如果要发生地震，就会是在这个地方。”昨日，该研究参与者、新加坡南洋理工大学教授保罗·塔珀尼尔对新京报记者说。

4月25日，尼泊尔发生8.1级地震，就在预料的地方。地震区域被预测“最可能出大震”在该研究之前，塔珀尼尔和他的科学家们曾多次发表研究论文，评估喜马拉雅地震带再次发生大震的可能性。《自然》杂志也撰文称，一场强震可能在喜马拉雅地区随时发生。在尼泊尔8.1级地震附近地区连续发生2次7级地震2023/2/25根据塔珀尼尔和波林格等人最新的研究，他们预料中的强震会出现在加德满都往西与博克拉之间地区。“这里是尼泊尔最危险的地方，因为过去600多年没有发生大地震，在尼泊尔所有可能发生地震的地方，这里是最可能出现大震的。”塔珀尼尔说，此次地震就发生在当时预测的地区，只不过，破裂带在加德满都往西150公里之外终止了，而他们预料中的地震破裂可能还会更往西一点。除此之外，研究者预料中的地震还可能更大一些，“没有我们想象的那么大，我们现在不知道地下的能量是否大部分被释放出来。”塔珀尼尔说，如果没有的话，或许在加德满都以西还会再发生一次大震。尼泊尔地震，是科学家们预料之中的吗？2023/2/26预料预测“这完全不是预测。我们没法预测地震。”塔珀尼尔说，预测地震意味着科学家知道将在哪一天或哪一年会发生大震，而他们所做的工作，只是判断可能在什么地方发生地震，是评估一个地方的地震危险性。他说，在汶川地震后，西藏一年中发生了7次地震，很让科学家困惑。“这些大震之间，肯定有个什么机制连着，是需要地震学家去了解的，某一天我们会知道，但还不是现在。这是非常复杂的问题，地震仪纪录只有百年历史，相对构造数百万年活动历史来说实在是太短了，我们必须保持谨慎。”在他看来，这次地震并不比他们“意料”的来得早，因为他们“意料中的地震”是在数十年的范畴中，尼泊尔这块地方会很危险，此次发生地震的时间也属于其预期的大体范围中，“但具体哪天发生我们没法知道。”2023/2/272023/2/282023/2/29第三章

体波与射线理论3.1程函方程和费马原理

3.1.1程函方程

3.1.2费马原理3.2射线方程（Rayequation）3.3球对称介质中的地震射线

3.3.1球对称介质中的Snell定律

3.3.2本多夫定律（Benndorf’srelation）

3.3.3走时曲线

3.3.4射线的曲率

3.3.5地球内部速度变化对射线形状和走时曲线的影响3.4水平分层介质中的走时方程

3.4.1射线走时方程

3.4.2单层水平地壳模型中地震波走时曲线

3.4.3多层地壳模型中的地震震相与走时曲线3.5地震波能量在边界上的分配

3.5.1平面波在自由界面上的反射

3.5.2平面波在界面上反射和折射

2023/2/210地震波作为一种波动也可以用射线来描述。地震波在什么情况下必须解具有边界条件的波动方程，什么情况下把它过渡到射线理论，用简单的几何射线来研究地震波的传播。我们首先要解决的问题是什么时候把波动的描述过渡到射线的描述。要实现波动理论向射线理论的过渡，首先要阐明在什么条件下波动地震学能够向几何地震学过渡，即几何地震学在何种条件下能反映真实波动情况。3.1.1程函方程（eikonalequation）2023/2/211非均匀介质三维空间波动方程可写成：已知上述方程平面波的一个解：式中，r距离，j0为振幅。程函方程（eikonalequation）2023/2/212现在看一种特殊的状态：（或常数）追踪这个等相位面在空间的传播。程函方程（eikonalequation）该式表明当波在介质中传播时，有一系列的时间tk满足上式，即随着时间t的增加，r/c也必须相应增加，波动随时间往外传播。具有零相位的等相位面在空间中随波的传播而连续分布，它也是空间的函数。则令：t称为特性函数，时间场。每一个等相位面给它一个描述叫t(x,y,z）,它随时间不同而变化。2023/2/213于是波动方程的解可写成：代入波动方程：方程右边：方程左边：程函方程（eikonalequation）2023/2/214故：根据实部和实部相等，虚部和虚部相等，有：程函方程（eikonalequation）2023/2/215实部虚部则：因为即：

描述势函数在空间的变化率。如果不涉及到源和聚焦那一点，它的变化不是很大。所以：当l=cT较小而▽2j0不是很大时，有：程函方程（eikonalequation）2023/2/216或写为：

描述一个面随空间的变化率和波传播速度的联系。由梯度公式：故有：这就是程函方程、特性函数方程式或哈密顿方程式，又称时间场方程。程函方程（eikonalequation）2023/2/217描述一个面在解析几何上可以用面的法线。只要知道法线随时间在空间的运动,完全可以表述面随时间在空间变化。写成向量形式：其中为沿波传播方向的单位向量。程函方程（eikonalequation）2023/2/218程函方程具有重要的物理意义：如果介质的参数c(x,y,z)已知，利用边界条件或初始条件，就可求得时间场t(x,y,z)

，从而可知任意时刻波前在空间的位置，也就求得地震波传播的全部情况，而用不着求波动方程的解。因此，它是几何地震学中最基本的公式。但我们要记住，从波动地震学过渡到几何地震学的两个根本条件：（1）l较小，或趋于零，即只对高频适用；（2）▽2j0不是很大，即不能趋于无限。意味着不是源也不是聚焦点。程函方程（eikonalequation）2023/2/219程函方程及射线方程仅在高频条件下近似成立，因此我们应该记住，地震学中的射线理论只是高频近似理论，今后的学习或研究中可能会遇到应用射线理论所推导的结论与实际观测不符的情况，一个很大的可能性是遇到的具体问题不满足高频近似条件。那么一个新的问题是，什么样的问题满足高频近似，可以用射线理论呢？这与应用的地震资料的频率范围有关，也与具体问题对解的精度要求有关。一般认为，当应用的地震波资料的最大波长较需要考虑的介质空间不均匀尺度小1个数量级，可以用高频近似。程函方程（eikonalequation）返回2023/2/220矢量形式程函方程为：其中为沿波传播方向的单位向量。按上式计算沿任意方向的线积分，如从A点到B的传播时间：3.1.2费马原理(Fermat’sprinciple)这表明沿梯度的方向射线传播的时间总是最小的。2023/2/221费马原理：射线在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。费马原理是从射线角度描述波传播特点的。它指出，地震波沿射线传播的时间和沿其它任何路径传播的时间比较为最小，或者说波沿所花时间为最小的路径传播。根据这个原理可以确定地震波在已知传播速度的介质中的射线形状，在非均匀介质中，射线路径不再是直线，而是与波前面垂直的曲线。费马原理(Fermat’sprinciple)2023/2/222费马原理(Fermat’sprinciple)2023/2/223费马原理(Fermat’sprinciple)如图，设t为扰动从A点沿着一条路径传播到A’所用的时间，扰动的传播速度v（x1,x2,x3）,该路径的弧长为l。利用物理上的变分法理解费马原理由费马原理可表示为：设射线参数方程：2023/2/224费马原理(Fermat’sprinciple)如果用

表示

，则射线的弧长可以表示为：则走时表示为：其中，和分别是A和A’点的相应的值。2023/2/225费马原理要求积分沿射线走时必须是稳定值费马原理(Fermat’sprinciple)即沿相邻路径

必须走时相同，即t的变分dt为零：泛函的变分与函数的微分有相似的概念，不同的是函数的微分dy仅是两点之间函数值的差别；而泛函的变分dy是两个函数之间的差别。由费马原理可知，对于均匀介质，射线为直线,沿射线的走时取极小。故费马原理又称为最小时间原理。2023/2/226总的走时为：xd-xbaABO对于均匀介质，沿射线的走时取极小，射线为直线。利用费马原理推导平界面的Snelllaw？费马原理(Fermat’sprinciple)2023/2/227xd-xbaABO2023/2/228若t(x)取极值，即：费马原理(Fermat’sprinciple)即：费马原理意味着Snell’slaw。xd-xbaABO2023/2/229像光的传播一样，用射线理论求解地震波的传播问题，使问题分析简化。缺点：射线理论中波随时间传播，对振动幅度的描述没有了。随研究的深入，有很多改进的方法。在射线理论上加上振动幅度，变成一部分用射线，一部分用来描述波的强度等，两者柔和在一起，为增加信息量而发展起来的方法。我们只讨论基本的方法。

程函方程和费马原理2023/2/230射线追踪法简介射线追踪是指给定发射点和接收点位置及介质的波速，求从发射点到接收点的射线轨迹及其走时。射线追踪方法作为一种快速有效的波场近似计算方法，对于地震波理论研究具有重要意义。基本原理：Snell的折射理论、Fermat理论和Huygens原理。射线法的主要优点是概念明确，显示直观，运算方便，适应性强，其缺陷是应用有一定限制条件，计算结果在一定程度上是近似的，对于复杂构造进行两点三维射线追踪往往比较麻烦。程函方程和费马原理2023/2/231现行的方法可分为以逐点外推为基础的局部射线追踪法理论，和以整体分析、验算为出发点的全局射线追踪法局部射线追踪法是指由已知点推断出未知点,逐点分析得出路径。理论基础是最短原理，对所有可能出现的路径进行分析对比得出最短者。代表性的方法包括解析法和波前法。解析法是运用有限差分理论和程函方程，通过已知的三个点来外推第四个点，依次迭代就可以得到路径。波前法是运用Huygens理论，逐点计算距离选择最短者，推测路径。射线追踪法简介程函方程和费马原理2023/2/232全局射线追踪法是指综合运用Snell理论、Fermat理论和Huygens理论，在假设了一条标准射线前提下，对已知曲线进行整体分析，并修正得出路径和走时。四方网格打靶法是假设一个角度，运用Snell理论做出一条射线。但可能无法到达目标接收点，不断改变初始角度和介质速度进行试算，直到达到目标点，此即为所要射线。弯曲法是运用波在介质中的曲线传播，经过整体的计算和边值的运用，解方程得出路径。射线追踪法简介程函方程和费马原理2023/2/233逐步迭代射线追踪法在假设一条标准射线的前提下，运用Snell理论、Fermat理论进行不断修正，得到走时和路径。如图所示，首先求出连接S和R之间的直线与每一层的交点，注意在整条射线路径上，任意连续三点间均满足折射定律。这样，固定周边的两点，推算出中间点。这样不断修正就可以得到最终的路径。根据fermat原理，波沿射线传播的时间最短，求出图中假设的P和实际的P的偏移量，反复迭代就可以求出路径。射线追踪法简介返回2023/2/2343.2射线方程（Rayequation）物理上的变分法一般让泛函的自变量（函数）有小的变动，但两个端点不动，然后要求泛函的变分为零，从而求得运动方程。我们用同样的方法求射线方程。式中的变分符号和积分符号互换，得：式中

可以写成：(微分和变分互换)（1）2023/2/235所以（1）式第二项为：射线方程（Rayequation）分部积分，得：因为两端点是固定的，所以：（2）将（2）代入（1），得：2023/2/236射线方程（Rayequation）上式对任意的

均成立，所以：这就是射线所满足的方程，叫做欧拉方程。返回2023/2/237把平界面上的研究结果推广到球对称的地球模型上，这时的snell定律有什么样的变化？如图所示的同心球层组成的球对称介质中，射线与两个界面的交点分别为A1，A2，在速度v1的球层中，射线为A0A1，在速度v2的球层中，射线为A1A2。根据斯内尔折射定律，有：分层球对称地球模型中的射线路径

3.3.1球对称介质中的Snelllaw3.3球对称介质中的地震射线2023/2/238在DOA1A2中，由正弦定理:由以上两式得：想象，令层无限增加，层的厚度无限减小，就过渡到速度连续变化的情形,射线由折线变成一条光滑的曲线。在射线上的任一点都有：Snelllaw2023/2/239（常数）这就是球对称介质的射线方程，也称为球对称介质中的折射定律（Snell’slaw）。式中，r0为地球半径，i0,v0分别为地表处入射角和波速，ii是射线与法线（半径）的夹角，p叫射线参数，沿射线为常数。若令：则射线参数p表示为：当半径和地面上的速度给定后，射线参数只与射线对地面的入射角有关。不同的p值对应不同的入射角，或者说，对应不同形状的射线。

snell定律使射线是弯曲的。

Snelllaw2023/2/240速度只随深度变化情形下的射线轨迹。Snelllaw2023/2/241Snelllaw返回2023/2/2423.3.2本多夫定律（Benndorf’srelation）球对称模型中要研究地震射线用的仍然是snell定律，可以用参数p描述一条射线。实际工作中我们能得到的是什么？地震图！由地震图得走时曲线！能否通过得到的走时曲线推断某一台站记录到的某一地震射线的射线参数p？。本多夫定律做的是通过实测数据得到某一个台站记录到的某一个震相对应地震射线的射线参数p。2023/2/243实际上用的是高等数学中的微元分析的方法。选两个相邻（靠的足够近）的射线，分析：波阵面AC垂直于EA和EB，实际上是不可能的，但在微元分析法中是可以的。C到B的传播需要时间,从地表看相当于从A到B传播。自震源E发出的任意两条相邻射线EA和EB，AC为它们的波阵面，DABC可视为直角三角形。EABCO本多夫定律（Benndorf’srelation）2023/2/244两条射线的长度相差为由走时曲线的斜率可求出地震射线的射线参数，射线参数与走时曲线的这个关系就是本多夫定律.波沿传播时间，则：由上式知：另外，地表视速度为：EABCO表示地震波的真速度与视速度之间的关系本多夫定律（Benndorf’srelation）2023/2/245只要知道对应某个震相的走时曲线，在走时曲线对应的震中距上，即对应某个台站上，求走时曲线的斜率，得到射线参数p。意义：本多夫定律表示相邻射线之间的关系，把实测数据和抽象的射线参数联系起来了。不同的台站得到不同的斜率，不同的p，从而把射线区分开。本多夫定律（Benndorf’srelation）返回2023/2/2463.3.3走时曲线（traveltimecurve）问题：不同的射线有不同的射线参数p，同一射线的射线参数是一样的。但射线经过球内界面，有反射和折射，满足snell定律，这种情况下没办法单靠射线参数区分哪个是反射射线哪个是折射射线。如何来区分反射和折射射线？震中距和走时之间的关系把它们区别开。研究地球内部的速度结构，基本的方法之一：构造一个模型，利用波射线理论，计算理论的走时曲线；实际的走时曲线可由地表观测得到，然后理论走时曲线与实际观测走时曲线进行对比，正演的方法解决反演的问题。对球对称的问题，如何建立走时曲线的理论公式？2023/2/247速度随深度变化的横向均匀地球模型(IASPEI91)中的射线传播则有式中其中l是射线传播的路径走时曲线2023/2/248这里正负对应顶点的两边，于是有由及射线方程则得这就是以p为参数的时距方程组r1R走时曲线2023/2/249若源在表面，射线对称,则：若源有一定深度h，则积分为：走时曲线2023/2/250由时距方程组还可进一步推导即定义这是球对称介质中的t(p)表达式。走时曲线方程或时距方程。走时曲线返回2023/2/2513.3.4射线的曲率怎么描述射线的形状？射线曲率！（1）顶点从震源E发出的射线到达S点，据球对称介质中的射线定律：时此时射线方程为：

则L点为射线的顶点（最低或最高点）LMrLRe0i0ES2023/2/252（2）射线的曲率设FJ是一条从震源F到地表J点地震射线，L是射线的最低点。

射线上p点的坐标：p(r,q)。PM是过射线点P的切线。PN过射线点P的法线。M和N分别是交点。射线的曲率2023/2/253s为弧长PL；r为曲率半径。射线的曲率为:由图知则：即射线的曲率变为：最终要讨论曲率随速度、深度或随半径的变化即r和描述的射线参数如i，p，v等的关系。射线的曲率2023/2/254代入射线曲率方程，得：射线的曲率2023/2/255对snell定律进行微分处理：给定的射线，r,i,v的组合不变，射线的曲率得到：代入射线曲率方程，得：2023/2/256这就是射线曲率方程。式中v=v(r)为波的传播速度，dv/dr为速度的变化率。dv/dr愈大，曲率半径r愈小，射线愈弯曲。p决定了研究的是哪一条射线，速度的变化率决定这条地震射线在地球内部的形状。知道了速度随深度的变化，就可以了解不同的射线在地球内部是怎么传播的，它决定了射线传播的形状问题。射线的曲率②若速度随深度的增加而增加即，或者说速度随r的减小而增加即，则，射线凸向球心并有最低点。2023/2/257讨论：

常数，则射线是一条直线射线的曲率2023/2/258③若速度随深度的增加而减小，或，则，射线凸向地表。这时有三种情况：

第一种情:此时即射线有最高点.

射线的曲率2023/2/259此时，

此时射线方程为这是什么样的地震射线？或第二种情况:

射线的曲率即2023/2/260当射线的入射角整理得：射线的曲率其中常数积分得：这里b为积分常数。2023/2/261其中r0是地球半径，这是螺旋线方程。结果表明，在这种情况下，地震射线成螺旋线卷入地心。

当射线的入射角即射线沿地表掠射时，射线为圆周线射线的曲率于是得：2023/2/262第三种情况:

此时曲率半径总是小于情况下的曲率半径，则射线更快地卷入地心。速度的分布影响射线传播的形态。这实际上就是snell定律。射线的曲率返回2023/2/263以上讨论了速度分布影响了射线的形状，并推出了理论的走时曲线方程。我们想解决的问题是什么？通过地表得到的信息，推断地下的结构。我们能得到的信息是什么？时距曲线。方法是从地表得到实测的走时曲线；通过假定地下的结构，根据snell定律和时距方程得到理论的走时曲线；理论与实测走时曲线对比。正演的方法解决反演的问题。速度分布对射线形状有影响，最终表现为对走时曲线有影响。利用不等式继续作进一步的讨论：3.3.5地球内部速度变化对射线形状和走时曲线的影响2023/2/264（1）速度连续变化的情况

速度随深度的增加而增加，射线族向上弯曲而出射到地面；

速度为常数，射线为直线；符合不等式时，射线曲率小于地表曲率，能出射到地面，不符合不等式时，射线螺旋形地弯向地心。实际上，地球内部的地震波速度总体上是随深度增加而增加的。但地球内部还存在一些速度异常层及间断面，它们对射线的几何形状及走时曲线都有影响。地球内部速度变化对射线形状和走时曲线的影响

速度随深度而减小时，射线弯向球心。2023/2/265（2）高速层与高速界面a.高速厚层（跳跃大)若在地球内部r1至r2的范围内，速度随深度的增加比这个范围上下的介质中的速度都快，即速度的变化率的值相对地大，此层称为高速层。即：①高速层②高速度间断面地球内部速度变化对射线形状和走时曲线的影响2023/2/266(c)高速层射线特征:通过高速层的射线弯曲得厉害（曲率比较大），在地球内部出现射线交叉现象，穿透较深的射线反而在穿透较浅的射线之间出射，相应的走时曲线出现回折（圆环）现象。EB与高速层的顶面相切,E-B走时顺进;EC与高速层的底面相切,B-C走时逆进，随入射角减小，震中距反而缩小，即穿透较深的射线反在近距离处出射，相应走时曲线出现回折现象;ED一部分射线进入r<r2的介质,C-D又走时顺进。地球内部速度变化对射线形状和走时曲线的影响高速层2023/2/267b.高速层层薄且速度的梯度跳跃不大A点相应于与高速层上界面相切的射线之出射点；进入高速薄层的射线曲率比FA射线的曲率大，曲率半径小，射线回折，在点附近辐射强度高，这就是地震的“聚焦”现象。走时曲线在A点出现角点（拐点）。A点之后的曲线的斜率小意味着速度快。走时曲线出现角点说明下面存在高速的区域。高速层因为速度连续，无反射震相和首波，只有直达波和折射波。厚层和薄层没有本质的区别。地球内部速度变化对射线形状和走时曲线的影响高速层2023/2/268①高速层②高速度间断面

当r1=r2

，且，此界面称为高速界面或高速度间断面。速度不连续的界面，存在反射震相，存在首波。高速间断面上因为速度不连续，出现直达波、反射波、首波和折射波。走时曲线出现“打结”，“分叉”，若观测到的走时曲线有这类现象，则应判断出高速层的存在。地球内部速度变化对射线形状和走时曲线的影响高速界面2023/2/269总结：若观测到的走时曲线出现“打结”，“分叉”这类现象，则应判断出高速层的存在。莫霍面是一个高速间断面，界面上的P波速度为6.3km/s，界面下的速度为8.2km/s。当波射线遇到该界面时，会出现曲率加大的现象，使走时曲线出现回折。古登堡面是地幔和地核间断面，外核是液态，不能传播横波，在地幔的SV波传到外核变成P波，外核的P波速度比地幔的SV波速度快，这时相当于高速间断面。地球内部速度变化对射线形状和走时曲线的影响高速层高速度间断面2023/2/270（3）低速层与低速界面若在地球内部r1至r2的范围内，速度随深度的增加而减小，而在此范围之外速度随深度增加而增加。那么，在r1至r2的层称为低速层，即：①低速层②低速界面地球内部速度变化对射线形状和走时曲线的影响2023/2/271由于波速随深度而增加，及球体介质的曲率，远震波射线路径总体上是弯曲的、凹向地面。但当射线穿过地球内部的低速层时，低速层内的射线段会反向偏转，出现上凸。地球内部速度变化对射线形状和走时曲线的影响低速层2023/2/272在低速层中，射线不满足不等式。经低速层的射线不会向上弯曲而是弯向地心，但穿过低速层后，由于地层中的速度又随深度增加而增加，射线又能向上弯曲，最终出射到地面。B点的震中距可以大于180度。然后随入射角的减小，折射线变的越来越平坦，弯曲的不剧烈。射线出现影区或盲区，相应的走时曲线出现间断。地球内部速度变化对射线形状和走时曲线的影响低速层2023/2/273①低速层②低速界面

当r1=r2

，且，此界面称为低速界面或低速度间断面。低速界面速度不连续有反射波，有直达波，有折射波。C-D走时逆进，D-E走时顺进。古登堡面-核幔界面是一个低速间断面，界面上的P波速度为13.6km/s，界面下的速度为8.0km/s，当波射线遇到该界面时，形成P波的影区。(b)地球内部速度变化对射线形状和走时曲线的影响低速界面2023/2/274低速层：射线出现影区或盲区，相应的走时曲线出现间断。高速层：走时曲线出现“打结”，“分叉”这类现象地球内部速度变化对射线形状和走时曲线的影响高速层低速层三次往返2023/2/275不同的典型速度结构模型及相应的射线轨迹、走时曲线、X-p曲线和t-p曲线。地球内部速度变化对射线形状和走时曲线的影响2023/2/276总结：以上是速度分布与射线之间的关系，射线的形状最终决定走时曲线有不同的表现。高速层和高速界面都会出现走时曲线斜率的变化。低速层和低速界面都会出现走时间断，地表上表现为有影区。这可以帮助对地球有定性的了解。地球内部速度变化对射线形状和走时曲线的影响返回2023/2/2773.4水平分层介质中的走时方程3.4.1射线走时方程在近震范围内，可以忽略地球的曲率。已知介质的速度随深度增加而增加如图所示，深度为x30震源所辐射的一条初始入射角为i0的射线，并设该射线所能穿透的地球最深的深度为z，求射线走时方程2023/2/278射线走时方程由斯内尔定律：射线走时方程对地表震源，则有：2023/2/279+由802023/2/2式中称为慢度,Z(p)是射线顶点的深度。可进一步推导：称为垂直慢度。射线走时方程时距方程2023/2/281射线走时方程一个更巧妙的函数是以下组合：这就是t(p)函数，它是射线参数

的单值函数,可简化对走时曲线的分析。t(p)曲线的斜率为-X,因为，t(p)

曲线总是下降或单调下降，即使出现三次往返。返回2023/2/2823.4.2单层水平地壳模型中地震波走时曲线地球半径6371km，在地表几十公里，上百公里，可以把地球表面看成是平的。因为考虑的地震射线比较近，它涉及的深度有限，只能研究地球浅部的构造。若要考虑深部的、全球的构造，必须考虑波传播的比较远，那时必须考虑地球的曲率的影响。近震是限制，结果只能讨论浅部的构造，优点是模型简单，相对容易理解。地壳看做一个平行层，下面是一个半无限空间的模型。近震射线和走时理论2023/2/283地震发生后产生不同的地震波，如直达波、反射法等，这些在地震图上显示的性质不同或传播路径不同的地震波称为震相。近震射线和走时理论2023/2/2841.首波首波是波在界面上的入射角达到全反射时产生的地震波。它是近震的主要体波震相之一。为临界角入射角等于临界角时，折射波以速度v2沿界面AB行进。由于界面上的位移的连续性，根据惠更斯原理，此折射波所引起的界面质点的振动，又可作为波源，此波源产生的波向层内传播。图中GS便是此波源产生的某一条射线，EFGS射线所代表的波就是首波。近震射线和走时理论首波2023/2/285首波的特征：①首波的射线为折线（而非直线）；②当入射角小于临界角时不出现首波，即震中附近为首波盲区；③首波的一段沿界面以速度v2行进，因而经一定时间后，首波超前于直达波而先行到达地震台。首波的形成惠更斯原理近震射线和走时理论首波特征2023/2/2862.近震地震波理论走时方程只有观测结果是不够的，我们要知道理论走时与距离的关系。推导单层地壳介质的地震波走时理论。(1)直达波的走时方程这是直达波走时方程，走时曲线为双曲线。近震射线和走时理论直达波2023/2/287T轴上的截距包含震源深度的信息。时时走时曲线是通过原点的直线，直达波走时曲线的渐近线，斜率为

直达P波比S波先到达地震台；两波的走时差随震中距或震源深度的加大而变大

近震射线和走时理论直达波2023/2/288（2）反射波的走时方程c反射波的走时曲线为双曲线。与直达波且具有相同的渐近线截距反射波走时曲线的渐近线，近震射线和走时理论反射波2023/2/289(3)首波的走时方程且走时方程近震射线和走时理论首波2023/2/290b走时曲线是直线，斜率为截距：时它是首波出现的最小距离首波不出现△0一般为几十公里至一百公里左右近震射线和走时理论首波2023/2/291对于两层地壳模型，首波P*的走时方程为单层模型中Pn的走时方程，两层模型中Pn的走时方程：此走时曲线斜率为上述三类波的综合走时曲线：近震射线和走时理论首波2023/2/292

三类波的综合走时曲线近震射线和走时理论2023/2/293实际观测中c界面上的首波Pb不如直达波Pg和moho界面上的首波Pn那么容易识别。主要原因（1）c界面不是全球性的，因此某些区域观测不到c界面上的相关震相。（2）有些区域由于虽然存在c界面，但由于下地壳较薄，以至于c界面上的首波不能首先到达而被其他震相的波所覆盖。这种情况下容易将实际存在两层地壳结构模型误认为是单层地壳模型。2023/2/2943.走时曲线的应用识别震相之后可以得到它的走时曲线，从而可以做更多的研究。时距关系——走时和距离的关系，有曲线的形式也有表格的形式。J-B走时表给出各种震相，有近震震相也有远震震相，不同的震相在不同震中距的台站上到达的时间，从几秒到几分钟，甚至几十分钟。J-B根据球对称基本模型做出的理论走时表。知道震源深度、震中距，我们可以查表得到对应某震相的理论走时是多少。从而了解震相大体在什么位置，到那个位置前后识别震相。（1）走时曲线是识别震相的重要依据识别震相才能画出走时曲线，反过来又帮助识别震相，反复探索。2023/2/295什么叫新震相？以前的结构里得不到的震相，在地震图上又发现有扰动出现在原来没有震相的那个位置，就要找出现的可能原因。所谓发现新震相？实际上是通过对新震相的解释，构建一些模型，从而发现新的结构。走时曲线的应用在地震图上发现新震相ScSp,比ScS早到几秒，怎么解释？必须有一个与标准地球不同的结构。2023/2/296走时曲线的应用分析认为可能是北美板块向欧亚大陆板块下插，是这个下插板块的影响。引入这个板块就能解释这个问题。在该板块上发生了偏振的变化即S-P波。2023/2/297（2）走时曲线是确定震源基本参数的重要工具。走时曲线是我们研究的基础，它是可以确定震源的基本参数。从地震记录可以得到P和S波的到时差，可推得震中距；三台的交点得震源的位置，多用于地震速报。走时曲线的应用2023/2/298（3）走时曲线可以计算视速度和出射角（本多夫定律）。i0：到达地面的入射角，由于球对称性，即是表面源的射线的离源角。走时曲线的应用qt2023/2/299（4）研究地球构造识别震相，制作走时曲线。由实测走时曲线反演地壳构造。利用地震学的方法可以处理很多的问题。高速公路的检测，飞机场跑道质量检测。原理：地震波遇到裂隙，遇到不连续面会发生反射，对反射信号进行处理可以得到下面浇注的水泥是否有裂隙或空洞。建筑物的桩基检测。装修房子墙上打洞，虽然用的是超声波，但与地震波的处理方式类似。返回2023/2/21003.4.3多层地壳模型中的地震震相与走时曲线实际地壳结构可能有多个分层。对多个水平分层介质，假设震源在地表。应该有式中X是震中距。2023/2/2101经常在实际中应用的模型—两层地壳模型

这种情形下，大于一定震中距的地震台能记录到P波和S波直达波震相、反射波震相、康拉德面上的首波和Moho面的首波。

这种情形在实际中很少见到。首波只存在于壳幔界面上，但这种情形下亦容易被误认为是单层模型。返回2023/2/21023.5地震波能量在边界上的分配当波传播到自由面（地表面）或介质内部的速度间断面时，由于地震波速的突然变化，波在界面上将发生反射或折射，还可能发生波的转换。现在讨论地震波入射到界面后，产生的反射波和折射波的能量分配问题讨论平面波在自由表面（半无限空间）的传播特征，在数学上是求适合于边界条件的波动方程的解，同时讨论它的物理意义。这是了解地震观测条件所必备基础知识。波动场分为无旋场和无散场，无散场对应的是S波，它是在一个面内的偏振波。我们把面上的偏振分解到两条线上去，形成两条线的偏振。S波的位移分解为：§3.5.1平面波在自由表面的反射2023/2/2103波场总位移：2023/2/2104位移的平面问题自由表面的边界条件及自然边界条件反射系数及其物理意义由地动记录推算入射波的特点偏振交换、Rayleigh面波和类全反射主要内容返回2023/2/2105位移的平面问题分别讨论垂直面（入射面）内的位移及水平面内的位移。（1）讨论垂直平面内的位移。x3x1PPSVx3x1PSVSV2023/2/2106P波位移：S波位移：则在入射面内位移：即入射面内弹性波场位移:位移的平面问题而其中的位函数和满足的波动方程：2023/2/2107SH波可以和P、SV波分开单独处理。SH的位移在水平面内，在水平面内单独讨论SH波的位移v

。其满足的波动方程为：（2）水平面内的位移返回位移的平面问题2023/2/2108

另外，在无穷远处，所求函数及v必须为零或具有限值。这种限制是很自然的，故称为自然边界条件。2.自由表面的边界条件及自然边界条件在自由表面上没有任何约束，可以自由变形，正应力与切应力均为零，即在z=0的平面上有：返回2023/2/21093、反射系数及其物理意义定解问题，只求界面上的反射系数，与初始条件无关。先讨论P和SV波问题解法1：根据第二章已求得的波动方程的解，代入边界条件求位移场。解法2：利用问题的物理性质，猜出其中若干未知量，使问题大大简化，再由方程和边条件定出其余未知量。(“半逆解法”)问题：若已知入射波的振幅、频率、入射角和传播速度；求满足波动方程和边界条件的总位移场。2023/2/2110对于P和SV波，设波动方程的解具有分离变量的形式，即：

，c为波的水平视速度，式中（1）给出定解形式将代入位函数满足的波动方程，得：即：（2）解满足波动方程实际问题转化为考察是否有以上形式解。M，G可能是实数或虚数，由c和的关系而定。反射系数及其物理意义解法22023/2/2111则：即入射波和反射波沿分界面视速度相等，这是Snell定律决定的反射系数及其物理意义解法2对于平面波，必须有

此时：

M，G均为纯虚数；则iP,iSV

为实数。2023/2/2112

分别为入射及反射P波振幅，分别是入射及反射SV波振幅。第一、二式第一项表示入射波，第二项表示反射波。

反射系数及其物理意义解法2用边界条件求出这些振幅系数，从而可确定波动方程的解

2023/2/2113代入自由表面边界条件得：（3）边界条件1)P波的入射到自由表面反射系数及其物理意义解法2这里2023/2/2114或：

反射系数是含有参数c的表达式，当给定一个c值，则反射系数就确定。或者说，若波以某一定的入射角iP入射，则反射系数就确定。位移反射系数：这样由反射系数求出反射波的振幅A2，B2，从而求得位函数及总位移场。反射系数及其物理意义2023/2/21152）当SV波入射到自由表面同理得：或：可看出，当法向入射，无反射P波，A2＝0同样，由反射系数求出反射波的振幅A2，B2，从而求得位函数及总位移场。反射系数及其物理意义2023/2/2116SH波入射只产生反射SH波。设波动方程的解为：它满足自由表面边界条件中的第三式，这表明SH波在自由表面的反射,其反射系数为1,或者说波反射SH波振幅等于入射SH波的振幅，且无相位变化。地表总位移为：即地表总位移是入射波的两倍。

代入得：再讨论SH波入射到自由表面情况以上是单色谐波的情况，非单色谐波利用付氏变换转化为单色谐波的问题。

反射系数及其物理意义返回2023/2/21174.由地动记录推算入射波的特点(1)问题

由波动方程的解，所得的位移场是入射波和反射波叠加的结果,波的叠加不会改变波的到时。叠加主要影响的是振动的幅度。讨论地球内部结构时，一般用到时，叠加对到时是没有影响的。地面上记录到的地震波，近似可看成平面波向半空间的自由界面入射，因此，界面质点的波动不是单纯的入射波，而是(入射波+反射波)。了解其中关系，则可以从实际记录推算入射波特征2023/2/2118(2)入射波传播方向的推断地面总位移矢量与地面之间的夹角称为视出射角

。波的入射射线与地面的夹角称为真出射角e。它与波的入射角互为余角。①视出射角和真出射角的概念②推算公式取P波入射到自由表面的情形。地动记录推算入射波的特点2023/2/2119Snell定律：所以上式也可写成：视出射角和真出射角的关系式视出射角是可测的，这样由地动记录推算出入射波的特点。地动记录推算入射波的特点2023/2/2120(3)入射波振幅的推断：(即位移矢量模之间的关系)P波入射：地动记录推算入射波的特点返回2023/2/21215.偏振交换、Rayleigh

面波和类全反射(1)问题由前己导出反射系数公式:可见,若分子为零,则RPP＝RSS＝0。此时的物理情况是：P波入射只产生反射SV波；SV波入射只产生反射P波。或者说，此时半空间只存在一个简谐平面纵波，和一个简谐平面横波。而一般反射问题在半空间中至少存在三个简谐平面波（纯SH波入射，仅反射SH波）。2023/2/2122偏振交换方程：(2)求解为方便求解，作变换，令：对于已知介质中的，总可以求出则iP和iSV的数值解。A-1又称为射线参数,在平面波情况下,它是整个射线系的参数。重要的是入、反射波系(折射)有共同的水平方向视速度A。这样，利用三角公式将偏振交换方程化为：偏振交换2023/2/2123解三次方程，得三个根：C1，C2和C3

(3)讨论：为讨论方便、直观，假定：B＝1/3，即泊松体，l＝m。因此：解之得：

ip和isv可能是为实数,也可能是复数,这与C有关.偏振交换2023/2/2124当C=C2=3.1547时，当C=C1=4时，①偏振交换

②瑞利面波

当C=C3=0.8453时，入射角及反射角都是复数。复数角度意味着什么？

偏振交换、Rayleigh

面波2023/2/2125iSiS③类全反射：1<C<3（注意，不是偏振交换方程的根！）角度描述波传播的方向。除了角度，一般还可以用波矢量！k是复数时就出现不均匀平面波。那么复数的角度意味着波传播的波矢量出现复数！有了不均匀平面波也就出现了面波。瑞利面波是不均匀平面纵、横波叠加成半无限空间中的弹性波动场。类全反射2023/2/2126其中｜Rss｜＝1，即入、反射波强度相同；相位相差，称为类全反射。SV波入射，产生类全反射的临界角(对于泊松体)约为35.2。入射SV波的反射系数：iSiS类全反射2023/2/2127什么条件下会出现不均匀平面波呢？类全反射返回2023/2/21281.SH波入射的情况2.P,SV波入射的情况§3.5.2平面波在平面上的反射和折射地球内部的化学成分、力学特性是不均匀的，因此形成许多界面。现在讨论在以平面界面相接触的两个半无限弹性介质中波的传播。在数学上是求适合于边界条件的波动方程的解。注意仍然是只求系数，与初始条件无关。半逆解！以P波、SV波和SH波入射，入射面内波场SH波最简单，P波较简单，SV波入射波场最复杂。主要讨论简单的SH平面波在两种介质分界面上的反射和折射问题。返回2023/2/21291.SH波入射的情况平面波在平面上的反射和折射（1）设入射平面SH波的位移求SH波入射平面上的总位移场？入射波位移为：反射波位移为：折射波位移为：2023/2/2130SH波入射的情况平面波在平面上的反射和折射（2）边界条件在界面上位移连续和应力连续即（3）反射和折射系数将位移函数代入边界条件，得：式中，，p射线参数。2023/2/2131SH波入射的情况平面波在平面上的反射和折射令

R、T分别称为位移反射系数和透射系数,则:可以看出：T=R+1

。式中，，p射线参数。2023/2/2132SH波入射的情况平面波在平面上的反射和折射考虑如下三种情况：<1>当入射角i1=0时，垂直入射时，则i2=0，可推出：反射波和折射波的相对强度由界面两侧的介质密度与剪切波速度乘积的相对大小决定，这个乘积称为波传播介质的剪切波阻抗。如果两边介质波阻抗相等，能量全部透射，无反射波。如果下层波阻抗为0，下层将无波动存在,SH波能量全部反射。.2023/2/2133SH波入射的情况平面波在平面上的反射和折射<2>临界入射则这表明反射波与入射波相比，振幅不变，而折射波振幅是入射波振幅的2倍，无论是反射波和折射波都没有相位变化<3>超临界入射则

因为得：即：故为复数。2023/2/2134SH波入射的情况平面波在平面上的反射和折射则：这里，，超临界入射的反射波，发生了相移，相位超前了2ε。且而折射波系数：式中所以2023/2/2135SH波入射的情况平面波在平面上的反射和折射式中，波沿x1方向传播的波数。这说明超临界入射，折射波的振幅和相位都发生变化，变成了不均匀平面波，沿界面传播，振幅随深度指数衰减。返回由折射波位移为：2023/2/2136平面波在平面上的反射和折射2.P、SV波入射的情况i1j1i2j2x1入射P波反射P波折射P波反射S波折射S波(1)入射面内的位函数求P波入射平面上的总位移场？2023/2/2137平面波在平面上的反射和折射2.P、SV波入射的情况i1j1i2j2x1则上层介质的位移表达式为下层介质的位移表达式为2023/2/2138平面波在平面上的反射和折射P波入射的情况（2）边界条件边界面上位移连续：即：，法向应力连续条件即即切向应力连续条件i1j1i2j2x12023/2/2139（3）反射和折射系数平面波在平面上的反射和折射P波入射的情况当P波入射时，共有5个系数，4个振幅系数都可以由入射P波的振幅表示。同理可以推知SV波入射的情况。2023/2/2140界面上正应力和法向位移连续，剪应力为0一般固体与固体边界条件：什么情况下会出现超临界入射出现面波？什么情况下不会出现超临界入射，不会出现不均匀的平面波？关键是从低速介质向高速介质入射。应力连续，位移连续

一般固体与液体边界条件：平面波在平面上的反射和折射2023/2/2141散射矩阵法。P-SV波入射问题所有可能的反、折射系数可以排成矩阵形式，称为散射矩阵。矩阵是由代数来的，线性代数就是解方程组，矩阵就是那些方程组的系数。因为界面多了，出现的波多了，关于这些方程的个数也就多了，构成了很多个方程的方程组，把这些方程组的系数抽出来构成矩阵就形成了所谓的散射矩阵。返回2023/2/2142

麦克斯韦（Maxwell）体（弹滞性体）复习1这表明滞性是麦克斯韦体的主要特征。2023/2/2143复习1开尔芬－沃以特（Kelvin-Voigt）体弹性是开尔芬－沃以特体的主要性质。2023/2/2144复习1若地震波的一个周期内的总能量为E，△E为一个周期的耗能，则定义介质的品质因子Q：Q值越高的波衰减越小，对于P，S波和面波，可以通过测定衰减系数，从而确定其相应的Q值。但用不同的波测量的值常常是不同的。地壳浅部的Q值因地区而异