第七章应力和应变分析

§7-1应力状态概述§7-2二向和三向应力状态的实例§7-3二向应力状态分析——解析法§7-4二向应力状态分析——图解法§7-5三向应力状态§7-8广义胡克定律§7-9复杂应力状态的应变能密度§7-10强度理论概论§7-11四种常用强度理论第七章应力和应变分析§7-1应力状态概述问题的提出:

为什么塑性材料拉伸时会出现滑移线？为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？单向应力状态纯剪切应力状态重要结论不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。

过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态。应力哪一个截面上？

哪一点？指明应力表示——单元体：①dx、dy、dz（微小的正六面体）②单元体某斜截面上的应力就代表了构件内对应点同方位截面上的应力。PABCDB、C——单向受力，τ＝0A——纯剪切，σ＝0D——既有σ，又有τ主平面——单元体的三个相互垂直的面上都无切应力。主应力——主平面上的正应力（也是单元体内各截面上正应力的极值）。通过结构内一点总可找到三个相互垂直的截面皆为主平面。对应的有三个主应力，相应的用、、来表示，它们按代数值的大小顺序排列，即§7-2二向和三向应力状态的实例§7-3二向应力状态分析——解析法平面应力状态的普遍形式：在常见的受力构件中，在两对平面上既有正应力σ又有切应力τ。可将该单元体用平面图形来表示。xxy

yσ、τ正负号规定：σ——拉为正，压为负；τ——以对微单元体内任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负；单元体各面上的已知应力分量、和、，确定任一斜截面上的未知应力分量，从而确定该点处的主应力和主平面。xxy

y规定：截面外法线同向为正；

a绕研究对象顺时针转为正；

逆时针为正。一、任意斜截面上的应力xyOxxy

ynyxyx设：斜截面面积为A，由分离体平衡得：xyOxxy

ynyxyx同理：tn二、极值应力xysxtxysyOmax在剪应力相对的项限内，且偏向于x及y大的一侧。222xyyxminmaxtsstt+-±=îíì

）（例分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画其原始单元体求极值应力xyCyxMCxyOxy

yx破坏分析低碳钢铸铁例图示应力状态（单位：Mpa），求：（1）斜截面上的应力；（2）主应力的大小；（3）主平面方位，并在单元体上绘出主平面位置和主应力方向；（4）最大切应力。解：（1）易知，（2）主应力大小（3）主平面方位法线与x轴夹角为67.5º的主平面上对应的是2。（4）最大切应力§7-4二向应力状态分析——图解法对上述方程消去参数（2），得：xyOxxy

ynyxyxtn建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法在坐标系内画出点A(x，xy)和B(y，yx)

AB与a轴的交点C便是圆心。以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆；xxyyxyOnaO

aaCA(

x,

xy)B(

y,yx)x2anD(

a,

a)三、单元体与应力圆的对应关系面上的应力(，)应力圆上一点(，)面的法线应力圆的半径两面夹角两半径夹角2；且转向一致。xxyyxyOnaO

aaCA(

x,

xy)B(

y,yx)x2anD(

a,

a)四、在应力圆上标出极值应力OC

aaA(x,

xy)B(

y,

yx)x2a12a0

1

2

3例已知

求此单元体在＝30°和

＝-40°两斜截面上的应力。例：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁件受扭转时的破坏现象。解：1．取单元体ABCD，其中，，这是纯剪切应力状态。2．作应力圆主应力为，并可确定主平面的法线。3．分析纯剪切应力状态的两个主应力绝对值相等，但一为拉应力，另一为压应力。由于铸铁抗拉强度较低，圆截面铸铁构件扭转时构件将沿倾角为45º的螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。例求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)3AB12解：主应力坐标系如图AB的垂直平分线与a

轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆。0

1

2BAC20

(MPa)(MPa)O20MPa在坐标系内画出点主应力及主平面如图3AB120

1

2BAC20

(MPa)(MPa)O20MPa解法2—解析法：分析——建立坐标系如图60°xyO主单元体：六个平面都是主平面若三个主应力已知，求任意斜截面上的应力:§7-5三向应力状态这样，单元体上与主应力之一平行的各个斜截面上的正应力和剪应力，可由三个应力圆圆周上各点的坐标来表示。至于与三个主方向都不平行的任意斜截面，弹性力学中已证明，其应力σn和τn可由图中阴影面内某点的坐标来表示。在三向应力状态情况下：τmax作用在与σ2平行且与σ1和σ3的方向成45°角的平面上，以τ1，3表示例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力。（应力单位为MPa）。解：例求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为MPa）。解：例试根据图a所示单元体各面上的应力作出应力圆，并求出主应力和最大切应力的值及它们的作用面方位。(a)解:1.图a所示单元体上正应力z=20MPa的作用面(z截面)上无切应力，因而该正应力为主应力。2.与主平面z截面垂直的各截面上的应力与主应力z无关，故可画出显示与z截面垂直各截面上应力随截面方位角变化的应力圆。(a)从圆上得出两个主应力46MPa和-26MPa。这样就得到了包括z=20MPa在内的三个主应力。他们按代数值大小排序为

1＝46MPa，

2＝20MPa，

3＝-26MPa。(b)(a)3.依据三个主应力值作出的三个应力圆如图b所示。2a0＝34˚可知为a0＝17˚且由x截面逆时针转动，如图c中所示。(c)(b)4.最大切应力max由应力圆上点B的纵座标知为

max＝36MPa，作用在由1作用面绕2逆时针45˚的面上(图c)。(c)(b)§7-8广义胡克定律一、单拉下的应力--应变关系二、纯剪的应力--应变关系xyzsxxyzxy三、复杂状态下的应力---应变关系依叠加原理,得:

xyzszsytxysx当单元体三个平面皆为主平面时，

分别为x,y,z方向的主应变，与主应力的方向一致，，三主平面内的切应变等于零。对平面应力状态

2.各向同性材料的体积应变体积应变：每单位体积的体积变化，用θ表示设单元体的三对平面均为主平面，其三个边长分别为dx,dy,dz,变形前体积：变形后体积：则体积应变为：.代入广义胡克定律得：即：任一点处的体积应变与该点处的三个主应力之和成正比。同理，可得：例已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变值为ε1＝240×10-6，ε3＝－160×10-6。构件材料为Q235钢，弹性模量E=210GPa，泊松比ν＝0.3。试求该点处的主应力数值，并求该点处另一主应变ε2的数值和方向。解：由题意可知，点处于平面应力状态且由广义胡克定律可得：是缩短的主应变。其方向沿构件表面的法线方向。例

边长为0.1m的铜方块，无间隙地放入变形可略去不计地刚性凹槽中。已知铜的弹性模量E=100GPa，泊松比ν＝0.34。当铜块受到F=300kN的均布压力作用时，试求铜块的三个主应力的大小。解：铜块横截面上的压应力为由题意：按主应力的代数值顺序排列，得该铜块的主应力为：例已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6，

2=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为=0.3，试求该点处的主应力及另一主应变。所以，该点处的平面应力状态me3342.-=§7-9复杂应力状态的应变能密度dzdxdy1.空间应力状态的应变能密度可得：将广义胡克定律代入上式：2.体积改变能密度和畸变能密度应变能密度＝体积改变能密度（υV）+ 畸变能密度（υd）（a)（b)=+（c)体积改变能密度υV畸变能密度υd（a）和（b）状态的主应力之和相等，故它们的体积应变相等，其也相等，所以只须把代入应变能密度公式即得：(b)状态只有体积改变而无形状改变，称为体积改变能密度υV(c)状态只有形状改变而无体积改变，称为畸变能密度υd例用能量法证明三个弹性常数间的关系。纯剪单元体的比能为：纯剪单元体比能的主应力表示为：txyA13§7-10强度理论概论强度条件的建立材料因强度不足而引起失效现象是不同的，它取决于：1.材料本身的性质，包括塑性材料和脆性材料：单向拉伸试验塑性材料出现屈服，脆性材料突然断裂危险点是复杂应力状态时σ1、σ2、σ3之间有任意比值，不可能通过做所有情况的试验来确定其极限应力值。危险点是简单应力状态及纯剪切应力状态时直接通过试验结果建立：单向拉压：纯剪切：2.材料的受力状态，包括简单应力状态，复杂应力状态强度理论的基本思想：1)确认引起材料失效存在共同的力学原因，提出关于这一共同力学原因的假设；2)根据实验室中标准试件在简单受力情况下的破坏实验（如拉伸）结果，建立起材料在复杂应力状态下共同遵循的弹性失效准则和强度条件。3)实际上，当前工程上常用的经典强度理论都按脆性断裂和塑性屈服两类失效形式，分别提出共同力学原因的假设。脆性断裂──最大拉应力理论、最大伸长线应变理论屈服失效──最大切应力理论、畸变能密度理论材料破坏一、最大拉应力（第一强度）理论：认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。1、破坏判据：2、强度准则：3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、陶瓷、玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符，这些材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应力最大的横截面上。脆性材料的扭转破坏，也是沿拉应力最大的斜面发生断裂，这些都与最大拉应力理论相符，但这个理论没有考虑其它两个主应力的影响。二、最大伸长线应变（第二强度）理论：认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。1、破坏判据：2、强度准则：3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。三、最大剪应力（第三强度）理论：认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。当最大剪应力达到单向拉伸试验的极限剪应力时，构件就破坏了。1、破坏判据：3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。2、强度准则：第三强度理论曾被许多塑性材料的试验结果所证实，且稍偏于安全。这个理论所提供的计算式比较简单，故它在工程设计中得到了广泛的应用。该理论没有考虑中间主应力σ2的影响，其带来的最大误差不超过15％，而在大多数情况下远比此为小。4.畸变能密度理论（第四强度理论）基本假设：畸变能密度是引起材料塑性屈服的 主要因素复杂应力状态下屈服准则：强度条件：单向拉伸屈服时，畸变能密度的极限值是：适用范围：它既突出了最大主切应力对塑性屈服的作用，又适当考虑了其它两个主切应力的影响，它与塑性较好材料的试验结果比第三强度理论符合得更好。此准则也称为米塞斯（Mises）屈服准则，由于机械、动力行业遇到的载荷往往较不稳定，因而较多地采用偏于安全的第三强度理论；土建行业的载荷往往较为稳定，安全系数的估计较准确，因而较多地采用第四强度理论。这个理论和许多塑性材料的试验结果相符，用这个理论判断碳素钢的屈服失效是相当准确的。四个强度理论的强度条件可写成统一形式：称为相当应力塑性材料第三强度理论可进行偏保守（安全）设计。第四强度理论可用于更精确设计，要求对材料强度指标、载荷计算较有把握。脆性材料第二强度理论仅用于石料、混凝土等少数材料。第一强度理论用于脆性材料的拉伸、扭转。

按某种强度理论进行强度校核时，要保证满足如下两个条件:1.所用强度理论与在这种应力状态下发生的破坏形式相对应;2.用以确定许用应力[的,也必须是相应于该破坏形式的极限应力。塑性材料（如低碳钢）在三向拉伸应力状态下呈脆断破坏，应选用第一强度理论。注意脆性材料（如大理石）在三向压缩应力状态下呈塑性屈服失效状态，应选用第三、第四强度理论。例(a)一钢质球体防入沸腾的热油中,将引起爆裂，试分析原因。受力分析：钢球入热油中，其外部因骤热而迅速膨胀，内芯受拉且处于三向受拉应力状态，而发生脆断破坏。

例（b）深海海底的石块，尽管受到很大的静水压力,并不破坏，试分析原因。受力分析：石块处于三向受压状态。第三强度理论：第四强度理论：塑性材料：纯剪切应力状态：根据强度理论,可以从材料在单轴拉伸时的推知低C钢类塑性材料在纯剪切应力状态下的例对于图示各单元体，试分别按第三强度理论及第四强度理论求相当应力。

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