第九章压杆稳定

第九章压杆稳定§9.1概述一、问题的提出材料力学1中南大学土木工程学院材料力学2中南大学土木工程学院构件的承载能力①强度②刚度③稳定性工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能够安全可靠地工作。材料力学3中南大学土木工程学院材料力学4中南大学土木工程学院2006年12月9日，北京市顺义城区北侧减河上一座悬索桥在进行承重测试时突然坍塌,约50米桥体连同桥上进行测试的10辆满载煤渣的运输车一起塌下,1名司机和2名检测人员受伤。

柱脚与地面连接强度不足，局部杆受力大，导致另一柱脚被拔起Ａ型柱的连接杆焊点突然失效，导致Ａ型柱失稳破坏材料力学5中南大学土木工程学院压杆稳定性问题尤为重要！材料力学6中南大学土木工程学院

稳定平衡不稳定平衡随遇平衡判断方法——微小扰动法在平衡位置给物体一任意微小扰动，扰动消失后考察物体是否自动恢复原平衡位置。二、三种平衡状态及判断方法材料力学7中南大学土木工程学院稳定平衡F<klF=kl临界状态给刚性杆微小扰动，考虑扰动消失后杆的平衡。lBA刚性杆Fk直线平衡BAFFR微小偏转平衡BAFFR继续偏转倾倒BAFFR不稳定平衡F>kl材料力学8中南大学土木工程学院保持常态、稳定失去常态、失稳压弯曲线平衡轴压直线平衡恢复直线平衡失稳曲线平衡F<Fcr微小扰动F弹性杆F<Fcr扰动消失Fcr微小扰动压弯曲线平衡Fcr扰动消失材料力学9中南大学土木工程学院三、临界状态及失稳失稳(屈曲)——压杆失去稳定平衡状态的现象。注意：临界荷载是压杆保持稳定平衡时所能承受的最大荷载，或使压杆失稳时的最小荷载。中心受压直杆临界荷载Fcr——压杆处于临界状态的轴向压力。此时横截面上的应力称为临界应力scr。失稳表现为由直线形式的平衡过渡到曲线形式的平衡。临界状态——压杆从稳定平衡到不稳定平衡之间的过渡状态。材料力学10中南大学土木工程学院四、稳定性问题1、危害：临界应力往往低于材料的屈服极限；破坏往往突然发生，是不可恢复的。2、特点：每根压杆的临界荷载各不相同，稳定性计算就是计算压杆的临界荷载。3、广泛性：除压杆外，凡有压应力的薄壁构件均存在稳定性问题。壳体在均匀外压下的失稳板条梁在竖向力作用下的失稳材料力学11中南大学土木工程学院材料力学12中南大学土木工程学院假设压杆在某个压力Fcr作用下在曲线状态平衡，然后设法求挠曲函数。求得不为零的挠曲函数，说明压杆的确能够在曲线状态下平衡，即出现失稳现象。§9.2细长压杆的临界荷载一、两端铰支(球铰)细长压杆的临界荷载1、欧拉公式设：压杆处于临界状态，在微弯形态下平衡；此时的压力为临界荷载，即

F

=FcrF=FcrxF=FcrylM

=Fcrwxw材料力学13中南大学土木工程学院令通解w

=Asinkx+Bcoskx边界条件Ⅰ：x=0，w=0B=0边界条件Ⅱ：x=l，w=0F=FcrxF=Fcrylxww=Asinkl=

0A≠0，sinkl=0

kl=np

n=1，2，…

保持微弯平衡形态的最小压力为临界荷载。欧拉公式材料力学14中南大学土木工程学院2、两个结果临界荷载（1）上述公式只适用于两端铰支细长压杆；（2）I——各方向约束情况相同时应取最小形心主惯性矩，杆件局部的削弱面积对I的计算无影响；（3）在确定的约束条件下，临界荷载Fcr仅与材料E、长度l和截面尺寸

I有关，材料的E越大，截面越粗，杆件越短，临界荷载Fcr越高；（4）临界荷载是压杆自身的一种力学性质指标，反映承载能力的强弱，临界荷载Fcr越高，稳定性越好，承载能力越强；（5）临界荷载Fcr与外部轴向压力的大小无关。弯曲挠曲线（1）wmax

=A，数值不能确定，是由于采用了挠曲线近似微分方程，若采用精确微分方程，可以确定最大挠度值。（2）挠曲线是半个正弦波形。材料力学15中南大学土木工程学院§9.3不同杆端约束细长压杆的临界荷载方法2：相当长度法在压杆中找出长度相当于两端铰支的一段（即两端曲率为零或弯矩为零），该段临界荷载即为整个压杆的临界荷载。方法1：同铰支欧拉公式由“微分方程+边界条件”确定一、约束不同时细长杆的欧拉公式材料力学16中南大学土木工程学院解：设铰支端水平约束力为FR，则任意截面的弯矩为：由挠曲线的近似微分方程得：令：得：解得：xw由压杆挠曲线的近似微分方程，推导如图所示一端固定、一端铰支压杆的欧拉公式。xFcrylFR材料力学17中南大学土木工程学院由杆端的边界条件：因为挠度w不恒为零，故A、B和FR/Fcr不能同时为零。所以上述线性方程组的系数行列式应等于零，即xwxFcrylFR材料力学18中南大学土木工程学院展开后得sinkl=klcoskl

即tankl=kl

用图解法求解该超越方程：作直线y

=kl和曲线y

=tankl

由此可得该压杆临界荷载的欧拉公式为：其第一个交点的横坐标kl=4.49材料力学19中南大学土木工程学院1、两端铰支FcrFcrl两端铰支，端点弯矩为零，挠曲线为半个半个正弦波，其相当长度为本身长度l。欧拉公式材料力学20中南大学土木工程学院2、一端固定、另一端自由相当于长度为2l的两端铰支细长压杆的临界荷载欧拉公式FcrlFcrl材料力学21中南大学土木工程学院3、一端固定、另一端铰支相当于长度为0.7l的两端铰支细长压杆的临界荷载。Fcrl0.7l欧拉公式材料力学22中南大学土木工程学院4、两端固定，可沿纵向移动相当于长度为0.5l的两端铰支细长压杆的临界荷载。Fcrl2l4l4l欧拉公式材料力学23中南大学土木工程学院5、两端固定，可沿横向移动Fcrl0.5l0.5l相当于长度为l的两端铰支细长压杆的临界荷载。欧拉公式材料力学24中南大学土木工程学院m

——长度因数ml——相当长度长度因数m与杆端约束有关，约束越强，m越小，临界荷载越大。约束越弱，m越大，临界荷载越小。两端铰支=1.0一端固定、另一端自由

=2.0一端固定、另一端铰支

=0.7两端固定，可沿纵向移动

=0.5两端固定，可沿横向移动

=1.0常见约束下的二、欧拉公式的一般形式材料力学25中南大学土木工程学院Fcrml=l铰－铰Fcrml=2ll固－自Fcrlml=0.7l固－铰Fcrlml=0.5l固－固Fcrml=l固－固m=1m=2m=0.7m=0.5m=1材料力学26中南大学土木工程学院FFEIEIFEIEIFEIEIlaaaa杆端约束不同，其它完全相同的四根压杆，比较其欧拉临界荷载的大小。(a)(b)(c)(d)Fcr(b)>Fcr(a)>Fcr(c)>Fcr(d)材料力学27中南大学土木工程学院alABCEIEI=∞F图示刚架，杆AB为刚性杆，杆BC为弹性梁，其抗弯刚度EI为常数。在刚性杆顶端受到荷载F作用，已知尺寸a和l，求该结构的临界荷载。解：结构受到扰动后处于图示平衡状态Fcrdqq由图可知，弹性梁BC在B端承受的外力偶矩为弹性梁BC在B端外力偶矩MB的作用下近端的转角为所以结构的临界荷载为因为材料力学28中南大学土木工程学院解：图(a)图(b)分别求下列细长压杆的临界荷载。已知l=0.5m，E=200GPa。(45456)等边角钢5010图(a)Fl图(b)Flyz材料力学29中南大学土木工程学院解：由平衡方程求得杆件压力为两杆分别达到临界荷载时F可达最大值。图示两杆材料截面相同，均为细长杆，若杆件在ABC面内因失稳而引起破坏，试求荷载F为最大值时的q角（设0<q<p/2）。ABCFlqb材料力学30中南大学土木工程学院lFcr1①lFcr2②两根材料相同，长度相等的细长压杆，杆①为正方形截面，杆②为圆截面。两横截面面积相等，求其临界荷载的比值。解：杆①的形心主惯性矩为所以杆②的形心主惯性矩为所以材料力学31中南大学土木工程学院解：受压力作用时，桁架周边四根杆均受压，结构的临界荷载即为压杆失稳时的荷载受拉力作用时，桁架中间一根杆受压，结构的临界荷载即为压杆失稳时的荷载aaABCDF1F1细长杆组成的正方形桁架，分别受一对压力和一对拉力作用，只考虑压杆稳定的情况下，求两结构临界荷载的比值。aaABCDF2F2材料力学32中南大学土木工程学院一、临界应力欧拉公式的一般形式临界应力引入惯性半径§9.4欧拉公式的应用范围令称为实际压杆的柔度（长细比）柔度l集中反映压杆的长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界应力的影响。材料力学33中南大学土木工程学院用临界应力表达的欧拉公式同一杆件，失稳一定发生在l较大的纵向平面内。xyz轴销相同面积条件下，临界应力scr越小，越容易失稳。对应于杆在xy平面内的(绕z)失稳，杆端约束相当于两端铰支。对应于杆在xz平面内(绕y)失稳，杆端约束接近于两端固定。临界应力值应是上列两种计算值中的较小者，即对应较大的柔度计算的临界应力值。材料力学34中南大学土木工程学院因为两杆面积相同于是Fcr(a)<Fcr(b)(a)杆先失稳解：la>lb∴

scr(a)<scr(b)分析哪一根细长压杆先失稳？dF5m9mFd(a)(b)材料力学35中南大学土木工程学院二、欧拉公式的适用范围和经验公式适用条件：材料服从胡克定律；小变形。因此，应力超过材料的比例极限sp后，欧拉公式不再成立。欧拉公式的适用范围是scr≤sp

。挠曲线近似微分方程EIw''=－M欧拉公式导出1、欧拉公式适用范围材料固有柔度值，与实际压杆柔度无关。材料力学36中南大学土木工程学院Q235钢取E=206GPa，sp=200MPa。得lp=100大柔度杆(细长杆)可用欧拉公式求临界荷载或临界应力等价压杆柔度实际压杆柔度材料固有柔度值2、经验公式压杆柔度则scr>sp超过压杆比例极限的稳定问题材料力学37中南大学土木工程学院超过材料比例极限的压杆稳定问题可用经验公式处理。直线公式scr=a－bl

a、b查表Q235钢a=304MPab=1.12MPa中柔度杆(中长杆)直线经验公式须保证应力不大于屈服极限sp<scr

ssa－bl

ss<ls小柔度杆(短粗杆)此时scr>ss不属于压杆的稳定性问题，按抗压强度处理。

抛物线公式(中小柔度杆)scr=a1

–b1l2

a1

，b1

查表，具体请参阅有关规范。

材料力学38中南大学土木工程学院0590.19928.7松木0503.26392硬铝0555.29980铬钼钢601003.74577ss=353MPasb≥510MPa硅钢601002.57460ss=306MPasb=470MPa优质碳钢61.41001.12304ss=235MPasb=372MPaQ235钢lslpb(MPa)a(MPa)材料一些常用材料的a、b、p、s材料力学39中南大学土木工程学院柔度：影响压杆承载能力的综合指标，根据柔度的不同将压杆分成三类。细长杆(p)

——发生弹性失稳；中长杆(s<p)——发生弹塑性失稳；短粗杆(<s)

——不发生失稳，而发生屈服。—实际压杆柔度（长细比）

三、临界应力总图中长杆细长杆短粗杆临界应力总图材料力学40中南大学土木工程学院强度条件相当应力不大于许用应力极限应力和安全因数只与材料有关，与实际应力状态无关，即强度许用应力为常数。§9.5～§9.6压杆的稳定计算极限应力塑性材料脆性材料稳定条件工作应力不大于稳定许用应力。极限应力（临界应力）和稳定安全因数不仅与材料有关，而且与实际压杆的长度、约束条件、横截面尺寸和形状有关，即与实际压杆的柔度有关，所以稳定许用应力不是常数。材料力学41中南大学土木工程学院稳定条件工作安全因数规定的稳定安全因数工作安全因数不小于规定的稳定安全因数。必须由柔度判断压杆属何种性质的杆，用何公式来计算临界应力或临界荷载。注意一、安全因数法理想压杆：材料均匀，轴线笔直，荷载无偏心。实际压杆：材料缺陷，轴线初弯，荷载偏心。材料力学42中南大学土木工程学院scr、nst与压杆柔度l有关，[sw]是的l函数。[sw]=j[s][s]

—强度许用应力

j—稳定（折减）因数

j1

与柔度l有关不必由柔度判断压杆属何种性质的杆，可简化计算。注意稳定条件工作应力不大于稳定许用应力二、稳定（折减）因数法材料力学43中南大学土木工程学院解：查表得一根角钢：两根角钢图示组合之后Iy<Iz所以，用经验公式求临界压力。稳定安全因数一压杆长1.5m，由两根5.6号（56568）等边角钢组成，两端铰支，压力F=150kN，角钢为Q235钢，试用欧拉公式或经验公式求临界压力和稳定安全因数n。y1zy材料力学44中南大学土木工程学院ABQ235钢制成的矩形截面杆，两端约束以及所承受的荷载如图示（Ⅰ为正视图，Ⅱ为俯视图），在AB两处为销钉连接。已知b=20mm，h=50mm，l=940mm，l1=880mm，F=70kN，[s]=200MPa，校核杆件的稳定性。zbyhl1bFFⅡxzhlFFxyⅠxyz解:1、计算柔度x—y面内，两端铰支绕z轴发生失稳，计算简图如下。BAlyxFzbyhm=1惯性半径和柔度分别为材料力学45中南大学土木工程学院x—z面内，两端固定，绕y轴发生失稳，m=0.5，计算简图如下。l1FzxBAl1bFFⅡxzxyzzbyh惯性半径和柔度分别为比较lz=65.1ly=76.3因为

lz<ly

所以x—z面内先失稳，即绕y轴失稳。按较大的柔度ly来确定压杆的稳定因数j。材料力学46中南大学土木工程学院2、稳定性校核满足稳定性条件！<j[s]=142MPa由线性插值法求ly=76.3时的稳定因数j。材料力学47中南大学土木工程学院解：①最大柔度x—y面内，两端视为铰支

z=1x—z面内，一端固支，一端自由my=2图示构架起吊重物，BC为钢拉索，AB杆为圆松木，长l=6m，[]=11MPa，松木直径d=0.3m，试求此松木杆的许用压力。xyzOBAWFTC②求稳定因数木杆③求许用压力材料力学48中南大学土木工程学院解：对于单个10号槽钢，形心在C1点。两根槽钢图示组合之后，即最合理图示立柱，l=6m，由两根10号槽钢组成，材料为Q235钢，E=200GPa，sp=200MPa，下端固定，上端为球铰支座，试问a多大时，立柱的临界压力最大，值为多少？Flz1y1z0yC1azIy=Iz时，立柱的临界压力最大。求得a=4.32cm材料力学49中南大学土木工程学院求临界荷载属于大柔度杆，由欧拉公式求临界荷载。Fl材料力学50中南大学土木工程学院

解：①杆图示结构，已知E=200GPa，l<122时，scr=240－0.0068l2MPa。求临界荷载Fcr?Fcr61003001058①②②杆所以，Fcr=4.32kN材料力学51中南大学土木工程学院组合圆截面压杆约束如图所示，①杆l1=900mm，d1=24mm，②杆l2=800mm，d2=28mm。材料为Q235，承受的轴向压力F=30kN，求系统的临界荷载和工作安全因数。F900①②800解：①杆属于中长杆，用经验公式求临界应力。②杆①杆工作安全因数②杆工作安全因数组合系统Fcr=99.5kN，n=3.32材料力学52中南大学土木工程学院解：结构对称，①和②杆受力相等①杆的稳定性

图示结构，已知F=90kN，E=200GPa，lp=99.3，ls=57，两杆材料均为Q235，长度相等l=0.8m，稳定的经验公式scr=304－1.12l(MPa)，nst=3。校核结构的稳定性。F①②3230300300②杆的稳定性结构满足稳定性要求！材料力学53中南大学土木工程学院图示结构中钢梁AB和立柱CD分别由16号工字钢和连成一体的两根角钢(63mm×63mm×5mm)组成，柱CD属于b类截面中心受压杆件。均布荷载集度q=48kN/m，梁及柱的材料均为Q235钢，[s]=170MPa，E=210GPa。校核梁和柱的安全性。P331,9-162mABCq2m2mDz10解：静不定结构，求柱的轴力由变形协调方程得解得：(立柱CD的压缩变形相对弯曲挠度小得多，可忽略不计)梁AB的强度校核梁的危险截面在C截面。材料力学54中南大学土木工程学院查表得16号工字钢Wz=141×10-6m4梁内的最大正应力梁的强度足够，是安全的。立柱CD的稳定性校核由型钢表查每个63mm×63mm×5mm等边角钢的几何数据CyCzCA=6.143cm2，iyC=izC=1.94cm。yz两根等边角钢的组合截面，显然Iy>Iz，于是iy>iz对两根等边角钢的组合截面而言，惯性半径越小，其柔度越大，因此取iz=izC=1.94cm。材料力学55中南大学土木工程学院查Q235b类截面中心受压直杆对应l=103时的稳定因数为j=0.542。立柱的工作应力立柱CD的稳定性不符合要求。2mABCq2m2mDz10材料力学56中南大学土木工程学院

解：（1）求①杆的受力F1=3F（2）确定j(l)

（3）确定结构的许可荷载[F]

图示结构，①杆的直径d=60mm，许用应力[s]=160MPa。试根据①杆的稳定条件确定结构的许可荷载[F]。l60708090100)(lj0.440.340.260.200.16F①d1.5ma2a材料力学57中南大学土木工程学院解：①杆许可荷载正方形截面木制压杆①、②杆的许用应力[s]=10MPa，截面的边长a=100mm，求①、②杆同时达到稳定许用应力时，x与a的关系。Fx

3m①②2ma②杆许可荷载利用变形条件

解得：

x=0.719a

材料力学58中南大学土木工程学院解:(1)求BC杆的轴力以AB梁为分离体，对A点取矩，有：托架的撑杆为空心管，材料为Q235钢，弹性模量E=206GPa。管外径D=50mm，内径d=40mm，两端球形铰支，稳定安全因数nst=3。根据该杆的稳定性要求确定横梁上均布荷载集度q的许可值。1m2m300ⅠⅠABCqⅠ-Ⅰ截面(2)求BC杆的临界荷载BC为细长杆，可用欧拉公式计算临界力。材料力学59中南大学土木工程学院图示结构，①杆为钢圆杆，直径d1=50mm，强度许用应力[s]=160MPa，弹性模量E=200GPa。②杆为铸铁圆杆，直径d2=100mm，许用压应力[sc]=160MPa，E=180GPa。若横梁视为刚性梁，试求许可荷载[F]。F①2mA2m2m2m2mBCD②解：设①和②杆的轴力分别为FN1和FN2。由平衡方程和变形协调方程有FN1FN2所以：由①杆的强度条件材料力学60中南大学土木工程学院考虑②杆的稳定性条件铸铁对应的j=0.26。取[F]=232kNF①2mA2m2m2m2mBCD②材料力学61中南大学土木工程学院lllABCDF图示材料相同，弹性模量为E的梁AB和立柱BD，直径均为d，且有l=30d。对于BD有lp=100，稳定安全因数nst=3，求结构的许可荷载[F]。解：设立柱的轴力为FN，由静不定结构的变形协调方程有即解得：立柱柔度属于细长杆由稳定性条件有即取材料力学62中南大学土木工程学院立柱的工作应力稳定因数查表得柔度l=77.5惯性半径惯性矩解得：a=19.1cm两端铰支的立柱由4根80mm×80mm×6mm的角钢组成，属于b类截面中心受压杆件。柱长l=6m，压力为450kN，材料为Q235钢，强度许用应力[s]=170MPa。求立柱所需横截面边长a的尺寸。P330，9-11解：由型钢表查得单个角钢的A0=9.397cm2，IzC=57.35cm4。材料力学63中南大学土木工程学院最大荷载为500kN的万能材料试验机，做拉伸试验时两根立柱受压，其失稳形式为两端固定可横向移动。立柱为Q235钢，弹性模量E=210GPa，长l=2.5m。规定的稳定安全因数nst=4，按稳定条件设计立柱的直径d。FllFd解：设立柱为细长杆，由稳定性条件有其中由此解得取d=90mm属于细长杆，取直径为90mm。材料力学64中南大学土木工程学院托架的撑杆两端为球形铰，材料为Q235钢，弹性模量E=206GPa。撑杆为空心管，外径D=50mm，稳定安全因数nst=3，根据该杆的稳定性要求选择撑杆的内径d。0.5m1.5m300ⅠⅠABCⅠ-Ⅰ截面dDF解：设撑杆为细长杆。由平衡方程求得撑杆的内力为由稳定性条件有即由方程解得取d=34mm，求撑杆柔度满足细长杆的条件！材料力学65中南大学土木工程学院解：截面设计通过稳定因数法求解由式

可知立柱的横截面应满足

上式稳定因数j是与柔度l有关的，而柔度l必须在横截面已知的情况下才能求出。因此，在A未知时，j也是未知的。于是，需要采用逐次渐