第3章静电场的边值问题

第三章静电场的边值问题

主要内容电位微分方程，镜像法，分离变量法。1.电位微分方程已知，电位

与电场强度E

的关系为

对上式两边取散度，得对于线性各向同性的均匀介质，电场强度E的散度为

那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为该方程称为泊松方程。

对于无源区，上式变为上式称为拉普拉斯方程。

泊松方程的求解。已知分布在V

中的电荷在无限大的自由空间产生的电位为因此，上式就是电位微分方程在自由空间的解。

应用格林函数，即可求出泊松方程的通解为式中格林函数为

对于无限大的自由空间，表面S

趋向无限远处，由于格林函数 及电位

均与距离成反比，而dS与距离平方成正比，所以，对无限远处的S

表面，上式中的面积分为零。若V为无源区，那么上式中的体积分为零。因此，第二项面积分可以认为是泊松方程在无源区中的解，或者认为是拉普拉斯方程以格林函数表示的积分解。数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值，这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为该方程的定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。通常给定的边界条件有三种类型：第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问题又称为诺依曼问题。第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为混合边界条件。第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为狄利克雷问题。对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。可以证明电位微分方程解也是惟一的。由于实际中定解条件是由实验得到的，不可能取得精确的真值，因此，解的稳定性具有重要的实际意义。解的惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会发生很大的变化。解的存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。静电场的边界通常是由导体形成的。此时，若给定导体上的电位值就是第一类边界。已知导体表面上的电荷密度与电位导数的关系为，可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。因此，给定导体上的电荷就是第二类边界。

因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的电位，或电位的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性定理。2.镜像法

实质:是以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。依据：惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。关键：确定镜像电荷的大小及其位置。局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能确定其镜像电荷。

（1）点电荷与无限大的导体平面。

介质导体qrP介质qrPhh介质以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为的空间，则空间任一点P的电位由q

及q'共同产生，即考虑到无限大导体平面的电位为零，求得电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半部分完全相同。由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。电场线等位线z电荷守恒：当点电荷q

位于无限大的导体平面附近时，导体表面将产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点电荷及导体表面上的感应电荷。可见，上述镜像法的实质是以一个异性的镜像点电荷代替导体表面上异性的感应电荷的作用。根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量，读者可以根据导体表面电荷密度与电场强度或电位的关系证明这个结论。半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件未变。q对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。但是仅当这种导体劈的夹角等于

的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。例如，夹角为的导电劈需引入5

个镜像电荷。

/3/3q连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。fqo（2）点电荷与导体球。

Padrq若导体球接地，导体球的电位为零。为了等效导体球边界的影响，令镜像点电荷q'位于球心与点电荷q的连线上。那么，球面上任一点电位为可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值对于球面上任一点均具有同一数值。由上图可见，若要求三角形△OPq与△

OqP相似，则常数。由此获知镜像电荷应为镜像电荷离球心的距离d应为这样，根据q及q'

即可计算球外空间任一点的电场强度。fqOPadrq若导体球不接地，则位于点电荷一侧的导体球表面上的感应电荷为负值，而另一侧表面上的感应电荷为正值。导体球表面上总的感应电荷应为零值。因此，对于不接地的导体球，若引入上述的镜像电荷q'

后，为了满足电荷守恒原理，必须再引入一个镜像电荷q"，且必须令显然，为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷q“必须位于球心。事实上，由于导体球不接地，因此，其电位不等零。由q及q‘在球面边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像电荷q“以提供一定的电位。l（3）线电荷与带电的导体圆柱。Pafdr-lO在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离d

处，平行放置一根镜像电荷。已知无限长线电荷产生的电场强度为因此，离线电荷r处，以为参考点的电位为若令镜像线电荷产生的电位也取相同的作为参考点，则及在圆柱面上P点共同产生的电位为已知导体圆柱是一个等位体，因此，为了满足这个边界条件，必须要求比值为常数。与前同理，可令，由此得

（4）点电荷与无限大的介质平面。E

1

1qr0E'EtEnq'

2

2q"E"

1

2qeten=+为了求解上半空间的场可用镜像电荷q'等效边界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数为1的均匀空间。对于下半空间，可用位于原点电荷处的q"等效原来的点电荷q

与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为2的均匀空间。但是，必须迫使所求得的场符合原先的边界条件，即电场切向分量保持连续，电位移的法向分量应该相等，即

已知各个点电荷产生的电场强度分别为代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：

例已知同轴线的内导体半径为a，电位为V，外导体接地，其内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。

解对于这种边值问题，镜像法不适用，只好求解电位方程。为此，选用圆柱坐标系。由于场量仅与坐标r

有关，因此，电位所满足的拉普拉斯方程在圆柱坐标系中的展开式只剩下包含变量r的一项，即电位微分方程为求得VbaO利用边界条件：求得最后求得由上例可见，为了利用给定的边界条件以便确定求解过程中出现的积分常数，选择适当的坐标系是非常重要的。对于平面边界，圆柱边界及圆球边界必须分别选用直角坐标系、圆柱坐标系及球坐标系。此外，由于同轴线中的电位函数仅与一个坐标变量r有关，因此原先的三维拉普拉斯方程简化为一维微分方程，因而可采用直接积分方法求解这类边值问题。但一般说来，静电场的边值问题与空间三个坐标变量有关。为了求解三维拉普拉斯方程，一种有效的方法就是分离变量法。分离变量法是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化为三个独立的常微分方程，从而使求解过程比较简便。分离变量法对于11种坐标系都是行之有效的。3.直角坐标系中的分离变量法

无源区中电位满足的拉普拉斯方程在直角坐标系中的展开式为令代入上式，两边再除以X(x)Y(y)Z(z)，得

显然，式中各项仅与一个变量有关。因此，将上式对变量x求导，第二项及第三项均为零，求得第一项对x

的导数为零，说明了第一项等于常数。同理，再分别对变量y

及z求导，得知第二项及第三项也分别等于常数。令各项的常数分别为，分别求得式中kx，ky，kz

称为分离常数，它们可以是实数或虚数。显然，三个分离常数并不是独立的，它们必须满足下列方程由上可见，经过变量分离后，三维偏微分方程式被简化为三个一维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且三个常微分方程又具有同一结构，因此它们解的形式也一定相同。例如，含变量x的常微分方程的通解为或者式中A,B,C,D为待定常数。分离常数也可为虚数。当kx为虚数时，令，则上述通解变为或者含变量x或y的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的线性组合仍然是方程的解。解的形式的选择是非常重要的，它完全决定于给定的边界条件。解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。

例两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为d

，其有限端被电位为0

的导电平面封闭，且与无限大接地导体平面绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。Odxy=0=0=0解选取直角坐标系。由于导电平面沿z

轴无限延伸，槽中电位分布函数一定与z无关，因此，这是一个二维场的问题。电位所满足的拉普拉斯方程变为应用分离变量法，令根据题意，槽中电位应满足的边界条件为为了满足及边界条件，应选Y(y)的解为因为y=0时，电位=0，因此上式中常数B=0。为了满足边界条件，分离常数ky应为

求得已知，求得可见，分离常数kx为虚数，故X(x)的解应为因为x=0时，电位，因此，式中常数C=0，即那么，式中常数C=AD。由边界条件获知，当x=0时，电位=0，代入上式，得上式右端为变量，但左端为常量，因此不能成立。这就表明此式不能满足给定的边界条件。因此，必须取上式的和式作为电位方程的解，即为了满足x=0，=0

边界条件，由上式得上式右端为傅里叶级数。利用傅里叶级数的正交性，可以求出系数Cn为最后求得槽中电位分布函数为式中。0dxy=0=0=0电场线等位面电场线及等位面分布如右图示：4.圆柱坐标系中的分离变量法电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为令其解为代入上式求得上式中第二项仅为变量

的函数，而第一项及第三项与无关，因此将上式对

求导，得知第二项对的导数为零，可见第二项应为常数，令

即式中k为分离常数，它可以是实数或虚数。通常变量

的变化范围为，那么此时场量随

的变化一定是以2

为周期的周期函数。因此，上式的解一定是三角函数，且常数k一定是整数，以保证函数的周期为2。令，m为整数，则上式的解为式中A,B为待定常数。

考虑到，以及变量的方程式，则前述方程可表示为上式左边第一项仅为变量r的函数，第二项仅为变量z

的函数，因此按照前述理由，它们应分别等于常数，令

即式中分离常数kz可为实数或虚数，其解可为三角函数，双曲函数或指数函数。当kz为实数时，可令式中C,D

为待定常数。将变量z方程代入前式，得若令，则上式变为上式为标准的柱贝塞尔方程，其解为柱贝塞尔函数，即

至此，我们分别求出了R(r)

,(),Z(z)的解，而电位微分方程的通解应为三者乘积，或取其线性组合。式中E,F为待定常数,为m阶第一类柱贝塞尔函数，为m阶第二类柱贝塞尔函数。根据第二类柱贝塞尔函数的特性知，当r=0时，。因此，当场存在的区域包括

r=0

时，此时只能取第一类柱贝塞尔函数作为方程的解。

若所讨论的静电场与变量z无关，则分离常数。那么电位微分方程变为此方程的解为指数函数，即若所讨论的静电场又与变量无关，则m=0。那么，电位微分方程的解为

考虑到以上各种情况，电位微分方程的解可取下列一般形式

例设一根无限长、半径为a的导体圆柱放入无限大的均匀静电场中，电场强度方向垂直于导体圆柱，如图所示。试求导体圆柱外的电场强度。

解选取圆柱坐标系，令z

轴为圆柱轴线，电场强度的方向与x轴一致，即

当导体圆柱处于静电平衡时，圆柱内的电场强度为零，圆柱为等位体，圆柱表面电场强度切向分量为零，且柱外的电位分布函数应与z无关。解的形式可取前述一般形式，但应满足下列两个边界条件：xyaE0O①由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即因此②无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为此式表明，无限远处电位函数仅为cos的函数，可见系数，且m=0。因此电位函数为那么，根据应满足的边界条件即可求得系数B1，D1

应为代入前式，求得柱外电位分布函数为则柱外电场强度为xyaE0电场线等位面圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如下图示：5.球坐标系中的分离变量法电位微分方程在球坐标系中的展开式为令代入上式，得与前同理，的解应为可见，上式中第一项仅为r的函数，第二项与r无关。因此，与前同理第一项应为常数。为了便于进一步求解，令

式中n为整数。这是尤拉方程，其通解为将此结果代入上式，得令，则上式变为上式为连带勒让德方程，其通解为第一类连带勒让德函数与第二类连带勒让德函数之和，这里m<n

。

当n是整数时，及为有限项多项式。因此，要求n为整数。

根据第二类连带勒让德函数的特性知，当时，。因此，当场存在的区域包括

或

时，，此时只能取第一类连带勒让德函数作为方程的解。所以，通常令那么，电位微分方程的通解通常取为下列线性