第1章均匀传输线理论

1.1均匀传输线方程及其解1.2传输线阻抗与状态参量1.3无耗传输线的状态分析1.4传输线的传输功率、效率与损耗1.5阻抗匹配1.6史密斯圆图及其应用1.7同轴线的特性阻抗习题第1章均匀传输线理论微波传输线是用以传输微波信息和能量的各种形式的传输系统的总称。其作用是约束或引导电磁波沿一定方向传输,因此又称为导波系统,其所导引的电磁波被称为导行波。一般将截面尺寸、形状、媒质分布、材料及边界条件均不变的导波系统称为规则导波系统,又称为均匀传输线。传输线电路：导线e.g.50Hz交流电电线导行波传播的方向称为纵向,垂直于导波传播的方向称为横向。无纵向电磁场分量的电磁波称为横电磁波，即TEM波，TEM波只能够存在于双导体或多导体中。另外,传输线本身的不连续性可以构成各种形式的微波无源元器件,这些元器件和均匀传输线、有源元器件及天线一起构成微波系统。1、双导体传输线（TEM波传输线）：它由两根或两根以上平行导体构成,因其传输的电磁波是横电磁波（TEM波）或准TEM波,故又称为TEM波传输线。主要包括平行双线、同轴线、带状线和微带线等。一、传输线的种类微波传输线：双导体传输线TEM波传输线特点：微波传输线：双导体传输线优点：带宽宽、体积小缺点：在高频端能量损耗大原因：此类传输线限制电磁波的能量在金属之间的空间传播，开放或半开放，损耗主要是空间辐射损耗。2、封闭金属波导（TE波和TM波传输线）：TE波（横电波）:凡是磁场矢量既有横向分量又有纵向分量，而电场矢量只有横向分量的波称为磁波或横电波，通常表示为H波或TE波。TM波（横磁波）:凡其电场矢量除有横向分量外还有纵向分量，而磁场矢量只有横向分量的波称为电波或横磁波，通常表示为E波或TM波。2、封闭金属波导（TE波和TM波传输线）：均匀填充介质的金属波导管,因电磁波在管内传播,故称为波导。完全限制电磁波在金属管内传播。主要包括矩形波导、圆波导、脊形波导和椭圆波导等。微波传输线：波导微波传输线：波导TE波和TM波传输线特点：优点：功率容量大、损耗小、无辐射损耗缺点：带宽窄、体积大应用：主要用于雷达发射机3、介质传输线（表面波波导）：介质传输线,因电磁波沿传输线表面传播,故称为表面波波导。约束电磁波在波导结构的周围沿轴向传播。主要包括介质波导、镜像线和单根表面波传输线等。微波传输线：介质传输线微波传输线：波导介质传输线特点：功率容量大但损耗也大；体积小，便于集成；应用：主要用于微波的高端，如在毫米波和亚毫米波段中使用；通常用于构成微波器件，如表面波滤波器等。4、微波传输线共同特征均有一轴线，系统结构沿轴线均匀电磁能量沿轴线传输电磁能量被束缚于系统内部及周围5、常用微波传输线本课主要研究前两种传输线，即双导体传输线和封闭金属波导。对传输线的要求：工作带宽宽、体积小、功率容量大、损耗小。但以上要求往往不能同时满足，只可根据要求选取。e.g.航空等微波集成电路要求体积小、集成度高——可选微带线。常用微波传输线：平行双线、波导（矩形波导、圆波导）、同轴线、带状线和微带线。二、分布参数及分布参数电路1、传输线的电长度：传输线的几何长度l与其上工作电磁波波长l的比值（l/l）。l/l≥0.05l/l<0.05当线的长度与波长可以比拟当线的长度远小于线上电磁波的波长长线Longline短线Shortlinee.g.f=50Hz的民用交流电，l=1000mf=50Hz短线短线长线分布参数电路集总参数电路长线、短线属于不同的电路形式：分布参数所引起的效应可忽略不计。所以采用集总参数电路进行研究。当线上传输高频电磁波时，传输线上的导体上的损耗电阻、电感、导体之间的电导和电容会对传输信号产生影响，这些影响不能忽略。④分布电容效应：导线间有电压，导线间有高频电场；

C0为传输线上单位长度的分布电容。2、高频信号通过传输线时将产生分布参数效应：①分布电阻效应:电流流过导线将使导线发热产生电阻；

R0为传输线上单位长度的分布电阻。②分布电导效应：导线间绝缘不完善而存在漏电流；

G0为传输线上单位长度的分布电导。③分布电感效应：导线中有电流，周围有高频磁场；

L0为传输线上单位长度的分布电感。不均匀传输线均匀传输线沿线的分布参数

R0，G0，L0，C0与距离无关的传输线沿线的分布参数

R0，G0，L0，C0与距离有关的传输线3、均匀传输线均匀传输线单位长度上的分布电阻为R0、分布电导为G0、分布电容为C0、分布电感为L0,其值与传输线的形状、尺寸、导线的材料、及所填充的介质的参数有关。如传输线上无损耗，则为无耗传输线。即R=0,G=0。有耗线无耗线对均匀传输线的分析方法通常有两种:一种是场分析法,即从麦克斯韦尔方程出发,求出满足边界条件的波动解,得出传输线上电场和磁场的表达式,进而分析传输特性;第二种是等效电路法,即从传输线方程出发,求出满足边界条件的电压、电流波动方程的解,得出沿线等效电压、电流的表达式,进而分析传输特性。前一种方法较为严格,但数学上比较繁琐,后一种方法实质是在一定的条件下“化场为路”,有足够的精度,数学上较为简便,因此被广泛采用。1.1均匀传输线方程及其解由均匀传输线组成的导波系统都可等效为如图所示的均匀平行双导线系统。其中传输线的始端接微波信号源（简称信源）,终端接负载,选取传输线的纵向坐标为z,坐标原点选在终端处,波沿负z方向传播。在均匀传输线上任意一点z处,取一微分线元Δz（Δz<<λ）,该线元可视为集总参数电路,其上有电阻RΔz、电感LΔz

、电容CΔz和漏电导GΔz(其中R,L,C,G分别为单位长电阻、单位长电感、单位长电容和单位长漏电导),得到的等效电路如图所示。整个传输线可看作由无限多个上述等效电路的级联而成。有耗和无耗传输线的等效电路分别如图所示。均匀传输线及其等效电路(a)均匀平行双导线系统;(b)均匀平行双导线的等效电路;(c)有耗传输线的等效电路;(d)无耗传输线的等效电路传输线上的电压和电流是距离和时间的二元函数。设在时刻t,

位置z处的电压和电流分别为u(z,t)和i(z,t),

而在位置z+Δz处的电压和电流分别为u(z+Δz,t)和i(z+Δz,t)。传输线方程是研究传输线上电压、电流的变化规律及其相互关系的方程。1、均匀传输线方程从微分的角度，对很小的Δz,忽略高阶小量,有：从电路角度，应用基尔霍夫定律，可得：u(z,t)+R﹒Δz﹒i(z,t)+-u(z+Δz,t)=0i(z,t)+G﹒Δz﹒u(z+Δz,t)+C﹒Δz﹒-i(z+Δz,t)=0将式（1）代入式（2）,并忽略高阶小量,可得均匀传输线方程，也称电报方程：(3)u(z,t)+R﹒Δz﹒i(z,t)+-u(z+Δz,t)=0i(z,t)+G﹒Δz﹒u(z+Δz,t)+C﹒Δz﹒-i(z+Δz,t)=0从方程可看出：i随时间的变化会造成u

随位置的变化；

u随时间的变化会造成i

随位置的变化；一个物理量随时间的变化造成另一个物理量随位置的变化波动u(z,t)+R﹒Δz﹒i(z,t)+-u(z+Δz,t)=0i(z,t)+G﹒Δz﹒u(z+Δz,t)+C﹒Δz﹒-i(z+Δz,t)=0对于时谐电压和电流,可用复振幅表示为：

u(z,t)=Re［U(z)ejωt］

i(z,t)=Re［I(z)ejωt］(4)当信号源为正弦波振荡时：(3)

式中U（z）和I（z）分别为传输线上z处电压和电流的复有效值。将上式代入（3）传输线方程，消去时间因子，可得复有效值的

时谐传输线方程：(5)式中,Z=R+jωL,Y=G+jωC,

分别称为传输线单位长度的串联阻抗和单位长度的并联导纳。(5)这里：(R+jwL)Dz(G+jwC)Dz2.均匀传输线方程的解对上方程再微分,并相互代入：移相定义电压传播常数：γ2=ZY=(R+jωL)(G+jωC)显然电压和电流均满足一维波动方程。电压的通解为：式中,A1,A2为待定系数,由边界条件确定。

U(z)=U+(z)+U-(z)=A1e+γz+A2e–γzγ2=ZY=(R+jωL)(G+jωC)特性阻抗令γ=α+jβ,则可得传输线上的电压和电流的瞬时值表达式为：由上式可见,传输线上电压和电流以波的形式传播,在任一点的电压或电流均由沿-z方向传播的行波（称为入射波）和沿+z方向传播的行波（称为反射波）叠加而成。

u(z,t)=Re［U(z)ejωt］

i(z,t)=Re［I(z)ejωt］现在来确定待定系数,由图可知,传输线的边界条件通常有以下三种:①已知终端电压Ul和终端电流Il;②已知始端电压Ui和始端电流Ii;③已知信源电动势Eg和内阻Zg以及负载阻抗Zl。

下面我们讨论第一种情况。边界条件z=0（终端）处：

U(0)=Ul=A1+A2

I(0)=I

l=(A1-A2)由此解得：

A1=(Ul+IlZ0)

A2=(Ul-IlZ0)带回（7）式可见,只要已知终端负载电压Ul、电流Il及传输线特性参数γ、Z0,则传输线上任意一点的电压和电流就可由上式求得。写成矩阵形式为：3、传输线的工作特性参数

1)特性阻抗Z0(Characteristicimpedance)

将传输线上导行波的电压与电流之比定义为传输线的特性阻抗,用Z0来表示,其倒数称为特性导纳,用Y0来表示。可见特性阻抗Z0通常是个复数,且与工作频率有关。它由传输线自身分布参数决定而与负载及信源无关,故称为特性阻抗。此时,特性阻抗Z0为实数,且与频率无关。当损耗很小,即满足R<<ωL、G<<ωC时，有：可见,损耗很小时的特性阻抗近似为实数。对于均匀无耗传输线,R=G=0,传输线的特性阻抗为：

对于直径为d、间距为D的平行双导线传输线,其特性阻抗为：式中,εr为导线周围填充介质的相对介电常数。常用的平行双导线传输线的特性阻抗有250Ω,400Ω和600Ω三种。对于内、外导体半径分别为a、b的无耗同轴线,其特性阻抗为：式中,εr为同轴线内、外导体间填充介质的相对介电常数。常用的同轴线的特性阻抗有50Ω和75Ω两种。2)传播常数γ(Propagationconstant)

传播常数γ是描述传输线上导行波沿导波系统传播过程中衰减和相位变化的参数,通常为复数,由前面分析可知：式中,α为衰减常数,单位为dB/m(有时也用Np/m,1Np/m=8.86dB/m);β为相移常数,单位为rad/m。Np：奈培对于无耗传输线：R=G=0此时：γ=jβ,β=ω

。对于损耗很小的传输线,即满足R<<ωL、G<<ωC时,有：因为R<<ωL、G<<ωC，所以只取前两项，可得：于是小损耗传输线的衰减常数α和相移常数β分别为：

α=(RY0+GZ0)

β=ω

实际中，对于微波传输线均满足无耗或小损耗条件。

3)相速υp与波长λ

传输线上的相速定义为电压、电流入射波（或反射波）等相位面沿传输方向的传播速度,用υp来表示。由上式得等相位面的运动方程为：ωt±βz=const（常数）上式两边对t微分，有：对于均匀无耗传输线来说,由于β与ω成线性关系,故导行波的相速与频率无关,也称为无色散波。当传输线有损耗时,β不再与ω成线性关系,使相速υp与频率ω有关,这就称为色散特性。对于均匀无耗传输线：对于双导体传输线：电磁波在介质中的传播速度对于双导体传输线，传输线上的波长λ与自由空间的波长λ0有以下关系:传输线上的波长（相波长）：相波长定义为等相位面在一个周期内移动的距离。或者说，传输线上波的振荡相位差为2π的两点的距离为波长。电磁波在介质中的波长在微波技术中,常可把传输线看作是无损耗的,因此,下面着重介绍均匀无耗传输线。

无耗线上，传输线的特性阻抗：1.2传输线阻抗与状态参量1.输入阻抗(Inputimpedance)

定义：传输线上任一点z处的阻抗Zin(z)为线上该点的电压与电流之比。或称由z点向负载看去的输入阻抗。由上一节可知,传输线方程：式中,Z0为无耗传输线的特性阻抗;β为相移常数。对无耗均匀传输线,γ=jβ，化简，可得到线上各点电压U(z)、电流I(z)与终端电压Ul、终端电流Il的关系如下：式中,Zl为终端负载阻抗。上式表明:均匀无耗传输线上任意一点的输入阻抗与观察点的位置、传输线的特性阻抗、终端负载阻抗及工作频率有关,且一般为复数,故不宜直接测量。讨论：（1）当，即传输线长度为半个相波长的整数倍时：其中：n=0、1、2……为正整数无耗传输线上任意相距λ/2处的阻抗相同,一般称之为λ/2重复性。其中：，n=0、1、2……为正整数讨论：（2）当，即传输线长度为四分之一个相波长的奇数倍时：其中：n=0、1、2……为正整数可见，无耗传输线上，输入阻抗具有四分之一波长的变换性。其中：Z0为特性阻抗；

Z1为负载阻抗所以，当，即传输线长度为四分之一个相波长的奇数倍时，输入阻抗为：Z1容抗Zin感抗Z1感抗Zin容抗［例1-1］一根特性阻抗为50Ω、长度为0.1875m的无耗均匀传输线,其工作频率为200MHz,终端接有负载Zl=40+j30(Ω),

试求其输入阻抗。解:，由工作频率f=200MHz得相移常数β=2πf/c=4π/3。将Zl=40+j30(Ω),

Z0=50,z=l=0.1875及β值代入式，有：可见,若终端负载为复数,传输线上任意点处输入阻抗一般也为复数,但若传输线的长度合适,则其输入阻抗可变换为实数,这也称为传输线的阻抗变换特性。可见：①Zin随d而变，分布于沿线各点，与Z1有关，是分布参数阻抗；②传输线段具有阻抗变换作用；Z1经d的距离变为Zin；③无耗线的阻抗呈周期性变化，具有l/4的变换性和l/2的重复性。2.反射系数(reflectioncoefficient)

定义传输线上任意一点z处的反射波电压（或电流）与入射波电压（或电流）之比为电压（或电流）反射系数,即：

U(z)=U+(z)+U-(z)=A1e+γz+A2e–γzΓu(z)=-Γi(z)因此只需讨论其中之一即可。通常将电压反射系数简称为反射系数,并记作Γ(z)。

U(z)=U+(z)+U-(z)=A1e+γz+A2e–γz边界条件z=0（终端）处：

U(0)=Ul=A1+A2

I(0)=I

l=(A1-A2)由以上式，并考虑到γ=jβ,有：终端反射系数：传输线上任意一点处的反射系数：传输线上任意一点处的反射系数：由此可见，对均匀无耗传输线来说，任意点反射系数大小均相等，沿线只有相位按周期变化，其周期为λ/2，即反射系数也具有λ

/2重复性。3.输入阻抗与反射系数的关系可得：

U(z)=U+(z)+U-(z)=A1ejβz［1+Γ(z)］

I(z)=I+(z)+I-(z)=e

jβz［1-Γ(z)］

U(z)=U+(z)+U-(z)=A1e+jβz+A2e–jβz

Zin(z)==Z0

式中,Z0为传输线特性阻抗。

由此可见,当传输线特性阻抗一定时,输入阻抗与反射系数有一一对应的关系,因此,输入阻抗Zin(z)可通过反射系数Γ(z)的测量来确定。

U(z)=U+(z)+U-(z)=A1ejβz［1+Γ(z)］

I(z)=I+(z)+I-(z)=e

jβz［1-Γ(z)］显然,当Zl=Z0时,Γl=0,即负载终端无反射,此时传输线上反射系数处处为零,一般称之为负载匹配。而当Zl≠Z0时,负载端就会产生一反射波,向信源方向传播,若信源阻抗与传输线特性阻抗不相等时,则它将再次被反射。

当z=0时,

则终端负载阻抗Zl与终端反射系数Γl的关系为：定义传输线上波腹点电压振幅与波节点电压振幅之比为电压驻波比,用ρ表示：

4.驻波比(VoltageStandingWaveRatio)对于无耗传输线,沿线各点的电压和电流的振幅不同,以λ/2周期变化。实际测量中，反射电压及电流均不宜测量。线上入射波和反射波相位相同处相加得到波峰值，相位相反处相减得到波谷值，为描述传输线上的工作状态，引入驻波比。驻波的波腹点--max；波谷（节）点---min；ZL电压振幅|U|min|U|max|U|电压驻波比有时也称为电压驻波系数,简称驻波系数,其倒数称为行波系数,用K表示。于是有:由于传输线上电压是由入射波电压和反射波电压叠加而成的,因此电压最大值位于入射波和反射波相位相同处,而最小值位于入射波和反射波相位相反处,即有:

|U|max=|U+|+|U-||U|min=|U+|-|U-|当|Γl|=0即传输线上无反射时,驻波比ρ=1;当|Γl|=1即传输线上全反射时,驻波比ρ→∞,因此驻波比ρ的取值范围为1≤ρ＜∞。可见驻波比和反射系数一样可用来描述传输线的工作状态。[例1-2］一根75Ω均匀无耗传输线,终端接有负载Zl=Rl+jXl,欲使线上电压驻波比为3,则负载的实部Rl和虚部Xl应满足什么关系？解:由驻波比ρ=3,可得终端反射系数的模值应为:将Zl=Rl+jXl，Z0=75代入上式,整理得负载的实部Rl和虚部Xl应满足的关系式为：(Rl-125)2+X12=1002即负载的实部Rl和虚部Xl应在圆心为（125,0）、半径为100的圆上,上半圆对应负载为感抗,而下半圆对应负载为容抗。1.3无耗传输线的状态分析1.行波状态行波状态就是无反射的传输状态,此时反射系数Γl=0，而负载阻抗等于传输线的特性阻抗,即Zl=Z0,也可称此时的负载为匹配负载。处于行波状态的传输线上只存在一个由信源传向负载的单向行波,此时传输线上任意一点的反射系数Γ(z)=0。此时终端反射系数：传输线上任意一点处的反射系数：驻波比：将Γ(z)=0代入上式，可得行波状态下传输线上的电压和电流：

U(z)=U+(z)+U-(z)=A1ejβz［1+Γ(z)］

I(z)=I+(z)+I-(z)=e

jβz［1-Γ(z)］电流振幅：电压、电流振幅值|V(d)|z|I(d)|电压振幅：

设A1=|A1|ejφ0,考虑到时间因子ejωt,则传输线上电压、电流瞬时表达式为：u(z,t)=|A1|cos(ωt+βz+φ0)

i(z,t)=cos(ωt+βz+φ0)可见，电压行波与电流行波同相，它们的相位是空间位置z和时间t的函数。此时传输线上任意一点z处的输入阻抗为：Zin(z)=Z0Zl=Z0综上所述,对无耗传输线的行波状态有以下结论:①沿线电压和电流振幅不变,驻波比ρ=1;②电压和电流在任意点上都同相;③传输线上各点阻抗均等于传输线特性阻抗。2.纯驻波状态纯驻波状态就是全反射状态,也即终端反射系数|Γl|=1。在此状态下,负载阻抗必须满足：由于无耗传输线的特性阻抗Z0为实数,因此要满足上式,负载阻抗必须为短路（Zl=0）、开路（Zl→∞）或纯电抗（Zl=jXl）三种情况之一。在上述三种情况下,传输线上入射波在终端将全部被反射,沿线入射波和反射波叠加都形成纯驻波分布,唯一的差异在于驻波的分布位置不同。下面以终端短路为例分析纯驻波状态。终端负载短路时,即负载阻抗Zl=0,终端反射系数：

U(z)=U+(z)+U-(z)=A1ejβz［1+Γ(z)］

I(z)=I+(z)+I-(z)=e

jβz［1-Γ(z)］而驻波系数ρ→∞,此时,传输线上任意点z处的反射系数为：代入：设A1=|A1|ejφ0,考虑到时间因子ejωt,则传输线上电压、电流瞬时表达式为:

u(z,t)=Re[U(z)ejωt]=2|A1|cos(ωt+φ0+

)sinβz

i(z,t)=Re[U(z)ejωt]

=cos(ωt+φ0)cosβz此时传输线上任意一点z处的输入阻抗为:Zin(z)=U(z)/I(z)=jZ0tanβz下图给出了终端短路时沿线电压、电流瞬时变化的幅度分布以及阻抗变化的情形：终端短路线中的纯驻波状态对无耗传输线终端短路情形有以下结论:①沿线各点电压和电流振幅按余弦变化,电压和电流相位差90°,功率为无功功率,即无能量传输;②在

处电压为零,电流的振幅值最大且等于,称这些位置为电压波节点；在

处电压的振幅值最大且等于2|A1|,而电流为零,称这些位置为电压波腹点;③传输线上各点阻抗为纯电抗；在电压波节点处Zin=0,相当于串联谐振；在电压波腹点处|Zin|→∞,相当于并联谐振；在0＜z＜λ/4内,Zin=jX相当于一个纯电感；在λ/4＜z＜λ/2内,Zin=-jX相当于一个纯电容；从终端起每隔λ/4阻抗性质就变换一次,这种特性称为λ/4阻抗变换性。Zin(z)=U(z)/I(z)=jZ0tanβz根据同样的分析,终端开路时传输线上的电压和电流也呈纯驻波分布,因此也只能存储能量而不能传输能量。在

处为电压波腹点；在

处为电压波节点。

实际上终端开口的传输线并不是开路传输线,因为在开口处会有辐射,所以理想的终端开路线是在终端开口处接上λ/4短路线来实现的。无耗终端开路线的驻波特性下图给出了终端开路时的驻波分布特性。O′位置为终端开路处,OO′为λ/4短路线。当均匀无耗传输线端接纯电抗负载Zl=±jX时,因负载不能消耗能量,仍将产生全反射,入射波和反射波振幅相等,但此时终端既不是波腹也不是波节,沿线电压、电流仍按纯驻波分布。由前面分析得小于λ/4的短路线相当于一纯电感,因此当终端负载为Zl=jXL的纯电感时,可用长度小于λ/4的短路线lsl来代替。由Zin(z)=jZ0tanβz得：同理可得,当终端负载为Zl=-jXC的纯电容时,可用长度小于λ/4的开路线loc来代替（或用长度为大于λ/4小于λ/2的短路线来代替）,其中:终端接电抗时驻波分布总之,处于纯驻波工作状态的无耗传输线,沿线各点电压、电流在时间和空间上相差均为π/2,故它们不能用于微波功率的传输,但因其输入阻抗的纯电抗特性,在微波技术中却有着非常广泛的应用。

3.行驻波状态当微波传输线终端接任意复数阻抗负载时,由信号源入射的电磁波功率一部分被终端负载吸收,另一部分则被反射,因此传输线上既有行波又有纯驻波,构成混合波状态,故称之为行驻波状态。设终端负载为Zl=Rl±jXl,可得终端反射系数为:式中:

∵，终端产生部分反射，线上形成行驻波。由上可得传输线上各点电压、电流的时谐表达式为：

U(z)=A1e

jβz

[1+Γle

-j2βz]

I(z)=ejβz[1-Γle-j2βz]

U(z)=U+(z)+U-(z)=A1ejβz［1+Γ(z)］

I(z)=I+(z)+I-(z)=e

jβz［1-Γ(z)］传输线上各点电压、电流的时谐表达式为：

U(z)=A1e

jβz

[1+Γle

-j2βz]

I(z)=ejβz[1-Γle-j2βz]设A1=|A1|ejφ0,则传输线上电压、电流的模值为：

|U(z)|=|A1|[1+|Γl|2+2|Γl|cos(φl-2βz)]1/2|I(z)|=[1+|Γl|2-2|Γl|cos(φl-2βz)]1/2传输线上任意点输入阻抗为复数,其表达式为：相应该处的电压、电流分别为：

|U|max=|A1|［1+|Γl|］

|I|min=［1-|Γl|］讨论:①当cos(φl-2βz)=1时,电压幅度最大,而电流幅度最小,此处称为电压的波腹点,对应位置为：

|U(z)|=|A1|[1+|Γl|2+2|Γl|cos(φl-2βz)]1/2|I(z)|=[1+|Γl|2-2|Γl|cos(φl-2βz)]1/2相应的电压、电流分别为：

|U|min=|A1|［1-|Γl|］

|I|max=［1+|Γl|］②当cos(φl-2βz)=-1时,电压幅度最小,而电流幅度最大,此处称为电压的波节点,对应位置为：

|U(z)|=|A1|[1+|Γl|2+2|Γl|cos(φl-2βz)]1/2|I(z)|=[1+|Γl|2-2|Γl|cos(φl-2βz)]1/2|U|max=|A1|［1+|Γl|］|U|min=|A1|［1-|Γl|］∵电压波腹点的电压、电流分别为：

|U|max=|A1|［1+|Γl|］

|I|min=［1-|Γl|］可得电压波腹点阻抗为纯电阻，其值为：电压驻波比为：同理，电压波节点的电压、电流分别为：

|U|min=|A1|［1-|Γl|］

|I|max=［1+|Γl|］该处的阻抗也为纯电阻,其值为：可见，电压波腹点和波节点相距λ/4,且两点阻抗有如下关系:Rmax·Rmin=Z02实际上,无耗传输线上距离为λ／4的任意两点处阻抗的乘积均等于传输线特性阻抗的平方,这种特性称之为λ/4阻抗变换性。行驻波条件下传输线上电压、电流的分布（1）当终端为纯电阻（即Xl=0），且Z1=R1＞Z0时：Zl=Rl±jXl式中:

Γl实部＞0，虚部=0，φl=0终端为电压波腹、电流波节（2）同理，当终端为纯电阻（即Xl=0），且Z1=R1＜Z0时：终端为电压波节、电流波腹（3）当Zl=Rl+jXl（Xl＞0）时：感性负载，第一个电压腹点在（4）当Zl=Rl+jXl（Xl

＜

0）时：容性负载，第一个电压腹点在［例1-3］设有一无耗传输线,终端接有负载Zl=40-j30(Ω):①要使传输线上驻波比最小,则该传输线的特性阻抗应取多少？②此时最小的反射系数及驻波比各为多少？③离终端最近的波节点位置在何处？④画出特性阻抗与驻波比的关系曲线。解:①要使线上驻波比最小,实质上只要使终端反射系数的模值最小,即：402+302-Z02=0Z0=50Ω这就是说,当特性阻抗Z0=50Ω时终端反射系数最小,从而驻波比也为最小。②此时终端反射系数及驻波比分别为:［例1-3］设有一无耗传输线,终端接有负载Zl=40-j30(Ω):①要使传输线上驻波比最小,则该传输线的特性阻抗应取多少？②此时最小的反射系数及驻波比各为多少？③离终端最近的波节点位置在何处？④画出特性阻抗与驻波比的关系曲线。③由于终端为容性负载,故离终端的第一个电压波节点位置为:④终端负载一定时,传输线特性阻抗与驻波系数的关系曲线如图所示。其中负载阻抗Zl=40-j30(Ω)。由图可见，当Z0=50Ω时驻波比最小,与前面的计算相吻合。

【1.3】设特性阻抗为Z0的无耗传输线的驻波比为，第一个电压波节点离负载的距离为lminl，试证明此时终端负载应为：1min1min0ltanjtanj1llZZbrbr--=

【1.4】有一特性阻抗Z0=50Ω的无耗均匀传输线,导体间的媒质参数εr=2.25，μr=1,终端接有Rl=1Ω的负载。当f=100MHz时,其线长度为λ/4。试求：①传输线实际长度。②负载终端反射系数。③输入端反射系数。④输入端阻抗。无耗传输线上距离为λ／4的任意两点处阻抗的乘积均等于传输线特性阻抗的平方。

1.4传输线的传输功率、效率和损耗

1.传输功率与效率设传输线均匀且γ=α+jβ(α≠0),则沿线电压、电流的解为:

U(z)=A1[eαz

ejβz+Γle

–jβz

e

–αz]

I(z)=[eαz

ejβz-Γle-jβze

–αz]假设Z0为实数,Γl=|Γ1|ejφl，由电路理论可知，传输线上任一点z处的传输功率为:其中,Pin(z)为入射波功率,为反射波功率。功率传输示意图实际上，入射波功率、反射波功率和传输功率可直接由下式计算：终端负载在z=0处,故负载吸收功率为：设传输线总长为l,将z=l代入上式,则始端入射功率为：由此可得传输线的传输效率为：当负载与传输线阻抗匹配时,即|Γl|=0,此时传输效率最高,其值为：ηmax=e-2αl

可见,传输效率取决于传输线的损耗和终端匹配情况。工程上，功率值常用分贝来表示，这需要选择一个功率单位作为参考，常用的参考单位有1mW和1W。如果用1mW作参考，则分贝表示为：P(dBm)=10lgP(mW)如1mW=0dBm，10mW=10dBm，1W=30dBm，0.1mW=-10dBm。

如果用1W作参考，则分贝表示为：

P(dBW)=10lgP(W)如1W=0dBW，10W=10dBW，0.1W=-10dBW。

2.回波损耗和插入损耗

传输线的损耗可分为回波损耗和反射损耗。回波损耗定义为入射波功率与反射波功率之比,即：对于无耗线,α=0，Lr与z无关,即：若负载匹配,则|Γl|=0，Lr→-∞，表示无反射波功率。插入损耗定义入射波功率与传输功率之比，以分贝来表示为：它包括：输入和输出失配损耗和其他电路损耗（导体损耗、介质损耗、辐射损耗）。若不考虑其他损耗，则：式中，为传输线上驻波系数。此时，由于插入损耗仅取决于失配情况，故又称为失配损耗。总之，回波损耗和插入损耗虽然都与反射信号即反射系数有关，但回波损耗取决于反射信号本身的损耗，|Γl|越大，则|Γr|越小；而插入损耗|Li|则表示反射信号引起的负载功率的减小，|Γl|越大，则|Li|也越大。下图是回波损耗|Lr|和插入损耗|Li|随反射系数的变化曲线：

[例1-4]现有同轴型三路功率分配器，如下图所示，设该功分器在2.5GHz-5.5GHz频率范围内其输入端的输入驻波比均小于等于1.5，插入损耗为，设输入功率被平均地分配到各个输出端口，试计算：（1）输入端的回波损耗（用分贝表示）；（2）每个输出端口得到输出功率与输入端总输入功率的比值（用百分比表示）。解：（1）由于驻波比为1.5，因而反射系数的大小为：

三路功率分配示意图故输入端的回波损耗为：

于是：

可见，由于输入失配，有4%的功率返回到输入端口。（2）设传输功率为，由于插入损耗为，故：

有：

该功率均匀分配到三个端口，则每个输出端口得到输出功率与输入端口总输入功率的比值应为：

因此有：

可见，输入功分器的功率分可分为反射功率，输出功率和损耗功率三部分。

1.5阻抗匹配1)信号源给出功率是否最大，2)信号源给出功率是否全部被负载吸收，衡量一个微波传输系统质量优劣的主要指标：理想微波传输系统：信号源向传输线给出最大功率且全部被负载吸收，1.传输线的三种匹配状态

1)负载阻抗匹配负载阻抗匹配是负载阻抗等于传输线的特性阻抗的情形,此时传输线上只有从信源到负载的入射波,而无反射波。匹配负载完全吸收了由信源入射来的微波功率;而不匹配负载则将一部分功率反射回去,在传输线上出现驻波。当反射波较大时,波腹电场要比行波电场大得多,容易发生击穿,这就限制了传输线能最大传输的功率,因此要采取措施进行负载阻抗匹配。负载阻抗匹配一般采用阻抗匹配器。

2)源阻抗匹配电源的内阻等于传输线的特性阻抗时,电源和传输线是匹配的,这种电源称之为匹配源。对匹配源来说,它给传输线的入射功率是不随负载变化的,负载有反射时,反射回来的反射波被电源吸收。可以用阻抗变换器把不匹配源变成匹配源,但常用的方法是加一个去耦衰减器或隔离器,它们的作用是吸收反射波。3)共轭阻抗匹配设信源电压为Eg,信源内阻抗Zg=Rg+jXg,传输线的特性阻抗为Z0,总长为l,终端负载为Zl,如图（a）所示,则始端输入阻抗Zin为：无耗传输线信源的共扼匹配由图(b)可知,负载得到的功率为：无耗传输线信源的共扼匹配

要使负载得到的功率最大,首先要求：Xin=-Xg

此时负载得到的功率为：可见当

时P取最大值,此时应满足：

Rg=Rin

因此,对于不匹配电源,当负载阻抗折合到电源参考面上的输入阻抗为电源内阻抗的共轭值时,即当时,负载能得到最大功率值。通常将这种匹配称为共轭匹配。

此时，负载得到的最大功率为：Xin=-Xg

Rg=RinXin=-Xg

Rg=Rin2.阻抗匹配的方法

对一个由信源、传输线和负载阻抗组成的传输系统(如上图所示),希望信号源在输出最大功率的同时,负载全部吸收,以实现高效稳定的传输。

因此一方面应用阻抗匹配器使信源输出端达到共轭匹配,另一方面应用阻抗匹配器使负载与传输线特性阻抗相匹配,如下图所示。

由于信源端一般用隔离器或去耦衰减器以实现信源端匹配,因此我们着重讨论负载匹配的方法。隔离器/去耦衰减器阻抗匹配方法从频率上划分为窄带匹配和宽带匹配；从实现手段上划分为串联λ/4阻抗变换器法、支节调配器法。下面就来分别讨论两种阻抗匹配方法。Zin=Z0负载匹配方法：在负载与传输线之间接入匹配装置，在匹配

装置处的Zin=Z0（传输线的特性阻抗）。实质：人为产生一反射波，与实际负载的反射波相抵消。1)λ/4阻抗变换器法当负载阻抗为纯电阻Rl且其值与传输线特性阻抗Z0不相等时,可在两者之间加接一节长度为λ/4、特性阻抗为Z01的传输线来实现负载和传输线间的匹配,如下图所示：

由无耗传输线输入阻抗公式得：

因此当传输线的特性阻抗

时,输入端的输入阻抗Zin=Z0，从而实现了负载和传输线间的阻抗匹配。

由于传输线的特性阻抗为实数,所以λ/4阻抗变换器只适合于匹配电阻性负载。

若负载是复阻抗,则需先在负载与λ/4变换器之间加一段传输线,使变换器在主线的电压波腹点或波节点接入，使变换器的终端为纯电阻,然后用λ/4阻抗变换器实现负载匹配,如下图所示：

由于λ/4阻抗变换器的长度取决于波长,因此严格说它只能在中心频率点才能匹配,当频偏时匹配特性变差,所以说该匹配法是窄带的。2)支节调配器法

分支阻抗调配器是在距离负载某固定位置上并联或串联终端短路或开路的传输线段构成。支节数可以是一条、两条、三条或更多。（1）串联单支节调配器

设传输线和调配支节的特性阻抗均为Z0,负载阻抗为Zl,长度为l2的串联单支节调配器串联于离主传输线负载距离l1处,如图所示：

设终端反射系数为|Γl|ejфl,传输线的工作波长为λ,驻波系数为ρ,由无耗传输线状态分析可知,离负载第一个电压波腹点位置及该点阻抗分别为：

令l1′=l1-lmax1,并设参考面AA′处输入阻抗为Zin1,则有：终端短路的串联支节输入阻抗为：Zin2=jZ0tan(βl2)则总的输入阻抗为：要使其与传输线特性阻抗匹配,应有：R1=Z0，

X1+Z0tan(βl2)=0经推导可得(取其中一组解)：其中：其中,λ为工作波长。其中,λ为工作波长。AA′距实际负载的位置l1为：l1=l1′+lmax1

由上两式就可求得串联支节的位置及长度。另一组解为：

［例1-5］设无耗传输线的特性阻抗为50Ω,工作频率为300MHz,终端接有负载Zl=25+j75(Ω),试求串联短路匹配支节离负载的距离l1及短路支节的长度l2。

解:由工作频率f=300MHz,得工作波长λ=1m。终端反射系数：驻波系数：

第一波腹点位置：

调配支节位置：调配支节的长度：或：并联单支节调配器

设终端反射系数为|Γl|ejфl,传输线的工作波长为λ,驻波系数为ρ，由无耗传输线状态分析可知，离负载第一个电压波节点位置及该点导纳分别为：（2）并联调配器

设传输线和调配支节的特性导纳均为Y0,负载导纳为Yl,长度为l2的单支节调配器并联于离主传输线负载l1处,如图所示。

令，并设参考面AA′处的输入导纳为Yin1,则有：终端短路的并联支节输入导纳为：

则总的输入导纳为：并联单支节调配器要使其与传输线特性导纳匹配,应有：

G1=Y0

B1tan(βl2)-Y0=0由此可得其中一组解为：其中：

l1′=

l2=另一组解为：

而AA′距实际负载的位置l1为：l1=l

1′+lmin1

[1.12]

在特性阻抗为600Ω的无耗双导线上测得|U|max为200V，|U|min为40V,第一个电压波节点的位置lmin1=0.15λ,求负载Zl。今用并联支节进行匹配,求出支节的位置和长度。[1.12]

在特性阻抗为600Ω的无耗双导线上测得|U|max为200V，|U|min为40V,第一个电压波节点的位置lmin1=0.15λ,求负载Zl。今用并联支节进行匹配,求出支节的位置和长度。1.6史密斯圆图及其应用

史密斯圆图(Smithchart)是利用图解法来求解传输线上任一点的参数。在传输线上任一参考面上定义三套参量：①反射系数Γ；②输入阻抗Zin；③驻波系数ρ1.阻抗圆图

传输线上任意一点的反射函数Γ(z)可表达为：

其中，

为归一化输入阻抗。为一复数，它可以表示为极坐标形式，也可以表示成直角坐标形式。

当表示为极坐标形式时，对于无耗线，有：

反射系数极坐标表示

圆图就是将两组等值线簇印在一张图上而形成的。

将阻抗函数作线性变换至G圆上。z

增加时向电源方向，角度f(z)在减小，顺时针转。反射系数圆图z减小时向负载方向，角度φ(z)在增大，逆时针转。沿等反射系数圆转过角度：电压波腹点：

φ=0的径向线为各种不同负载阻抗情况下电压波腹点反射系数的轨迹——正实轴由（0，0）到（1，0）一段直线，特别（1，0）为开路点。

φ=π的径向线为各种不同负载阻抗情况下电压波节点反射系数的轨迹——对应正实轴由（－1，0）到（0，0）一段直线，特别（－1，0）为短路点。电压波节点：当将Γ(z)表示成直角坐标形式时，有：传输线上任意一点归一化阻抗为：令 ，则可得以下方程：这两个方程是以归一化电阻和归一化电抗为参数的两组圆方程。归一化电阻圆(resistancecircle)归一化电抗圆(reactancecircle)电阻圆的圆心在实轴(横轴)(r/(1+r),0)处，半径为1/(1+r)，r愈大圆的半径愈小。当r=0时，圆心在(0,0)点，半径为1；当r→∞时，圆心在(1，0)点，半径为零。归一化电阻圆(resistancecircle)归一化电阻圆电抗圆的圆心在(1,1/x)处，半径为1/x。由于x可正可负，因此全簇分为两组，一组在实轴的上方，另一组在下方。当x=0时，圆与实轴相重合；当x→±∞时，圆缩为点(1，0)。归一化电抗圆(reactancecircle)归一化电抗圆(a)归一化电阻圆；(b)归一化电抗圆将上述的反射系数圆图、归一化电阻圆图和归一化电抗圆图画在一起，就构成了完整的阻抗圆图，也称为史密斯圆图。在实际使用中，一般不需要知道反射系数Γ的情况，故不少圆图中并不画出反射系数圆图。由上述阻抗圆图的构成可以知道：①在阻抗圆图的上半圆内的电抗x＞0呈感性，下半圆内的电抗x＜0呈容性。②实轴上的点代表纯电阻点，左半轴上的点为电压波节点，其上的刻度既代表rmin又代表行波系数K，右半轴上的点为电压波腹点，其上的刻度既代表rmax又代表驻波比ρ。

③圆图旋转一周为λ/2。

④|Γ|=1的圆周上的点代表纯电抗点。

⑤实轴左端点为短路点，右端点为开路点，中心点处有

，是匹配点。⑥在传输线上由负载向电源方向移动时，在圆图上应顺时针旋转；反之，由电源向负载方向移动时，应逆时针旋转。r、x、|Γ|和φ，任意知道两个参量即可得到另两点在原图上的位置。

2．导纳圆图根据归一化导纳与反射系数之间的关系可以画出另一张圆图，称作导纳圆图。实际上，由无耗传输线的的阻抗变换特性，将整个阻抗圆图旋转即得到导纳圆图。因此，一张圆图理解为阻抗圆图还是理解为导纳圆图，视具体解决问题方便而定。比如，处理并联情况时用导纳圆图较为方便，而处理沿线变化的阻抗问题时使用阻抗圆图较为方便。由归一化阻抗和导纳的表达式:将归一化阻抗表示式中的则，也就是，阻抗圆图变为导纳圆图。现在来说明阻抗圆图如何变为导纳圆图。

式中，g是归一化电导，b是归一化电纳。由于，所以让反射系数圆在圆图上旋转180，本来在阻抗圆图上位于A点的归一化阻抗，经过变换，则A点移到B点，B点代表归一化导纳在导纳圆图上的位置如图所示。作变换在圆图上的表示由于，即当x=0时g=1/r，当r=0时b=1/x，所以阻抗圆图与导纳圆图有如下对应关系：当实施Γ→-Γ变换后，匹配点不变，r=1的电阻圆变为g=1的电导圆，纯电阻线变为纯电导线；x=±1的电抗圆弧变为b=±1的电纳圆弧，开路点变为短路点，短路点变为开路点；上半圆内的电纳b＞0呈容性；下半圆内的电纳b＜0呈感性。阻抗圆图与导纳圆图的重要点、线、面的对应关系如图所示。阻抗圆图上的重要点、线、面导纳圆图上的重要点、线、面

[例1-6］已知传输线的特性阻抗Z0=50Ω，如图所示。假设传输线的负载阻抗为Zl=25+j25Ω，求离负载z=0.2λ处的等效阻抗。解：先求出归一化负载阻抗 ，在圆图上找出与此相对应的点P1,以圆图中心点O为中心，以OP1为半径，顺时针(向电源方向)旋转0.2λ到达P2点，查出P2点的归一化阻抗为2-j1.04Ω，将其乘以特性阻抗即可得到z=0.2λ处的等效阻抗为100-j52Ω。［例1-7］在特性阻抗Z0=50Ω的无耗传输线上测得驻波比ρ=5，电压最小点出现在z=λ/3处，如图所求负载阻抗。解：电压波节点处等效阻抗为一纯电阻：此点落在圆图的左半实轴上，从rmin=0.2点沿等ρ(ρ=5)的圆反时针(向负载方向)转λ/3，得到归一化负载为：故负载阻抗为：［例1-8］设负载阻抗为Zl=100+j50Ω接入特性阻抗为Z0=50Ω的传输线上，如图所示，要用支节调配法