第四节：幂级数

第四节幂级数一、函数项级数的概念称为定义在U上的（函数项）无穷级数，（1）简称级数。（2）对于每一个确定的（2）即为一常数项级数。考虑区间U上的一个函数序列代入（1）式得（1）（2）对于每一个确定的代入（1）式得若（2）收敛，则称为函数项级数（1）的收敛点，若（2）发散，则称为函数项级数（1）的发散点，所有收敛点的全体称为（1）的收敛域，记为散点的全体称为（1）的发散域，记为所有发常数项级数都收敛，其和记为（1）所有收敛点的全体称为（1）的收敛域，记为散点的全体称为（1）的发散域，记为所有发常数项级数都收敛，其和记为即称s(x)为（1）的和函数，和函数的定义域即为I。两个基本问题：（1）如何确定（1）的收敛域？（2）如何在收敛域上求（1）的和函数？二、幂级数及收敛性（1）当（2）在变量代换的幂级数，时，上述幂级数成为下，（1）就化为（2）了形如的函数项级数称为（2）对于幂级数（2），（1）如何确定它的收敛域

I；（2）在收敛域内，如何求它的和函数

s(x)。主要有两个问题:考察幂级数这是公比为x的几何级数，（1）当|x|<1时，级数收敛，（2）当|x|1时，级数发散，（1）所以（1）的收敛域为（1）的发散域为在收敛域内，（1）的和函数为即（1）的收敛域是一个以原点为中心的对称区间。又例：解：将该幂级数看成参数为x的任意项常数级数，并用常数项级数收敛性判别法进行判别。结论：当|x|<1时，级数收敛，当|x|>1时发散当x=–1时，级数收敛。当x=1时级数发散。特点：除去端点–1外，收敛域I是以原点为中心的对称区间。收敛域为收敛域的上述特点对一般的幂级数也成立的。定理1（阿贝尔定理）：如果级数时收敛，时，反之，如果级数当则当幂级数绝对收敛当时发散，时，则当幂级数发散。定理1的几何解释：（1）幂级数的收敛点都集中在以原点为中心的左右两侧。（2）推论：如果级数使得（1）当|x|<R时，不是仅在x=0一点收敛，也不是在整个数轴上收敛，则必有一个确定的正数R

绝对收敛，（2）当|x|>R时，发散，（3）当x=

R时，可能收敛，也可能发散称上述R为收敛区间的收敛半径，为收敛区间+收敛的端点规定：仅在x=0处收敛，则（2）若在整个数轴上收敛，则=收敛域（1）若问题：如何求的收敛半径？定理2：考虑幂级数如果其中，是级数相邻两项的系数，则求幂级数（1）利用极限（2）判定幂级数在端点确定收敛半径R

处的收敛性，收敛域的一般步骤：（3）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。及收敛区间例1：当x=–1时，当x=1时，交错级数且收敛

，所以，所求收敛域为：发散解：例2：求幂级数的收敛域解：例3：求幂级数的收敛域解：t=–1，交错级数且收敛，t=1，调和级数且发散例4：求幂级数的收敛域解：当x=2时，原级数成为发散，故×理由：原级数中缺少偶数次幂的项：所以R=2，实际上解：因原级数为缺项级数，定理2不能直接应用。此时要用任意常数项级数的比值判别法来求例4：求幂级数的收敛域当即当即时，级数收敛时，时，发散，时，解：例4：求幂级数的收敛域当即当即时，级数收敛时，时，发散，时，当发散所以原级数的收敛域为时，原级数成为解：例5：求幂级数的收敛域幂级数缺少奇次幂的项，所以原级数的收敛域为原级数成为也可先作变量替换：可按例4的方法处理这是关于t的幂级数，且没有缺项可直接用定理2求收敛半径和收敛域：（二）幂级数性质性质1：如果两个幂级数的收敛半径分别为则有且收敛半径R满足：性质2：幂级数的和函数s(x)在收敛域I上连续；例如：收敛域为：故其和函数s(x)在上连续性质3：幂级数逐项积分后所得级数的和函数s(x)在收敛域I上可积，并有逐项积分公式其收敛半径与原级数相同。并求常数项级数解：级数成为发散所以收敛域为例1：求的收敛域及和函数，的和。设幂级数在I上的和函数为s(x),则例1：求并求常数项级数解：的收敛域及和函数，的和。例1：求并求常数项级数解：的收敛域及和函数，的和。例1：求并求常数项级数解：的收敛域及和函数，的和。性质4：幂级数逐项求导后所得级数的和函数s(x)在收敛区间内可导，并有逐项求导公式其收敛半径与原级数相同。例2：求的和函数解