第四章质点组动力学1

第四章质点组动力学§4.1质点组§4.2动量定理与动量守恒律§4.3动量矩定理与动量矩守恒律§4.4动能定理与机械能守恒律§4.5两体问题本章主要学习内容

前一章研究了单个质点的运动问题，本章进一步研究一群质点的集合体。把有多个相互联系着的质点组成的系统叫做质点组。质点组动力学的研究方法如果按质点动力学的方法列写每个质点的运动微分方程式，则方程数太多出现未知的内力减少描述质系运动的未知量数目

不研究每个质点，而将质系作为一个整体，研究表征质系动力学的物理量（动量、动能等）的变化§4.1质点组一、质点组的内力和外力1、内力（internalforce）质点组内部各质点之间的相互作用力（满足牛顿第三定律）。j对i的作用力内力的性质1：所有内力的矢量和等于零。内力的性质2：所有内力对任一点的矩（或对任一轴的矩）的矢量和等于零。内力§4.1质点组2、外力（externalforce）质点组以外的物体对质点组内任一质点的作用力。§4.1质点组在力学中，如果一个质点组不受任何外力作用，则叫做孤立系或闭合系。3、孤立系（闭合系）§4.1质点组二、质心（centerofmass）1、引入质心的目的（简化问题的处理）2、质心位置矢量的定义：质心的位矢是质点组中各质点的位置以其质量为权重的平均矢量。它可以代表质点组的整体位置。§4.1质点组3、质心满足叠加原理：质心位矢的分量形式为：§4.1质点组4、对于质量连续分布的物体，上述公式中的求和号应改为积分：(线，面，体)§4.1质点组3、质心的位矢与所选参考系有关。注意：2、质心与重心不一样。只有当物体的线度远小于地球的线度且各点重力加速度相同二者才重合。1、对质量分布均匀的规则物体来讲，质心和几何中心重合。例题如图所示，自半径为a的球上，用一与球心相距为b的平面，切出一球形帽，求球帽的质心。az§4.2动量定理与动量守恒律一、质点组动量定理将n个质点的运动微分方程加起来应用牛顿第二定律，第i个质点运动微分方程为外力矢量和内力矢量和根据牛顿第三定律已知合内力为0，于是对此式左边可进一步改写为质点组的动量§4.2动量定理与动量守恒律其中故：质点组动量定理或诸外力作用在质点组上的元冲量此形式与单个质点的动量定理相似。§4.2动量定理与动量守恒律分量形式：§4.2动量定理与动量守恒律质点组动量=质心动量）

二、质心运动定理§4.2动量定理与动量守恒律质心运动定理物理意义质心的运动，犹如这样一个质点的运动，这个质点的质量等于整个质点组的质量，作用在此质点上的力等于作用在质点组上所有外力的矢量和。（质点组动力学第一基本定理）§4.2动量定理与动量守恒律三、动量守恒律质点组不受外力或合外力为0时，由动量定理可得:故而因此质点组动量守恒律（质心作惯性运动）§4.2动量定理与动量守恒律或即动量守恒律还适于各外力在某一轴上投影之和为零的情形。§4.2动量定理与动量守恒律注意：1、动量守恒定律只适用于惯性系。定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动量和应是同一时刻的动量之和。2、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。3、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，往往可忽略外力（外力与内力相比小很多）——近似守恒条件。4、动量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方向为零。）——部分守恒条件5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。是比牛顿定律更普遍的最基本的定律

例一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为m，炮身和炮车质量和等于M，炮车可以自由地在铁轨上反冲。如炮身与地面成一角度α，炮弹相对炮身的速度为V，试求炮弹离开炮身时对地面的速度v及炮车反冲的速度U。解：本题沿水平方向（设为x方向）无外力作用，因为火药爆炸力是内力，故沿x方向动量守恒，即UVαxy（1）（用绝对速度，不能用相对速度）§4.2动量定理与动量守恒律又由相对运动关系，知：（2）UVαxy由（1）及（2）得：§4.2动量定理与动量守恒律§4.2动量定理与动量守恒律§4.3动量矩定理和动量矩守恒定律

(1)对固定点o的动量矩设有n个质点所组成的质点组，对第i个质点而言有：则对n个质点的运动微分方程相加并从左面矢乘又质点组的动量矩定律为：或其分量式为：（2）动量矩守恒定律如果所有作用在质点组上的外力对某一点O的合力矩为零，则：如果所有作用在质点组上的外力对某一点O的合力矩虽然不为零，但对通过原点O的某一坐标轴的力矩为零，则：（3）质点组相对质心的动量矩定理作用在第i个质点上外力的合力作用在第i个质点上内力的合力第i个质点的牵连惯性力质点组对质心的动量矩L’诸外力对质心C的力矩之和质点组对质心的动量矩定理质点组对质心C的动量矩对时间的微商等于所有外力矩对质心C的力矩之和，此时各质点的惯性力矩相互抵消为零！讨论：1）质心虽然是动点，但对质心可以和固定点一样写出其动量矩定理2）若外力对质心的力矩的矢量和为零，则对质心的动量矩必然守恒随堂小议（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。两人质量相等O一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略小议链接1（同高爬）两人质量相等O一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。小议分析Om12mv12vR同高从静态开始往上爬忽略轮、绳质量及轴摩擦质点系m12m,若m12m系统受合外力矩为零，角动量守恒。系统的初态角动量系统的末态角动量m1v1R2m2vR0得2vv1不论体力强弱，两人等速上升。若m12m系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。力矩为例：在具有水平轴的滑轮上悬有一根绳子，绳子的两端距通过该轴水平面的距离为r。两个质量分别为m和m’的人抓着绳子的两端，他们同时开始以匀加速度向上爬并同时到达滑轮轴所在的水平面。假设滑轮的质量可忽略，且所有的阻力也都忽略不计，问需多久时间，两人可以同时到达？解：令滑轮的半径为r，A爬绳的速度为v，B的速度为，则他们对通过滑轮中心的水平轴的动量矩为由动量矩定理，得或若t为共同到达时间，则解得§4.4动能定理与机械能守恒律一、质点组的动能定理由质点的动能定理（微分形式）应用到质点组中的任一质点上对i求和，得质点组的动能定理§4.4动能定理与机械能守恒律（质点组动力学第三基本定理）在动量定理和动量矩定理中，内力的影响均被抵消；但在动能定理中，除非在特殊情况下（如刚体），内力的影响通常不能被抵消。注意注意：内力的功一般不为零。12对质点组而言，内力作功之和一般并不等于0，故若只有外力是保守力而内力并不是保守力时，则质点组的机械能不守恒。其中E为总能量，T为质点组动能，V为质点组势能（它包括内力的势能和外力的势能）。二、机械能守恒律只有作用在质点组上的所有外力及内力都是保守力（或其中只有保守力做功）时，机械能才守恒：§4.4动能定理与机械能守恒律将质点的绝对运动分解成质点相对质心的相对运动和质心相对绝对原点的牵连运动，可得其中m为质点组总质量。三、柯尼希定理§4.4动能定理与机械能守恒律质心的动能各质点对质心的动能例题.一半径为R，质量为m的均质圆盘，直立在水平面上向前滚动而不滑动，若圆心的速度为，求圆盘的动能解：由柯尼希定理圆盘相对于其质心轴作定轴转动cP圆盘作纯滚动的条件：四、对质心的动能定理§4.4动能定理与机械能守恒律由用相对于质心系的位移点乘两边，并对i求和而因此，可得即：质点组对质心动能的微分，等于质点组相对于质心系位移时内力及外力所作元功之和。与相对于惯性系的质点组动能定理形式相同！此时，质心虽然是动点，但惯性力做功之和为零！与动量矩定理相似！§4.4动能定理与机械能守恒律例

质量为m1及m2的两自由质点互相以力吸引，引力与其质量成正比，与距离平方成反比，比例常数为k。开始时，两质点皆处于静止状态，其间距离为a。试求两质点的距离为a/2时两质点的速度。解无外力，动量守恒万有引力为保守力，机械能守恒解得用动能定理积分能得同样结果小结质点组的三个动力学基本定理（静系）动量定理动量矩定理动能定理或或质点组的三个动力学基本定理（C系）动量定理动量矩定理动能定理或质点组的三个守恒律动量动量矩机械能作用在质点组上的所有外力及内力都是保守力§4.5两体问题一、（P,S）系统的运动特点对太阳:对行星：①+②式，得而质心：因此，§4.5两体问题讨论①质心不受力，作惯性运动。(万有引力是内力，质点组动量、能量守恒）②太阳、行星绕质心作圆锥曲线运动。证明：令行星对C的运动学方程为：§4.5两体问题同理，太阳对C的运动学方程为：力与距离平方成反比，故太阳、行星均绕（P,S）系统的质心作圆锥曲线运动。§4.5两体问题③地球对太阳的相对运动方程（2）－（1）式，得定义：折合质量则§4.5两体问题（可看作一个质量为μ的物体受太阳（不动）引力情况）§4.5两体问题④两体问题：不考虑行星间的相互吸引。多体问题：天体力学、量子力学中经常用到，用微扰法（摄动法）求解。小结一.基本要求1.概念质点组；质心；内力、外力及其性质；2.掌握质点组的动量定理，动量矩定理，动能定理。(惯性系，质心系)3.运用三个基本定理及守恒律和质心运动定理求解质点组动力学问题。4.两体问题。一、