第四章系统运动的稳定性

第四章系统运动的稳定性

外部稳定性

Lyapunov意义下的稳定性问题Lyapunov稳定性理论线性系统的Lyapunov稳定性分析Lyapunov函数的构造问题离散系统的状态运动稳定性及判据Lyapunov函数的存在性通常情况下，可以采取两种方式来定义系统的稳定性，一个是通过输入输出这两个外部变量之间的关系来表征的外部稳定性，另外一种是通过零输入状态运动的响应来表征的内部稳定性。因为由输入输出表征的外部描述是系统的一种不完全的描述，所以由这种关系来表征的外部稳定性也是不能完全反应出系统运动的稳定特性，只有在一定的条件下，系统的外部稳定性才有可能是完全的，也就是等价于系统的内部稳定性。第一节

外部稳定性定义：考虑线性因果系统，如果对应于一个有界的输入u(t)，即满足其输出y(t)也是有界的，即则称此因果系统是外部稳定的，或有界输入有界输出稳定的，记为BIBO稳定。解释：因果系统：就是说系统的输出只和当前时刻及其以前各个时刻的输入有关，而与以后时刻的输入无关。在讨论系统的外部稳定性时，必须假设系统的初始条件为零，这是因为只有在这种情况下，系统的输入输出外部描述才是唯一的，有意义的。根据脉冲响应矩阵来判别系统的外部稳定性Case1.SISO系统利用脉冲响应矩阵，写出系统的输出:当输入有界，可导出系统的输出要想保证有界，即存在一个有限常数k使得

即绝对可积的。Case2.MIMO系统系统输出y(t)的某个分量yi(t)可以写成有限项之和，即利用上面的SISO系统的结论，就可以推导出MIMO系统外部稳定性就等价于：或称为有界的，绝对可积的。定理4.1.1：给定零初始条件下的线性时变系统，为脉冲响应矩阵，则系统为BIBO稳定的充要条件是存在一有限常数k，使得对一切时间,脉冲响应矩阵的每个元均满足关系式定理4.1.2：对于初始条件为零的线性定常系统，初始时刻为t0＝0，G(t)是脉冲响应矩阵，G(s)是传递函数矩阵，则系统BIBO稳定性的充要条件是存在一个有限常数k，使得脉冲响应矩阵的每个元均满足关系式或等价的说当G(s)为真有理分式函数矩阵时，G(s)的每个元也就是传递函数gij(s)的所有极点均具有负实部。举例：在左串联一个补偿器之后，系统是BIBO稳定的，但该系统的BIBO稳定取决于两个条件，第一是零极点对消，第二初始条件为零。由于元件老化，外加扰动信号的作用使得这两个条件很容易被破坏，此时即使输入有界，输出也会以et形式，随着t的增加而无限增加，最终使系统饱和或受到破坏。如果把补偿器串联在被控系统之后，该系统是BIBO稳定的，且单就输出而言，y(t)只受模态e－t的控制，只要输入是有界的，那么输出必定是有界的，而且对初始状态没有任何限制，可以处于二维状态空间中的任何位置。但是考虑到系统的内部特性，系统状态随着时间的增加，是按指数et无限上升，导致系统饱和或受到破坏。从本例中可以看出研究系统由于外界扰动而偏离原来的静止状态所产生的运动能够更深刻的揭示出系统是否稳定，这就是系统的内部稳定性。系统的内部稳定性是考虑在外加扰动作用下系统产生的运动的性质，一般外加扰动指的是非零初始状态和外加输入作用下，在非零初始状态作用下引起的状态运动是属于系统本质上的一些特性，就把它称为稳定性，第二节Lyapunov意义下的稳定性平衡状态、受扰运动与扰动方程的原点Lyapunov意义下的稳定性定义线性系统平衡状态稳定性判据一平衡状态、给定运动与扰动方程之原点定义：考虑如下非线性系统如果在该系统中，总存在则称为系统的平衡状态或平衡点。

如果系统是线性定常的，，则当A为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态；当A为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。对于非线性系统，可有一个或多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解。任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡状态）都可通过坐标变换，统一化为扰动方程的坐标原点，即f(0,t)=0。在本章中，除非特别申明，我们将仅讨论扰动方程关于原点()处平衡状态的稳定性问题。这种“原点稳定性问题”使问题得到极大简化，而不会丧失一般性，从而为稳定性理论的建立奠定了坚实的基础，这是Lyapunov的一个重要贡献。所谓系统运动的稳定性，也就是研究平衡状态的稳定性，也就是当受扰运动偏离平衡状态之后，能不能依靠自身系统的内部结构因素，而返回到平衡状态，或是限制在它的一个有限邻域之内。下面给出几种不同的lyapunov意义下的稳定性定义。二Lyapunov意义下的稳定性定义设系统的平衡状态的H邻域为其中H>0，为向量的2范数或欧几里德范数，即

类似地，也可以相应定义球域S(）和S(）。域S()制约着初始状态x0，而域S()是起始于x0的轨迹的边界。在H邻域内，若对任意给定的，均有(1)如果对应于每一个S(），存在一个S((,t0))，使得当t趋于无穷时，始于S()的轨迹不脱离S(），则系统的平衡状态称为在Lyapunov意义下是稳定的。一般地，实数与和t0有关，如果

与t0无关，则此时平衡状态称为一致稳定的平衡状态。含义：首先选择一个域S()，对应于每一个S()，必存在一个域S()，使得当t趋于无穷时，始于S()的轨迹总不脱离域S()，反映出状态运动的有界性。注意：此定义仅要求状态轨迹位于S()域内，并不要求它逼近平衡状态，所以它容许在平衡状态附近存在连续振荡，其状态轨迹是一条被称为极限环的闭合回路，极限环反映了振荡频率和振荡幅度。

以二维状态空间为例，平衡状态为原点L稳定平衡状态及典型轨迹(2)如果平衡状态原点，在Lyapunov意义下是稳定的，并且始于域S()的任一条轨迹，当时间t

趋于无穷时，都不脱离S()，且收敛于，则称系统的平衡状态为渐近稳定的，其中球域S()被称为平衡状态的吸引域。如果在上述定义中，实数

与t0无关，则此时平衡状态称为一致渐近稳定的。直观含义：第一点平衡状态是laypunov稳定的，它反映了系统运动的有界性，由区域S()出发的任何受扰运动都保持在区域S()内，第二点反映的是运动的渐近性，也就是从区域S()出发的任何受扰运动不仅都保持在S()这样一个较大的区域内，而且随着时间的增加，它可以渐近地趋向于一个任意小的区域内，并最终趋近于平衡状态原点。渐近稳定平衡状态及典型轨迹

从工程应用角度来看，渐近稳定性比纯稳定性更重要。实际上，渐近稳定就是工程意义下的稳定，而laypunov意义下的稳定则是工程意义下的临界不稳定。另外对于时变系统，考虑它的一致渐近稳定性要比渐近稳定性有意义的多。按指数渐近稳定是一致渐近稳定性中的特例，它明确规定了系统状态趋近于平衡状态原点的方式，即按指数形式或按比指数衰减更快的方式趋近原点。对于线性系统来讲，它的一致渐近稳定性就是按指数渐近稳定。(3)对所有的状态（状态空间中的所有点），如果由这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定性，或者说，如果系统的平衡状态渐近稳定的吸引域为整个状态空间，则称此时系统的平衡状态为大范围渐近稳定的。显然，大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中只有一个平衡状态。而且对于线性来讲，根据叠加原理，原点的渐近稳定就等价于它的大范围渐近稳定。在控制工程问题中，总希望系统具有大范围渐近稳定的特性。如果平衡状态不是大范围渐近稳定的，那么问题就转化为确定渐近稳定的最大范围或吸引域，这通常非常困难。通常，对所有的实际问题，如能确定一个足够大的渐近稳定的吸引域，以致扰动不会超过它就可以了。(4)如果对于某个实数>0和任一实数

>0，在S（）内总存在一个状态，使得始于这一状态的轨迹最终会脱离开S(），那么平衡状态称为不稳定的。下面给出各种稳定性之间的关系：非线性时变系统：L稳定渐近稳定全局渐近稳定

一致稳定一致渐稳全局一致渐稳按指数稳定全局按指数稳定非线性定常系统：一致性概念消失线性时变系统：全局与局部等价，且按指数稳定就等价于一致渐近稳定线性定常系统：全局与局部等价，且一致性概念消失，渐近稳定就是按指数稳定。在经典控制理论中，我们已经学过稳定性概念，它与Lyapunov意义下的稳定性概念是有一定的区别的，例如，在经典控制理论中只有渐近稳定的系统才称为稳定的系统。在Lyapunov意义下是稳定的，但却不是渐近稳定的系统，则叫做不稳定系统。两者的区别与联系如下表所示。经典控制(线性系统）不稳定(Re(s)>0)临界情况(Re(s)=0)稳定(Re(s)<0)Lyapunov意义下不稳定稳定渐近稳定三线性系统平衡状态稳定性判据

稳定性判据内部稳定性与外部稳定性的关系

1．稳定性判据考虑线性时变自治系统：由t0时刻从x0出发的偏离平衡状态的运动即为受扰运动，也就是它的零输入响应，可以用状态转移矩阵来表示：如果存在一个正数k(t0)，使得则有：根据L稳定性的定义，对于任意给定的正数，只要选择初始状态那么这就说明在上述条件下，系统平衡状态是L稳定的。

定理1：线性系统平衡状态在t0为L稳定的充分必要条件是存在一个正数k(t0)，使得且如果正数k与初始时刻t0无关，那么该平衡状态是一致稳定的。定理2：线性时变系统在t0时刻为渐近稳定的充分必要条件是存在一个正数k(t0)，使得且线性时变系统为一致渐近稳定的充分必要条件是存在两个正常数k1和k2，使得解释：从充要条件的第一个式子可以看出平衡状态是L稳定的，另外由第二个式子可以看出平衡状态是渐近稳定的，而且是大范围渐近稳定的（线性系统局部与全局等价），而对于整个系统只有唯一的稳定平衡状态，其稳定性就代表了整个系统的稳定性，所以在该定理中用系统的稳定性代替了平衡状态的稳定性。另外在一致渐近稳定的判据中，常数k1和k2与初始时刻无关，此判别条件同时包括了渐近稳定的两个判别条件，而且它还指出了系统运动渐近趋向于平衡状态原点的轨迹形状，在该条件下可以看出，由任意一个有限的初始状态引起的零输入响应将按照与指数衰减函数相同甚至是更快的速率逐渐衰减到零，所以线性系统的一致渐近稳定性又称为按指数稳定。定理3：线性定常系统的每个平衡状态是L稳定的充分必要条件是A的全部特征值实部小于等于零，且实部为零的特征根为A矩阵的最小多项式单根。定理4：线性定常系统为大范围渐近稳定的充要条件是A的全部特征根实部是小于零的。注意：这里利用矩阵A的特征根来判断系统的稳定性只能是针对线性定常系统，而不适用于线性时变系统，也就是说并不等价与对所有时间t，A(t)的特征根具有负实部。例如对于任意时间t，A(t)的特征根恒为－1，但是系统的平衡状态却不是稳定的，受扰运动无界，将随着时间t的无限增加而趋于无穷远点。2．内部稳定性与外部稳定性的关系

结论1：如果线性定常系统是渐近稳定的，则该系统必定是BIBO稳定的；反过来，如果该系统是BIBO稳定的，那么并不一定可以推出系统是渐近稳定的。证明：（结论第一部分）由系统运动分析可知，脉冲响应矩阵G(t)可以写成如果系统是渐近稳定的，则必有也就是说eAt是有界的，B,C,D是常数矩阵，那么G(t)的每个元都是有界的，即存在一个有限常数k，使得脉冲响应矩阵的每个元均满足关系式（结论第二部分），我们知道根据系统的规范分解定理，可以引入线性非奇异变换，将系统进行结构分解，分解成能控能观，能控不能观，不能控能观，不能控不能观四部分，而系统的输入输出特性只反映出系统即能控又能观的那部分子系统的渐近稳定性，而对于系统的其他部分不作任何要求，因此可以说不能由系统的BIBO稳定性推导出它的内部稳定性，但是如果该系统是完全能控且完全能观的，那么他的内部稳定性和外部稳定性是等价的。结论2：如果线性定常系统是完全能控且完全能观的，那么下列说法是等价的：系统是BIBO稳定的；系统是渐近稳定的；传递函数的极点都具有负实部；A矩阵的特征根具有负实部。第三节Lyapunov稳定性理论

Lyapunov第一法预备知识Laypunov第二法关于大范围渐近稳定性关于L稳定性关于不稳定性1892年，A.M.Lyapunov提出了两种方法（称为第一法和第二法），用于确定由常微分方程描述的动力学系统的稳定性。第一法包括了利用微分方程显式解进行系统分析的所有步骤。第二法不需求出微分方程的解，也就是说，可以在不求状态方程解的条件下，直接确定系统的稳定性。由于求解非线性系统和线性时变系统的状态方程通常十分困难，所以这种方法显示出极大的优越性。一Lyapunov第一法基本思路是：首先将非线性系统线性化，然后计算线性化方程的特征值，最后则是判定原非线性系统的稳定性。如果线性化系统是渐近稳定的，那么此非线性系统也是渐近稳定的。[例4.3.1]考虑如下非线性系统：显然原点是唯一的平衡状态。试确定其稳定性。在原点处等价线性化，得线性化系统是渐近稳定的，所以该非线性系统也是渐近稳定的二预备知识

1、纯函数的正定性

如果对所有在域中的非零状态，有，且在x=0处有V(x)=0，则在域（域包含状态空间的原点）内的纯量函数称为正定函数。

如果时变函数V(x,t)以一个定常的正定函数作为下限，即存在一个正定函数V(x)，使得对所有对所有则称时变函数V(x,t)在域（包含状态空间原点）内是正定的。2、纯量函数的负定性如果–V(x,t)是正定函数，则纯量函数V(x,t)称为负定函数。3、纯量函数的半正定性如果纯量函数V(x,t)除了原点以及某些状态等于零外，在域内的所有状态都是正定的，则称为半正定纯量函数。4、纯量函数的半负定性如果–V(x,t)是半正定函数，则纯量函数称为半负定函数。5、纯量函数的不定性 如果在域内，不论域多么小，V(x,t)既可为正值，也可为负值时，纯量函数称为不定的纯量函数。[例4.3.2]

本例给出按照以上分类的几种纯量函数。假设x为二维向量。

1、 正定的2、 正半定的3、 负定的4、 不定的5、 正定的6、二次型

建立在Lyapunov第二法基础上的稳定性分析中，有一类纯量函数起着很重要的作用，即二次型函数。例如，其中x为实向量，P为实对称矩阵。[例4.3.3]证明下列二次型是正定的。

二次型可以写成：利用赛尔维斯特准则，可得因为P的所有主子行列式均为正值，所以V(x)是正定的。三Laypunov第二法由力学经典理论可知，对于一个振动系统，当系统总能量（正定函数）连续减小（这意味着总能量对时间的导数必然是负定的），直到平衡状态时为止，则振动系统是稳定的。Lyapunov第二法是建立在更为普遍的情况之上的，即：如果系统有一个渐近稳定的平衡状态，则当其运动到平衡状态的吸引域内时，系统存储的能量随着时间的增长而衰减，直到平稳状态达到极小值为止。Lyapunov引出了一个虚构的能量函数，称为Lyapunov函数。当然，这个函数无疑比能量更为一般，并且其应用也更广泛。实际上，任一纯量函数只要满足Lyapunov稳定性定理的假设条件，都可作为Lyapunov函数，通常采用V(x,t)表示。利用其对时间的导数的符号特征，提供了判断平衡状态的稳定性、渐近稳定性或不稳定性的准则，而不必直接求出方程的解（这种方法既适用于线性系统，也适用于非线性系统）。1、关于大范围渐近稳定性

对于给定的系统，若可求得正定的纯量函数V(x,t)，并使其沿轨迹对时间的导数总为负值，则随着时间的增加，V(x,t)将变得越来越小，最终变为零，而x也趋于零。这意味着状态空间的原点是渐近稳定的。Lyapunov主稳定性定理就是前述事实的普遍化，它给出了渐近稳定的充分条件。该定理阐述如下：定理1：考虑如下非线性系统式中如果存在一个具有连续一阶偏导的标量函数V(x,t)，其中V(0,t)=0,且满足以下条件：1、V(x,t)正定且有界（介于两个连续的非减函数之间）；2、负定且有界；3、若则在原点处的平衡状态是大范围一致渐近稳定的。说明：(1)这里仅给出了充分条件，也就是说，如果我们构造出了Lyapunov函数，那么系统是渐近稳定的。但如果我们找不到这样的Lyapunov函数，我们并不能给出任何结论，例如我们不能据此说该系统是不稳定的。(2)对于渐近稳定的平衡状态，则Lyapunov函数必存在。(3)对于非线性系统，通过构造某个具体的Lyapunov函数，可以证明系统在某个稳定域内是渐近稳定的，但这并不意味着稳定域外的运动是不稳定的。对于线性系统，如果存在渐近稳定的平衡状态，则它必定是大范围渐近稳定的。(4)我们这里给出的稳定性定理，既适合于线性系统、非线性系统，也适合于定常系统、时变系统，具有极其一般的普遍意义。定理2：考虑如下非线性系统式中，如果存在一个具有连续一阶偏导的标量函数V(x,t)，其中V(0,t)=0,且定理1中的条件2由下述条件来代替：2、是负半定的,且对于任意t0和任意x0，其中表示在t0时刻从x0出发的轨迹或解则在原点处的平衡状态是大范围一致渐近稳定的。定理4：考虑如下非线性系统式中，如果存在一个具有连续一阶偏导的标量函数V(x)，其中V(0)=0,且定理3中的条件2由下述条件来代替：2、是负半定的,且对于任意t0和任意x0，其中表示在t0时刻从x0出发的轨迹或解则在原点处的平衡状态是大范围一致渐近稳定的。[例4.3.4]考虑如下非线性系统：显然原点是唯一的平衡状态。试确定其稳定性。定义一个正定纯量函数

因为V(x)正定，其导数为负定，所以V(x)是一个Lyapunov函数。另外即随x偏离平衡状态趋于无穷而变为无穷，则按照定理3，该系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。图4.2常数V圆和典型轨迹[例4.3.5]考虑如下非线性系统：原点是唯一的平衡状态。试确定其稳定性定义一个正定纯量函数

V(x)的导数是半负定的，因为使其为零只有两种情况，那么我们只要检验这两种情况是否为系统的运动解.Case1.

x1任意，x2＝0，说明除了[0,0]点以外，[x1,0]并不是系统的运动解。

Case2.

x1任意，x2＝-1，结果矛盾，说明[x1,－1]也不是系统的运动解。

另外则按照定理4，该系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。定理5：考虑如下非线性系统式中，如果存在一个具有连续一阶偏导的标量函数V(x,t)，其中V(0,t)=0,以及围绕原点的一个邻域H，使得对一切属于该邻域H的x都满足以下条件：1、V(x,t)正定且有界2、半负定且有界；则在原点处的平衡状态在H域上一致稳定的。2、关于L稳定性注意：该结论与定理1比较，没有条件3，则全局性消失，且条件1和2均在某个邻域内成立，这个邻域就是平衡状态的吸引域，当然要确定吸引域的范围并不是一件容易的事情。定理6：考虑如下非线性系统式中，如果存在一个具有连续一阶偏导的标量函数V(x)，其中V(0)=0,以及围绕原点的一个邻域H，使得对一切属于该邻域H的x都满足以下条件：1、V(x)正定；2、半负定；则在原点处的平衡状态在H域上一致稳定的。3、关于不稳定性定理7：考虑如下非线性系统，若存在一个具有连续一阶偏导数的纯量函数V(x,t)或V(x)，其中V(0,t)=0,以及围绕原点的一个邻域H，使得对一切属于该邻域的x都满足以下条件：1、V(x,t)正定且有界或V(x)正定；2、正定且有界或正定；则原点处的平衡状态是不稳定的。第四节线性系统的Lyapunov稳定性分析本节研究对象为线性系统，整个研究建立在Lyapunov意义下的稳定性概念的基础之上，并利用L第二方法的有关结果。在整个讨论过程中针对定常和时变两种情况，分别给出一些稳定性判据。一.

线性定常系统的稳定性判据定理1：线性定常系统的零平衡状态为渐近稳定的充要条件是对任意给定的一个正定对称矩阵Q，如下形式的Lyapunov矩阵方程有唯一的正定对称矩阵解P选取如下二次型Lyapunov函数，即式中P为正定实对称矩阵。沿任一轨迹的时间导数为说明：(1)如果沿任一条状态运动轨迹不恒等于零，则Q可取半正定矩阵。如果半正定矩阵Q满足（A，Q）能观测，即下列秩的条件成立则沿任意轨迹不恒等于零(2)只要选择的矩阵Q为正定的（或根据情况选为半正定的），满足该条件的Q矩阵有无穷多个，而最终系统渐近稳定的判定结果将与矩阵Q的不同选择无关。(3)在确定是否存在一个正定实对称矩阵P时，为方便起见，通常取Q=I，这里I为单位矩阵。从而，P的各元素可按下式确定然后再检验P是否正定。[例4.4.1]设二阶线性定常系统的状态方程为平衡状态是原点。试确定该系统的稳定性。取Lyapunov函数为此时实对称矩阵P可由下式确定将矩阵方程展开，可得联立方程组为解得：为了检验P的正定性，我们来校核各主子行列式显然，P是正定的。因此，在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的[例4.4.2]试确定如图4.3所示系统的增益K的稳定范围。图4.3控制系统[解]容易推得系统的状态方程为在确定K的稳定范围时，假设输入u为零。于是上式可写为假设取正半定的实对称矩阵Q为除原点外，不恒等于零，因此可选上式的Q。或验证下述矩阵的秩显然，对于，其秩为3。因此可选择这样的Q用于Lyapunov方程。现在求解如下Lyapunov方程重写为求解得：为使P成为正定矩阵，其充要条件为定理2（Lyapunov判据的推广形式）：矩阵A的所有特征值实部均小于负实数

-σ，σ>0的充要条件是对任意给定的正定对称矩阵Q，如下推广形式的Lyapunov方程有唯一正定对称解P证明：令由此可以推出，所以要证明A矩阵的全部特征根实部均小于负实数

-σ，也就是证明矩阵的全部特征根具有负实部等价于对任意正定对称矩阵Q，Lyapunov方程有唯一正定对称解：将代入上式中得：二.线性时变系统的稳定性判据

定理3：线性时变系统存在唯一的零平衡状态，且A(t)的元均为分段连续的一致有界函数，则原点是一致渐近稳定的充要条件是对于任意给定的一个实对称、一致有界和一致正定的时变矩阵Q(t)，如下形式的Lyapunov方程有唯一的实对称的一致有界的一致正定的矩阵解P(t)。Q(t)一致有界，一致正定即存在正实数，使得选取如下二次型Lyapunov函数，即式中P为一致有界，一致正定实对称矩阵。V(x)沿任一轨迹的时间导数为三.线性定常系统的稳定自由运动的衰减性能估计利用线性定常系统的Lyapunov判据不仅可以判断其原点的渐近稳定性，而且还可以对稳定的自由运动趋向原点的收敛速度快慢进行估计，这种估计方法的一个突出的优点就是无需求出系统的自由运动轨迹。这里引入一个正实数，并用它来表征系统自由运动的衰减性能，并将其称为衰减系数。定义衰减系数为如果线性定常系统是渐近稳定的，那么由任意初始状态x0出发的自由运动轨线将随着时间的增加而趋近于原点。从物理的直观意义上来看，伴随着系统运动收敛到原点，相应的能量也随之衰减到零。如果初始能量越小且能量衰减速率越大，运动收敛到原点的速度就越快。第五节Lyapunov函数的构造问题可以看出，为证明原点的某种稳定性，必须构造出相应的V函数，即判定稳定性类型取决于是否能够构造出某种V函数以适应稳定性的某个定理，即：必须构造出能够判定原点稳定性类型的V函数构造出好的V函数，好的标准？如：参数空间中得到的稳定区最大；保证渐近稳定的过渡过程有良好品质；得到的稳定判据简单，便于应用；V函数形式简单，便于分析其他问题，等等一。线性系统的Lyapunov函数二次型Lyapunov函数的存在性：根据线性系统的Lyapunov稳定判据可知：矩阵P为满足方程的对称正定解：其中Q为任意正定对称矩阵，或半正定对称矩阵，且（A，Q）可观测。积分形式的Lyapunov函数任意给定Q阵，由lyapunov方程直接求出P矩阵，通常比较困难。下面直接给出P矩阵的一个公式，具备积分形式。定理：若线性系统渐近稳定，则对任意给定对称矩阵Q，Lyapunov方程的解可以表示为：当Q为任意正定对称矩阵，或半正定对称矩阵，且（A，Q）可观测时，矩阵P是对称正定矩阵。二非线性系统Lyapunov函数的构造在非线性控制系统理论中，鲁里叶和波斯特尼考夫最早提出“二次型＋积分”型的Lyapunov函数针对力学系统，切泰耶夫提出“首次积分组合方法”在微分方程理论中，研究低阶（2、3、4阶）非线性微分方程的稳定性，其中非线性是分离的，即一个非线性函数只是一个状态的函数，部分结果推广到高阶系统。这里介绍一般非线性系统的V函数构造研究非线性系统其中fi满足：1）在整个状态空间上定义，且连续；2）在任意有界域上，R为任意正数，偏导有界，即满足：Lyapunov函数为：克拉索夫斯基定理：若存在正定阵V＝[vij]，使得对称阵：的特征根(λ1,…,λn)满足，对任意x有其中r为某正数，或者其主要主子式满足：对任意x有为某正数，则非线性系统的原点渐近稳定。J为f函数的雅可比矩阵。简单说明：非线性系统写为向量