实验物理误差理论稿

实验物理误差理论稿第一页，共五十六页，2022年，8月28日§

1.1 测量与误差关系§

1.2 测量结果误差估算及评定方法§

1.3 直接测量结果误差估算及评定方法§

1.4 间接测量结果误差估算及评定方法§

1.5

有效数字及其运算§

1.6 常用数据处理方法第一章

测量误差及数据处理方法

第二页，共五十六页，2022年，8月28日

等精度测量测量按测量方法的不同可分按精度因素可分

直接测量间接测量非等精度测量

测量：用一定的测量工具或仪器，通过一定的方法，直接或间接地得到所需要的量值。一、

测量§

1.1基本概念：测量与误差关系第三页，共五十六页，2022年，8月28日二、

误差2、误差来源

（1）

仪器误差（instrumenterror)

（2）

环境误差

(environmenterror)

（3）

测量方法误差(measurementerrorof amethod)

（4）

人员误差(itselfinerror)1、误差的定义

测量误差=测量值-真值N真是客观存在的但无法测得，因为测量与误差是形影不离的。反映的是测量值偏离真实值的大小和方向。注意有正、负之分。第四页，共五十六页，2022年，8月28日三、

误差分类（系统误差、随机误差、 粗大误差）（1.）系统误差(systemerror)（保持恒定或以可预 知方式变化）

特点：确定性，许多情况下系统误差是不变的，不 可避免但可修正。

产生原因：仪器本身的缺陷、测量方法的不完备.第五页，共五十六页，2022年，8月28日正态分布函数的特点：1、误差较小的数据比误差大的数据出现的概率大；2、误差很大的数据出现的概率大趋于零；3、误差绝对值相等的数据出现的概率相等，测量次数增加，随机误差的算术平均值趋于零，所以用多次测量取平均的方法可以减小误差。

随机误差的特点：

在测量次数不多的情况下没有规律可循;随机性

在测量次数多的情况下，具有统计规律。服从正态分布（2）随机误差（以不可预知方式变化）产生原因：环境的影响等。第六页，共五十六页，2022年，8月28日（3）粗大误差（明显超出规定条件下预期的误差）

特点：可以避免，处理数据时应将其剔除。

产生原因：错误读数、使用有缺陷的器具、使用 仪器方法不对等。第七页，共五十六页，2022年，8月28日

（1）绝对误差：反映误差本身大小。（2）相对误差（百分误差）：反映误差严重程度。四、

测量结果表示结果表示：注意：绝对误差大的，相对误差不一定大。第八页，共五十六页，2022年，8月28日五、精密度、正确度与准确度（又称精确度） 这三个名词分别用来反映随机误差、系统误差和综合误差的大小。正确度较高、精密度低精密度高、正确度低准确度高(a)(c)(b)第九页，共五十六页，2022年，8月28日§1.2测量结果误差估算及评定方法

真值的获得：

1、公认

2、未知 对N进行K次测量，得N1，N2……Nk．

用算术平均值：

作为真值的最佳估计。

评定其可靠性的方法有三种。第十页，共五十六页，2022年，8月28日1．算术平均偏差['deltE]

结果可表示为：第十一页，共五十六页，2022年，8月28日

（2）平均值的标准偏差（在同一条件下对某物理量进行多次测量）（1）测量列的实验标准差(有限次测量和被测真值未知) 2．标准偏差['sigmE]

（又称均方根偏差，反映平均值代替真值的精密度）(1.2-2)(1.2-3)第十二页，共五十六页，2022年，8月28日

σ：标准偏差σ是一个描述测量结果离散程度的参量，反映了测量的精密度，只考虑随机误差。

理解：若随机误差服从正态分布，在距平均值σ

处，是概率密度曲线的拐点，曲线下总面积为1，σ越小，曲线越瘦，峰值越高，说明分布越集中，精密度越高；反之精密度越低。

特性一：第十三页，共五十六页，2022年，8月28日

置信概率（包含真值的概率）

测量结果的范围68.3%95.4%99.7%

当系统误差、粗大误差已消除，随机误差服从正态分布，且σ已确定时K＝3K＝22K＝326特性二：第十四页，共五十六页，2022年，8月28日A类分量（用统计的方法计算）uＡB类分量（用其他方法计算）u合成不确定度测量结果表示为：相对不确定度：3．不确定度（反映平均值代替真值的准确度）

Δins为仪器的极限误差；K为置信系数（物理实验中约定为1）。第十五页，共五十六页，2022年，8月28日§1.3直接测量误差估算及评定

一、单次测量误差估算及评定

单次测量结果的误差估算常以测量仪器误差来评定。

仪器误差：

△已标明（或可明确知道）的误差

△未标明时，可取仪器及表盘上最小刻度的一半作误差。

△电子类仪器

第十六页，共五十六页，2022年，8月28日举例:

如用一个精度为0.5级，量程为10μA的电流表，单次测量某一电流值为2.00μA，试用不确定度表示测量结果。解：u=10μA×0．5％=0．05μA

I=（2．00±0．05）μA第十七页，共五十六页，2022年，8月28日二、多次测量结果的误差估算及评定程序：

1、求平均值。

2、求或或u。

3、表示结果。例如用u，

则结果为：

第十八页，共五十六页，2022年，8月28日u的利弊算数平均偏差——计算方便但准确度低标准偏差——只考虑了随机误差，只反映了精密度u不确定度——既含随机误差又含系统误差，且准确度高今后我们约定结果写成：式中这种表示方法的置信概率大约为95%左右为加深理解，可参阅p20、p21（旧书p14）的例2、例3。第十九页，共五十六页，2022年，8月28日

(1.4-3)

绝对误差(1.4-4)

相对误差§1.4间接测量结果误差的估算及评定

N=f(x,y,z)

一、

一般的误差传递公式当间接测量的函数关系为和差形式（N=x+y-z),先计算绝对误差较方便当间接测量的函数关系为积商形式（N=xy/z),先计算相对误差较方便第二十页，共五十六页，2022年，8月28日

(1.4-6)

(1.4-7)二、

标准偏差的传递公式（方和根合成）（能够更好地反映测量结果的离散程度）第二十一页，共五十六页，2022年，8月28日

三、不确定度的传递公式(1.4-8)

(1.4-9)不确定度相对不确定度当间接测量的函数关系为和差形式（N=x+y-z),用（1.4-8）较方便当间接测量的函数关系为积商，乘方，开方形式（N=x2y/z),用（1.4-9）较方便第二十二页，共五十六页，2022年，8月28日表1.4-1某些常用函数的不确定度传递公式

函数形式不确定传递公式第二十三页，共五十六页，2022年，8月28日[总结]间接测量结果用不确定度评定的基本步骤：

（1）计算各直接测量量的值和它们的不确定度；

（2）根据公式（1.4—8）或（1.4—9）计算间接测量量的不确定度（保留1位有效数字），或相对不确定度（保留1~2位有效数字）；

（3）求出间接测量量N，N的末位与不确定度所在位对齐；

（4）写出结果。

注意单位不要漏写第二十四页，共五十六页，2022年，8月28日例(p24):用一级千分尺（）测量某一圆柱体的直径D和高度H，测量数据见表1.4-2,求体积V并用不确定度评定测量结果。

第二十五页，共五十六页，2022年，8月28日表1.4-2

测量次数D/mmH/mm

13.0044.096

23.0024.094

33.0064.092

43.0004.096

53.0064.096

63.0004.094

73.0064.094

83.0044.098

93.0004.094

103.0004.096第二十六页，共五十六页，2022年，8月28日解：（1）计算直接测量值D、H的不确定度(a)(b)A类不确定度—B类不确定度(c)(1.2-2)第二十七页，共五十六页，2022年，8月28日（3）写出结果（d）估算UD和UH（2）求V和Uv第二十八页，共五十六页，2022年，8月28日§1.5有效数字及其运算

一、什么叫有效数字

一般有效数字是由若干位准确数字和一位可疑数字（欠准数字）构成。

举例：1.25 （3位有效数字） 1.250 （4位有效数字） 0.0125（3位有效数字） 1.0025（5位有效数字）第二十九页，共五十六页，2022年，8月28日

注意:（1）同一物体用不同精度的仪器测，有效数字的位数是不同的，精度越高，有效数字的位数越多（2）有效位数与十进制单位的变换无关（3）表示小数点位数的“0”不是有效数字；数字中间的“0”和数字尾部的“0”都是有效数字。数据尾部的“0”不能随意舍掉，也不能随意加上第三十页，共五十六页，2022年，8月28日

二、有效数字运算规则１、加减运算

尾数对齐——在小数点后所应保留的位数与诸量中小数点后位数最少的一个相同。如：11.4+2.56=14.0

75-10.356=65如：4000×9.0=3.6×1042.000÷0.10=20

２、乘除运算

位数对齐——结果有效数字的位数，一般与诸量中有效数字位数最少的一个相同。第三十一页，共五十六页，2022年，8月28日3、某些常见函数运算的有效位数

（1）对数函数尾数的位数取得与真数的位数相同(旧书有误)；（2）指数函数的有效数字，可与指数的小数点后的位数（包括紧接在小数点后的零）相同；第三十二页，共五十六页，2022年，8月28日

（4）常数的有效位数可以认为是无限的，实际计 算中一般比运算中有效数字位数多取1位；（3）三角函数的取位随角度的有效位数而定；第三十三页，共五十六页，2022年，8月28日2、最佳值或测量值末位与不确定度末位对齐。三、不确定度和测量结果的数字化整规则

1、不确定度的有效位数1~2位

本书约定不确定度只保留1位。

相对不确定度1~2位。

尾数采用四舍六入五凑偶

如：1.4=1，1.6=2，1.5=2，2.5=2

第三十四页，共五十六页，2022年，8月28日小结实验中如何确定数据的有效位数？

在实验中我们所得的测量结果都是可能含有误差的数值，对这些数值不能任意取舍，应反映出测量值的准确度。所以在记录数据、计算以及书写测量结果时，应根据测量误差或实验结果的不确定度来定出究竟应取几位有效位数。第三十五页，共五十六页，2022年，8月28日举例：

1.直接测量量（原始数据）的读数应反映仪器的准确度游标类器具（游标卡尺、分光计度盘、大气压计等）一般读至游标最小分度的整数倍，即不需估读。第三十六页，共五十六页，2022年，8月28日数显仪表及有十进步式标度盘的仪表（电阻箱、电桥、电位差计、数字电压表等）一般应直接读取仪表的示值。第三十七页，共五十六页，2022年，8月28日指针式仪表及其它器具，读数时估读到仪器最小分度的1/2～1/10，或使估读间隔不大于仪器基本误差限的1/5～1/3。第三十八页，共五十六页，2022年，8月28日注意指针指在整刻度线上时读数的有效位数。第三十九页，共五十六页，2022年，8月28日§1.6常用的数据处理方法一、列表法

列表法是将实验上得到的数据按一定的规律列成表格。它的的优点是：能使物理量之间对应关系清晰明了，有助于发现实验中的规律，也有易于发现实验中的差错，列表法又是其他数据处理的基础应当熟练掌握。列表要求见书p30（旧书p24页）第四十页，共五十六页，2022年，8月28日作图法可形象、直观地显示出物理量之间的函数关系，也可用来求某些物理参数，因此它是一种重要的数据处理方法。作图时要先整理出数据表格，并要用坐标纸作图。1.选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小坐标分度值的选取应能基本反映测量值的准确度或精密度。根据表１数据U轴可选1mm对应于0.10V，I轴可选1mm对应于0.20mA，并可定坐标纸的大小（略大于坐标范围、数据范围）约为130mm×130mm。作图步骤：实验数据列表如下.

表1：伏安法测电阻实验数据二、作图法第四十一页，共五十六页，2022年，8月28日2.标明坐标轴：

用粗实线画坐标轴，用箭头标轴方向，标坐标轴的名称或符号、单位,再按顺序标出坐标轴整分格上的量值。I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.004.连成图线：

用直尺、曲线板等把点连成直线、光滑曲线。一般不强求直线或曲线通过每个实验点，应使图线两边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀。。3.标实验点：实验点可用“”、“”、“”等符号标出（同一坐标系下不同曲线用不同的符号）。第四十二页，共五十六页，2022年，8月28日5.标出图线特征：在图上空白位置标明实验条件或从图上得出的某些参数。如利用所绘直线可给出被测电阻R大小：从所绘直线上读取两点A、B的坐标就可求出R值。I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00电阻伏安特性曲线6.标出图名：

在图线下方或空白位置写出图线的名称及某些必要的说明。A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)由图上A、B两点可得被测电阻R为：至此一张图才算完成第四十三页，共五十六页，2022年，8月28日不当图例展示：nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图图1曲线太粗，不均匀，不光滑。应该用直尺、曲线板等工具把实验点连成光滑、均匀的细实线。第四十四页，共五十六页，2022年，8月28日nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图改正为：第四十五页，共五十六页，2022年，8月28日图2I(mA)U(V)02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00电学元件伏安特性曲线横轴坐标分度选取不当。横轴以3cm

代表1V，使作图和读图都很困难。实际在选择坐标分度值时，应既满足有效数字的要求又便于作图和读图，一般以1mm代表的量值是10的整数次幂或是其2倍或5倍。第四十六页，共五十六页，2022年，8月28日I(mA)U(V)o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00电学元件伏安特性曲线改正为：第四十七页，共五十六页，2022年，8月28日定容气体压强～温度曲线1.20001.60000.80000.4000图3P(×105Pa)t(℃)60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00图纸使用不当。实际作图时，坐标原点的读数可以不从零开始。第四十八页，共五十六页，2022年，8月28日定容气体压强～温度曲线1.00001.15001.20001.10001.0500

P(×105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t(℃)改正为：第四十九页，共五十六页，2022年，8月28日三、逐差法逐差法是对等间距测量的有序数据，进行逐项或相等间隔相减得到结果。它计算简便，并可充分利用数据，及时发现差错，总结规律，是物理实验中常用的一种数据处理方法。使用条件：（1）自变量x是等间距变化（2）被测物理量之间函数形式可以写成x的多项式：分类：逐差法逐项逐差（用于验证被测量之间是否存在多项式函数关系）分组逐差（用于求多项式的系数）第五十页，共五十六页，2022年，8月28日应用举例（拉伸法测弹簧的倔强系数）设实验中，等间隔地在弹簧下加砝码（如每次加一克），共加9次，分别记下对应的弹簧下端点的位置L0L1L2‥‥‥L9

，则可用逐差法进行以下处理（1）验证函数形式是线性关系看⊿L1⊿L2‥‥‥⊿L9是否基本相等.当⊿Li基本相等时,就验证了外力与弹簧的伸长量之间的函数关系是线性的，即F=k⊿L用此法可检查测量结果是否正确，但注意的是必须用逐项逐差（1.6—1）把所得的数据逐项