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§3.5方阵的行定义5.1设Aaij)是一个n阶矩阵,则自然地的行列式记作|A|或detA.AaijBbij)均为n阶矩阵,则由Laplace|A||B|=

Bm×

将上式右端的行列式的第1列的b1j倍,...,第n列的bnj倍都加到nj列j1,2,n)可得 −AB|A||B|= = |I||−AB

)

|由A(aij)mn的第i1i2ik行及j1,j2,列所确定k阶子块记⎧ ikA j⎩ 即

k⎪⎧i1 ⎪式

⎫ det

⎪

⎩A⎩

jk

A1 ⎩ai2 ai2⎩ aik aik

jk ai2# aik当A是n阶矩阵时,式

ik j j k ⎧ 式

,代余

⎪

ikA

jk

A

jk 式1i2 ik

i2 ik

j⎬=(−1

jA⎩ k A⎩ k其中ti1i2ikj1j2jk.不过要注意这里式虽然是这样记法但它实质是一个nk阶行列式,而非k阶行列式.使用上面的记号,Laplace定理(按第j1,j2,jk列展开)可表述

µk⎪

µkA|A|=Aµ

⎪

⎪⎪

A⎭这里表示在12 A⎭In =(−1)m|UV|I 0I V I ⎝ Im 0⎟= −UV⎝所以,取行列式并由行列式乘法定理可得In

In

=(−1)m |UV|Binet-CauchyU是mnj矩阵,Vnm矩阵mn, _______ ⎪1µ2"µ |UV|=

µ

"µ

⎬

_______

, µU ⎪ V U V,则由上引理可得|UV|(1)m|AU 现在对于|A|的后m个行用Laplace定理可得_________ n+1 n+m

A|=∑式

⎬代余式A⎨ m ⎬_________ ⎬ ∑式U

⎪(−1)s|InV⎪其中sn1 nm1 m,而In表示从In中去掉第1,,m列后剩余的各的列组成n(nm)矩阵.不妨设这些剩余第的诸列依次为1,,nm列,则易知In的第1,m行中的元素全是0,且其余的第1 ,nm行恰好组成一个nm阶单位矩阵于是对|InV|的前nm个列用Laplace定理⎪

νm ⎪

µm|InV|=1 n−m⎪= |InV|

V 其中t1 nm1 |UV|= |A⎬⎨⎬ ________ ⎪⎪1µ2 ⎬⎨⎬ (−1)m+s+t

⎪µµ

⎪ ________ ⎨12mµU ⎪ ⎨12m V 1+"+µm+ν1+"+νn−m=1+"+故mstm(m1n(n1)是一个偶数,

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