初中数学人教版七年级上册第一章有理数有理数的乘方 名师获奖

专训2有理数的比较大小的八种方法名师点金：有理数大小的比较需要根据有理数的特征灵活地选择适当的方法，除了常规的比较大小的方法外，还有几种特殊的方法：作差法、作商法、找中间量法、倒数法、变形法、数轴法、特殊值法、分类讨论法等.利用作差法比较大小1.比较eq\f(17,31)和eq\f(52,93)的大小.利用作商法比较大小2.比较－eq\f(17,2016)和－eq\f(34,4071)的大小.利用找中间量法比较大小3.比较eq\f(1007,2016)与eq\f(1009,2017)的大小.利用倒数法比较大小4.比较eq\f(111,1111)和eq\f(1111,11111)的大小.利用变形法比较大小5.比较－eq\f(2014,2015)，－eq\f(14,15)，－eq\f(2015,2016)，－eq\f(15,16)的大小.6.比较－eq\f(6,23)，－eq\f(4,17)，－eq\f(3,11)，－eq\f(12,47)的大小.利用数轴法比较大小7.已知a＞0，b＜0，且|b|＜a，试比较a，－a，b，－b的大小.【导学号：11972021】利用特殊值法比较大小8.已知a，b是有理数，且a，b异号，则|a＋b|，|a－b|，|a|＋|b|的大小关系为________________________________________________________________________.利用分类讨论法比较大小9.比较a与eq\f(a,3)的大小.答案1．解：因为eq\f(52,93)－eq\f(17,31)＝eq\f(52,93)－eq\f(51,93)＝eq\f(1,93)＞0，所以eq\f(52,93)＞eq\f(17,31).点拨：当比较的两个数的大小非常接近，无法直接比较大小时，作差比较是常采用的方法．2．解：因为eq\f(17,2016)÷eq\f(34,4071)＝eq\f(17,2016)×eq\f(4071,34)＝eq\f(1357,1344)＞1，所以eq\f(17,2016)＞eq\f(34,4071).所以－eq\f(17,2016)＜－eq\f(34,4071).点拨：作商比较法是比较两个数大小的常用方法，当比较的两个正分数作商易约分时，作商比较往往能起到事半功倍的效果；当这两个数是负数时，可先分别求出它们的绝对值，再作商比较它们绝对值的大小，最后根据绝对值大的反而小下结论．3．解：因为eq\f(1007,2016)＜eq\f(1,2)，eq\f(1009,2017)＞eq\f(1,2)，所以eq\f(1007,2016)＜eq\f(1009,2017).点拨：对于类似的两数的大小比较，我们可以引入一个中间量，分别比较它们与中间量的大小，从而得出问题的答案．4．解：eq\f(111,1111)的倒数是10eq\f(1,111)，eq\f(1111,11111)的倒数是10eq\f(1,1111).因为10eq\f(1,111)＞10eq\f(1,1111)，所以eq\f(111,1111)＜eq\f(1111,11111).点拨：利用倒数法比较两个正数的大小时，需先求出其倒数，再根据倒数大的反而小，从而确定这两个数的大小．5．解：每个分数都加1，分别得eq\f(1,2015)，eq\f(1,15)，eq\f(1,2016)，eq\f(1,16).因为eq\f(1,2016)＜eq\f(1,2015)＜eq\f(1,16)＜eq\f(1,15)，所以－eq\f(2015,2016)＜－eq\f(2014,2015)＜－eq\f(15,16)＜－eq\f(14,15).点拨：本题直接比较很困难，但通过把这些数适当变形，再进行比较就简单多了．6．解：因为－eq\f(6,23)＝－eq\f(12,46)，－eq\f(4,17)＝－eq\f(12,51)，－eq\f(3,11)＝－eq\f(12,44)，－eq\f(12,44)＜－eq\f(12,46)＜－eq\f(12,47)＜－eq\f(12,51)，所以－eq\f(3,11)＜－eq\f(6,23)＜－eq\f(12,47)＜－eq\f(4,17).点拨：此题如果通分，计算量太大，可以把分子变为相同的，再进行比较．7．解：把a，－a，b，－b在数轴上表示出来，如图所示，根据数轴可得－a＜b＜－b＜a.(第7题)点拨：本题运用了数轴法比较有理数的大小，在数轴上找出这几个数对应的点的大致位置，即可作出判断．8．|a＋b|＜|a－b|＝|a|＋|b|点拨：已知a，b异号，不妨取a＝2，b＝－1或a＝－1，b＝2.当a＝2，b＝－1时，|a＋b|＝|2＋(－1)|＝1，|a－b|＝|2－(－1)|＝3，|a|＋|b|＝|2|＋|－1|＝3；当a＝－1，b＝2时，|a＋b|＝|－1＋2|＝1，|a－b|＝|－1－2|＝3，|a|＋|b|＝|－1|＋|2|＝3.所以|a＋b|＜|a－b|＝|a|＋|b|.方法总结：本题运用特殊值法解题，取特殊值时要注意所取的值既要符合题目条件，又要考虑可能出现的多种情况．以本题为例，可以分为a正、b负和a负、b正两种