初中数学浙教版九年级下册第1章解直角三角形锐角三角函数【市一等奖】

第1章解直角三角形锐角三角函数（一）1.如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是eq\f(\r(5),5).(第1题)2.已知sinα＝eq\f(12,13)，则cosα＝eq\f(5,13)，tanα＝eq\f(12,5).3.已知等腰三角形的面积为24，底边长为4，则底角的正切值为6.4.如图，若点A的坐标为(1，eq\r(3))，则sin∠1＝(D)(第4题)A.1B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(3),2)5.在直角三角形中，若各边长都扩大到原来的2倍，则锐角A的正弦值和余弦值都(C)A.缩小到原来的eq\f(1,2)B.扩大到原来的2倍C.不变D.不能确定(第6题)6.如图，在平面直角坐标系中，A是第一象限内一点，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，点B在y轴右侧，且是⊙A上一点，求∠OBC的余弦值.【解】作直径CD，则点D必在x轴上.在Rt△COD中，∵CO＝5，CD＝10，∴OD＝eq\r(CD2－CO2)＝5eq\r(,3).∴cos∠OBC＝cos∠CDO＝eq\f(OD,CD)＝eq\f(5\r(,3),10)＝eq\f(\r(3),2).(第7题)7.如图，直线y＝eq\f(1,2)x－2交x轴于点A，交y轴于点B，且与x轴的夹角为α，求：(1)OA，OB的长.(2)tanα与sinα的值.【解】(1)令y＝0，则x＝4，∴点A(4，0)，∴OA＝4.令x＝0，则y＝－2，∴点B(0，－2)，∴OB＝2.(2)在Rt△AOB中，OB＝2，OA＝4，∴AB＝eq\r(OB2＋OA2)＝2eq\r(,5)，∴tanα＝tan∠OAB＝eq\f(OB,OA)＝eq\f(1,2)，sinα＝sin∠OAB＝eq\f(OB,AB)＝eq\f(2,2\r(,5))＝eq\f(\r(5),5).(第8题)8.如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝BC＝6，D是AC上一点，tan∠DBA＝eq\f(1,5)，求AD的长.【解】过点D作DE⊥AB于点E.∵∠C＝90°，AC＝BC＝6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB＝eq\r(2)AC＝6eq\r(2)，∴∠A＝45°.设AE＝x，则DE＝x，AD＝eq\r(2)x.在Rt△BED中，∵tan∠DBE＝eq\f(DE,BE)，∴BE＝eq\f(DE,tan∠DBE)＝5x，∴x＋5x＝6eq\r(2)，解得x＝eq\r(2).∴AD＝eq\r(2)x＝2.9.如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处.已知折痕AE＝5eq\r(5)cm，且tan∠EFC＝eq\f(3,4)，则矩形ABCD的周长为36cm.(第9题)【解】∵tan∠EFC＝eq\f(3,4)，∴可设CE＝3k，CF＝4k，∴由勾股定理，得DE＝EF＝5k，∴AB＝DC＝8k.∵∠AFB＋∠BAF＝90°，∠AFB＋∠EFC＝90°，∴∠BAF＝∠EFC，∴tan∠BAF＝tan∠EFC＝eq\f(3,4)，∴BF＝6k，BC＝AD＝AF＝10k.在Rt△AFE中，由勾股定理，得AE＝eq\r(AF2＋EF2)＝eq\r(125k2)＝5eq\r(5)，解得k＝1.∴矩形ABCD的周长＝2(AB＋BC)＝2(8＋10)＝36(cm).10.在△ABC中，∠C＝90°，△ABC的面积为6，斜边长为6，则tanA＋tanB的值为3.【解】∵△ABC的面积为6，∴BC·AC＝12.在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝6，∴BC2＋AC2＝62＝36，∴tanA＋tanB＝eq\f(BC,AC)＋eq\f(AC,BC)＝eq\f(BC2＋AC2,AC·BC)＝eq\f(36,12)＝3.11.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连结DF.有下列结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD＝eq\r(2).其中正确的结论有(B)A.4个B.3个C.2个D.1个(第11题)【解】如解图，过点D作DM∥BE交AC于点N.(第11题解)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∴∠EAC＝∠ACB.∵BE⊥AC于点F，∴∠EFA＝∠ABC＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确.∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴eq\f(AE,CB)＝eq\f(AF,CF).∵E是AD边的中点，∴AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)BC，∴eq\f(AF,CF)＝eq\f(1,2)，∴CF＝2AF，故②正确.∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝eq\f(1,2)BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF，∴DN垂直平分FC，∴DF＝DC，故③正确.设AD＝a，AB＝b.易得△BAE∽△ADC，∴eq\f(BA,AD)＝eq\f(AE,DC)，即eq\f(b,a)＝eq\f(\f(a,2),b)，∴2b2＝a2.∵tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(b,a)，∴tan∠CAD＝eq\f(\r(2),2)，故④错误.综上所述，正确的结论有3个.12.如图，在Rt△AOB中，两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A′O′B.若反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象恰好经过斜边A′B的中点C，S△ABO＝4，tan∠BAO＝2，求k的值.(第12题)【解】如解图，过点C作CD⊥BO′于点D，设点C的坐标为(x，y).(第12题解)∵tan∠BAO＝2，∴eq\f(BO,AO)＝2.又∵S△ABO＝eq\f(1,2)AO·BO＝4，∴AO＝2，BO＝4.∴A′O′＝AO＝2，BO′＝BO＝4.∵C为Rt△A′O′B斜边A′B的中点，CD⊥BO′，∴CD＝eq\f(1,2)A′O′＝1，BD＝eq\f(1,2)BO′＝2，∴y＝BO－CD＝4－1＝3，x＝BD＝2，∴k＝x·y＝6.(第13题)13.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，连结AC，BC，BD.(1)求证：△ACE∽△CBE.(2)若AB＝8，设OE＝x(0<x<4)，CE2＝y，请求出y关于x的函数表达式.(3)探究：当x为何值时，tanD＝eq\f(\r(3),3)？【解】(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠ACE＋∠BCE＝90°.∵CD⊥AB，∴∠AEC＝∠CEB＝90°，∠A＋∠ACE＝90°，∴∠A＝∠BCE，∴△ACE∽△CBE.(2)∵△ACE∽△CBE，∴eq\f(AE,CE)＝eq\f(CE,BE)，即CE2＝AE·BE＝(AO＋OE)(OB－OE).∴y＝(4＋x)(4－x)＝16－x2.(3)∵tanD＝eq\f(\r(3),3)，即tanA＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(CE,AE)＝eq\f(\r(3),3)，则eq\f(CE2,AE2)＝eq\f(1,3)，即eq\f(16－x2,（4＋x）2)＝eq\f(1,3)，解得x1＝2，x2＝－4(舍去).故当x＝2时，tanD＝eq\f(\r(3),3).14.通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记做sadA，这时sadA＝eq\f(底边,腰)＝eq\f(BC,AB).容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对的定义，解答下列问题：(1)sad60°＝1.(2)对于0°<∠A<180°，∠A的正对值sadA的取值范围是0<∠sadA<2.(3)如图②，已知sinA＝eq\f(3,5)，其中∠A为锐角，试求sadA的值.（第14题）(第14题解)【解】(3)设AB＝5a，则BC＝3a，AC＝如解图，在AB上取AD＝AC＝4a，过点D作DE⊥AC于点E，连结CD则DE＝AD·sinA＝4a·eq\f(3,5)＝eq\f(12,5)a，AE＝AD·cosA＝4a·eq\f(4,5)＝eq\f(16,5)a，CE＝4a－eq\f(16