初中数学人教版九年级上册第二十四章圆单元复习 一等奖

4-11正多边形和圆人教九上一.学习目标1．掌握正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆、中心、半径、中心角、边心距等；2．掌握正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距、中心角之间的等量关系；3．会画圆内接正多边形。二.知识回顾1．正多边形的概念：各边相等、各角也相等的多边形是正多边形。请举出一些正多边形：正方形、正六边形、正八边形。所有的正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形又是中心对称图形。2．矩形、菱形是正多边形吗？为什么？不是，因为矩形的各角虽然相等但是各边不相等。菱形的各边虽然相等但是各角不相等。3．什么是正n边形？如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形。三.新知讲解1．正多边形和圆的相关概念①正n边形的外接圆：把一个圆的圆周分为n等份，顺次连接各分点所得的图形，即为圆的内接正n边形，这个圆叫做这个正n边形的外接圆。②正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．③正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．④正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．=5\*GB3⑤正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．2．ｎ边形中心角、半径、边心距等的相关数据边数n内角An中心角半径R边长an边心距rn周长Pn面积Sn360°120°R490°90°R6120°60°RR6R3．利用圆画正多边形利用圆可以画出正多边形，具体画法如下：把圆n(n≥3)等分，依次连接各分点可以画出正n边形，过各分点作圆的切线也可以画出正n边形。所以，要作正n边形，只要把圆n等分，依次连接各分点即可。常用的画正n边形的工具有量角器，直尺和圆规。用量角器等分圆可在圆内用量角器画一个的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对的弧的等弧即可。用直尺和圆规作正多边形，只限于某些特殊边数的正n边形，如正三角形，正四边形，正八边形，正六边形，正十二边形等。四.典例探究1．已知等边三角形的边长求半径【例1】（2013秋•嘉兴期中）等边三角形的边长为4，则此三角形外接圆的半径为．总结：解答此题要明确两点：（1）正多边形的中心和外接圆圆心重合；（2）正三角形每个内角都相等．利用直角三角形中30°的角对应的直角边等于斜边的一半，再结合勾股定理求解。练1边长为a的等边三角形的外接圆半径是，其外心到一边的距离是．2．由正六边形的半径求边心距、半径、面积【例2】半径为4的正六边形的边心距为，中心角等于度，面积为．总结：（1）运用正六边形的性质：“正六边形的边长等于外接圆的半径”，结合勾股定理求解。（2）也可以把圆内接正六边形的问题可以转化为圆内接正三角形的问题，正六边形可以分为六个全等的等边三角形，等边三角形的边长和原正六边形的边长相等。再结合圆和正三角形的相关性质求解即可。练2正六边形的边长a，半径R，边心距r的比a：R：r=．3．已知圆的半径求圆内接正方形的边长、边心距、面积【例3】（2014•武汉模拟）半径为3的圆内接正方形的边心距等于．总结：结合正方形的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识解答。练3已知正方形ABCD的边心距OE=cm，求这个正方形外接圆⊙O的面积．4．画圆内接正多边形【例4】在图中，试分别按要求画出圆O的内接正多边形．总结：利用圆可以画出正多边形，具体画法如下：把圆n(n≥3)等分，依次连接各分点可以画出正n边形，过各分点作圆的切线也可以画出正n边形。所以，要作正n边形，只要把圆n等分，依次连接各分点即可。常用的画正n边形的工具有量角器，直尺和圆规。用量角器等分圆可在圆内用量角器画一个的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对的弧的等弧即可。用直尺和圆规作正多边形，只限于某些特殊边数的正n边形，如正三角形，正四边形，正八边形，正六边形，正十二边形等。练4（2003•台州）画出你喜欢的三个不同的圆内接正多边形（画图工具不限，但要保留画图痕迹）五.课后小测一.选择题（共4小题）1．（2015•顺义区一模）若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是（）A．30°B．60°C．90°D．120°2．（2009•上海）下列正多边形中，中心角等于内角的是（）A．正六边形B．正五边形C．正四边形D．正三边形3．（2015•西宁）一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（）A．12mmB．12mmC．6mmD．6mm4．（2015•宝坻区二模）正n边形的一个外角为60°，外接圆半径为4，则它的边长为（）A．4B．2C．4D．2二.填空题（共5小题）5．半径为10cm的圆内接正三角形的边长为，内接正方形的边长为，内接正六边形的边长为。6．（2011•南汇区模拟）若正多边形的中心角为20°，那么它的边数是．7．（2000•福建）一个正多边形的中心角为36°，则它的边数是．8．（2010秋•沧州校级期中）一个正多边形的中心角等于45°，它的边数是．9．（2013•奉贤区二模）正多边形的中心角为72度，那么这个正多边形的内角和等于度．三.解答题（共4小题）10．已知AB是的⊙O内接正十边形的一边，AC是⊙O的内接正十五边形的一边，求以BC为边的内接正多边形的中心角的度数．11．已知正六边形的半径为r，求正六边形的边长、边心距和面积．12．如图所示，求半径为2的圆内接正方形的边心距与面积．13．已知正六边形的边心距为，求正六边形的内角、外角、中心角、半径、边长、周长和面积．

典例探究答案：例1．【考点】正多边形和圆．【分析】根据正三角形的每个内角为60°和三角形外接圆的相关知识解答．【解答】解：因为等边三角形的边长为4，所以AD=2，又因为∠DAO=BAC=60°×=30°，所以OD=OA，根据勾股定理：AO2=OD2+AD2，解得：AO=．【点评】解答此题要明确两点：（1）正多边形的中心和外接圆圆心重合；（2）正三角形每个内角都相等．练1．【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】根据题意画出图形，连接OB、OC、过O作OD⊥BC于D，再根据等边三角形的性质和解直角三角形解答即可．【解答】解：如图所示，△ABC是等边三角形，BC=a，连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，则∠BOC==120°，∠BOD=∠BOC=60°，BD=，由勾股定理OB2=OD2+BD2，其中OD=OB（在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），解得：OB=a，ODa，故答案为：a，a．【点评】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，三角形的外接圆与外心的应用，此题比较简单，解答此题的关键是根据题意画出图形，利用等边三角形及直角三角形的性质解答．例2．【考点】正多边形和圆；三角形的面积；勾股定理；垂径定理．【分析】解答本题主要分析出正多边形的内切圆的半径就是正六边形的边心距，即为每个边长为4的正三角形的高，从而构造直角三角形即可解．中心角利用360÷6即可求解；然后利用三角形的面积公式即可求解正六边形的面积．【解答】解：边长为4的正六边形可以分成六个边长为4的正三角形，而正多边形的边心距即为每个边长为a的正三角形的高，∴正六多边形的边心距等于，∴中心角为：360°÷6=60°，∴正六边形的面积为6××4×2=24．故答案为：2，60°，24．【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算．练2．【考点】正多边形和圆．【分析】经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C．连接OA，则在直角△OAC中，∠AOB=．OC是边心距r，OA即半径R．AB=2AC=a．根据三角函数即可求解．【解答】解：圆内接正六边形可分成六个全等的等边三角形，这样的等边三角形的边长与原正六边形的边长相等，等边三角形的高与正六边形的边心距相等，等边三角形的高是它的边长的倍，所以a：R：r=2：2：．故答案为：2：2：．【点评】本题考查了圆内接正六边形的边长，半径，边心距的关系，正多边形的计算一般要经过中心作边的垂线，并连接中心与一个端点构造直角三角形，把正多边形的计算转化为解直角三角形．例3．【考点】正多边形和圆．【分析】根据题意首先求出OE的长，即可解决问题．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，∴∠OBE=45°；而OE⊥BC，∴BE=CE；∵OB=3，∵∠OBE=45°，∴OE=BE；由勾股定理：OE2+BE2=OB2，即2OE2=9，∴OE=，故答案为：．【点评】本题考查了圆内接正方形的性质及其应用问题；解疑的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对综合运用能力提出了一定的要求．练3．【考点】正多边形和圆；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．【专题】计算题；几何图形问题．【分析】连接OC、OD，根据圆O是正方形ABCD的外接圆和正方形的性质得到∠0DE=∠ADC=45°，求出∠DOE=∠ODE=45°，得出OE=DE=，根据勾股定理求出OD=2，根据圆的面积公式求出即可．【解答】解：连接OC、OD，∵圆O是正方形ABCD的外接圆，∴O是对角线AC、BD的交点，∴∠0DE=∠ADC=45°，∵OE⊥CD，∴∠OED=90°，∴∠DOE=180°﹣∠OED﹣ODE=45°，∴OE=DE=，由勾股定理得：OD==2，∴这个正方形外接圆⊙O的面积是π•22=4π，答：这个正方形外接圆⊙O的面积是4π．【点评】本题主要考查对正多边形与圆，正方形的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的理解和掌握，能求出OE=DE是解此题的关键．例4．【考点】正多边形和圆．【专题】作图题．【分析】根据圆内接正多边形的性质分别画出圆内接正方形、正八边形、正六边形及正三角形即可．【解答】解：如图所示：【点评】此题主要考查了正多边形和圆的关系，熟知圆内接正多边形的性质是解答此题的关键．练4．【考点】正多边形和圆；作图—复杂作图．【专题】作图题．【分析】根据圆内接正多边形的性质分别画出圆内接正方形、正八边形及正三角形即可．【解答】解：如图所示：【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知圆内接正多边形的性质是解答此题的关键．课后小测答案：一.选择题（共4小题）1．【考点】正多边形和圆．【分析】根据正多边形的外角和是360°求出正多边形的边数，再求出其中心角．【解答】解：∵正多边形的一个外角为60°，∴正多边形的边数为=6，其中心角为=60°．故选：B．【点评】本题考查了正多边形和圆，熟悉正多边形的性质和外角和是解题的关键．2．【考点】多边形内角与外角．【分析】正n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，则它的内角是等于，n边形的中心角等于，根据中心角等于内角就可以得到一个关于n的方程，解方程就可以解得n的值．【解答】解：根据题意，得=，解得：n=4，即这个多边形是正四边形．故选：C．【点评】本题比较容易，考查正多边形的中心角和内角和的知识，也可以对每个结果分别进行验证．3．【考点】正多边形和圆．【专题】计算题．【分析】理解清楚题意，此题实际考查的是一个直径为24mm的圆内接正六边形的边长．【解答】解：已知圆内接半径r为12mm，则OB=12，∴BD=12×=6，则BC=2×6=12，可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正六边形的边长最大．故选A．【点评】此题所求结果比较新颖，要注意题目问题的真正含义，即求圆内接正六边形的边长．4．【考点】正多边形和圆．【专题】计算题．【分析】首先根据外角的度数求出正多边形的边数，正六边形的半径外接圆与边长相等求解．【解答】解：∵正n边形的一个外角为60°，∴n=360°÷60°=6，∵正六边形的外接圆半径与边长相等，∴正六边形的边长为4．故选A．【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，正六边形的半径与边长相等，是需要熟记的内容．二.填空题（共5小题）5．【考点】正多边形和圆．【专题】计算题．【分析】正三角形的计算可以过中心作一边的垂线，然后连接中心与这边的端点，即可得到一个直角三角形，解直角三角形即可；正方形的边以及对应的两条半径正好构成等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解；正六边形的边长与半径相等即可求解．【解答】解：正三角形的中心角是=120°，则边长是：2×10sin60°=10cm；正方形的边长是：10cm；正六边形的边长等于半径，因而边长是10cm．故答案是：10cm，10cm，10cm．【点评】正多边形的计算的基本思路是转化为直角三角形的计算．6．【考点】多边形内角与外角．【专题】计算题．【分析】一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．【解答】解：由题意可得：360°÷20°=18，则它的边数是18．【点评】根据多边形中心角的个数与边数之间的关系解题，本题是一个基本的问题．7．【考点】多边形内角与外角．【专题】计算题．【分析】一个正多边形的中心角都相等，且所有中中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．【解答】解：由题意可得：边数为360°÷36°=10，则它的边数是10．【点评】根据多边形中心角的个数与边数之间的关系解题，本题是一个基本的问题．8．【考点】正多边形和圆．【专题】计算题．【分析】根据正n边形的中心角是即可求解．【解答】解：正多边形的边数是：=8．故答案为：8．【点评】本题主要考查了正多边形中心角的计算方法，是需要熟记的内容．9．【考点】多边形内角与外角．【分析】先根据周角等于360°求出边数，再根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式计算即可得解．【解答】解：∵正多边形的中心角为72度，∴边数为：360°÷72°=5，∴这个正多边形的内角和=（5﹣2）•180°=540°．故答案为：540．【点评】本题考查了多边形的内角和公式，熟记正多边形中心角的定义求出边数的是解题的关键．三.解答题（共4小题）10．【考点】正多边形和圆．【分析】如图，首先求出∠AOB、∠AOC的度数，进而求出∠BOC的度数即可解决问题．【解答】解：如图，∵AB是的⊙O内接正十边形的一边，AC是⊙O的内接正十五边形的一边，∴∠AOB=，∠AOC==24°，当点在外时，∠BOC=36°+24°=60°；当点C在上时，∠BOC=36°﹣24°=12°；即以BC为边的内接正多边形的中心角的度数为60°或12°．【点评】该题以正多边形和圆为载体，以正多边形和圆的性质的考查为核心构造而成；灵活运用有关定理来分析、判断是解题的关键．11．【考点】正多边形和圆．【分析】首先根据题意画出图形，易得△OBC是等边三角形，继而可得正六边形的边长为r，然后由勾股定理求得边心距，又由S正六边形=6S△OBC求得答案．【解答】解：如图，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠B