大学复习资料-概率论核心概念及公式

（1）

Pn=

m!(mn)!mC=m!mC=

从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

nm n!(mn)!

从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。（2）理（3列（4）（5）（6）运算

n某件事由两种方法来完成，👉一种方法可m种方法完成，👉n种方某件事由两个步骤来完成，👉一个步骤可m种方法完成，👉n种方重复排列和非重复排列（有序）顺序问题试验的可能结果称为随机事件。如下性质：表示。1①关系：ABAB：ABBA□。属于A而不属于BA与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。BAA与BABAA。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。②运算：更多免费学习资料，：-关注即可获取更新资源 =Ai德摩根率：i=1 i=1

AB=AB

，AB=AB（7）定义

列三个条件：，A2有 PAi=P(Ai)i=1 i=1°=1,2n，

P(12°

)=P(n

)=1n。型

设任一事件A1,2m组成的，则有=1)2)m)}=P1)+P2)++Pm)n

基本事件总数（9）型式式

A，P(A)=L(A)L()。其中L为几何度量（）P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A-B)=P(A)-P(AB)

BP(AB)

P(AB)

为事件AB率

)式

乘法公式：PAB)PA)P(B/A)，若PA1A2An)PA1)PA2|A1)PA3|A1A2PAn|A1A2An1。设事件A、B满足PAB)PA)P(B，则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且PA)0，则有

P(B|A)=

P(A)

P(A)P(B)=P(B)P(A)A、BA与B、A与B、AB更多免费学习资料，：-关注即可获取更新资源

Ø与任何事件都互斥。设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)那么C对于n个事件类似。设事件B1B2,Bn满足,B2,,nP(i)>0i=,,,n)，nABi式 2°则有

i=1 ，PA)P(B1)PA|B1P(B2)P(A|B2+P(Bn)P(A|Bn。设事件B1，B2，…，Bn及A满足°nABi

2°则

i=1/A)=

，P(A)>0，P(Bi)P(A/Bi)n公式 P(Bj)P(A/Bj)

概型

(i)（i=12nP(i/)（i=12n，的推断。我们作了n次试验，且满足AAnAAA这种试验称为伯努利概型，或称n重伯努利试验。p表示每次试验A发生的概率，则A1pq，用Pn(k表示n重nn，。P(k)=Ckpkqnnn，。

离布律

X(X=Xk)的概率为X给出：X |P(X=xk)

x1,x2,,xk,p1,p2,,pk,。

pk=1（1）pk0k1,2,，（2）k=1 。更多免费学习资料，：-关注即可获取更新资源连布密度

设F(x)Xf(x)xxF(x)=f(x)dx，x则称Xf(x称为X密度。41°f(x)0。+离布函数

f(x)dx=1。P(X=x)P(x<Xx+dx)f(x)dxfx)dxP设XF(x)=P(Xx)称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。

xk)pk在离散型P(a<Xb)=F(b)F(a)

X(abF(x)分布函数具有如下性质：1°0F(x)1,

–<x<+；°F()=3°

limF(x)=0x

F(+)=

limF(x)=1x+ ；4°F(x0)F(x，即F(x是右连续的；5°P(Xx)F(x)F(x0)。F(x)=pk

xkx ；xF(x)=f(x)dx机变量， 。八

0-1分布 n布 在nApAX则Xn。P(X=k)=Pn(k)=Ckpkqnk，其中n1,k=0,1,2,,n，Xnp

~B(n,p。当n1时，P(Xk=

分布，泊松分布 kP(X

ek!

，>0，k=0,1,2，)。

~)或者。更多免费学习资料，：-关注即可获取更新资源

k nkCM CCnNC

l=min(M,n),X。,

)1,2,3,，其中p≥0，q=1-p。Xp。布 Xf(x)上1为常数ba，即1 ,

a≤x≤bf(x)=b,

X。xF(x)=x

f(x)dx=

0，ba1，

x<a，a≤x≤bx>b。当x2P(x1

<X<x2

)=x2x1ba。

f(x)=

ex,

x0,0, x<0,0XF(x)=

ex,0,

x0,x<0。+xnexdx=n!0更多免费学习资料，：-关注即可获取更新资源X正态分布 X(x)f(x)=

1

2，

–<x<+，、0X服从参数为、X~N(,2)。°f(x)x=1f()=°

若X~N(,2，则X的分布函数为F(x)=

e2dt2 。

1)(x)= 2分布函数1 x

2

，<x<+，

e2dt2 21数值，已编制成表可供查用。X~N(,2，则

~N(0,1)。P(x

<Xx

)=x2x11 2

。位数数分布

型 X,,

xn,P(X=xi)p1,p2,,

pn,，Y gx1),g2)g,xgxn),的分布列（i

(i互不相等）如下：P(Y=

)

p2,

, pn, ，g(xi)pig(xi)。型 用X出Y。👉三章二维随机变量及其分布更多免费学习资料，：-关注即可获取更新资源分布

型 。设=（X，Y）(xi,yj)(i,j1,2,，且=(xi,yj)称P{(X,Y)=(xi,yj)}=pij(i,j=1,2,)有时也用下面的概率分布表来表示：XyXyy…y…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…xipi1…pij…1 2 j；j

pij=1.连续型 对于二维随机向=(X,Y)，如果存在非负函数fxy)(x+,y+，使对任意一个其邻边D，即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有PX,YDf(x,y)dxdy,DX和Yf(x,y)≥0;++随机变量的本质

）f(x,y)dxdy=.(X=x,Y=y)=(X=xY=y)更多免费学习资料，：-关注即可获取更新资源分布函数

F(x,y)=P{Xx,Yy}X和Y数。{(1,2|X(1)x,Y(2)y的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：（1）0F(x,y)1;x和y当当)x和yF(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0);（4）F(,)=F(,y)=F(x,)=0,F(+,+)=1.F(x2，y2)F(x2，y1)F(x1，y2)+F(x1，y1)0.型与连续型的关系边缘

P(X=x，Y=y)P(x<Xx+dx，y<Yy+dy)离散型

f(x，y)dxdy分布

=xi)=j

；Y的边缘分布为j=PY=yj)=i连续型 +fX(x)=f(x,y)dy+fY(y)=f(x,y)dx.

pij(i,j=1,2,)。条件

型 知为分布P(Y=yj

|X=xi)=

pijpiP(X=xi

|Y=yj)=

pij,pj型 知为f(x|y)=

f(x,y)fY(y)；f(y|x)=

独立

一般型 F(X,Y)=FX(x)FY(y)性 离散型

j更多免费学习资料，：-关注即可获取更新资源连续型 f(x,y)=fX(x)fY(y)

1 x

2(x)(y)

y2布 f(x,y)=

1212

– e

1

1

2+

2 2 ,函数

若h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。X与Y和X与Y和均匀分布

1 (x,y)DSDf(x,y)=, 其他其中SDDD。、图和图。y1D1O 1 x图3.1y1D2O 1 2x图3.2yd D3cOa bx图3.3更多免费学习资料，：-关注即可获取更新资源二维设随机向量

1 x2

2(x)(y)

y2f(x,y)=

1212

– 2(12)e

1

1

2+

22 ,12,10,20,|1是5,2,2,).

2,1 2,2),Y~N(2).即X～N（1

2,2,2),Y~N(2)但是若X～N（1

2,2

数分布

Y FZ(z)=P(Zz)=P(+＝

+Yz)1+1

,22。212n212=C 2=C22ii i ii ， i

X1,X2Xn相互独立，其分布函数分别为1(x，x2(x)xn(x)，则XXX为：

1 2 n1 2 nmin(x)=11x(x)]1x(x)1x

(x)]1 2 n

设n个随机变量X1,X2,,Xn相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和niW=X2ii=1 1 un u2e2n

u0,f()=22n,

u<0.Wn的2W～2(n)其中n

+ =

x2exdx.2 0布中的一个重要参数。iiY2(n),ii则k2Z=i~(2121

+n++nk).i=1更多免费学习资料，：-关注即可获取更新资源t布 设且T=XY/nn+1

n+1 2

t22f(t)=

1+ n nn 2

(<t<+).Tn的t。t1(n)=t(n)12设X~2(n),Y~2(n12

，且X与Y独立，可以证明F=X/n1Y/n2

n1+n2

n+n 2 n22

12n 2=

y2 1+1y

,y0f(y)

n1n2n2

n2 2 2

0,y<0Fn2的F1

(n1,n2)=F

1(n,n)👉四章随机变量的数字特征

2 1（1 离散型 连续型）一期望维随机变

设X布律为PXxk)

设X率密度为f(x)，+k量的 n

E(X)=xf(x)dx数字 E(X)=xkpk特征 k=1

函数的期望 Y=g(X)nnE(Y)=g(xk)pkk=1

=

+g(x)f(x)dx方差

D(X)

=[kk

E(X)]2p

kD(X)=k

+[xE(X)]2f(x)dx

D(X)，更多免费学习资料，：-关注即可获取更新资源矩 k即

k即νk=E(Xk)=

xkpiiiii

f(x)dx,….X的k

X的kkkk=E(XE(X))kk.

=E(XE(X))k.(xi=i

–E(X))kpi，i

+(xE(X))kf(x)dx,=

式 X差则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式2P(X

)2（2 E(C)=C期

X的分布的情况下，对概率P(X)望的 n n质 E(CiXi)=CiE(Xi)

i=1和Y充要条件：X和Y不相关。（3 D(C)=0；E(C)=C方差的；性质和Y充要条件：X和Y不相关。（4 期望 方差p见分二项分布B(n,p) np

p(1p)布的泊松分布P() 期望 1p差超几何分布 nM

1pp2nM

MNn1 H(n,M,N) N

N NN1b)

b2

(ba)212更多免费学习资料，：-关注即可获取更新资源21 12 布N(,2) 22分布

n 2nn0（5 期望 n

+E(X)=xipii=1

E(X)=

xfX

(x)dx维随 n变 ()=yjpjj=1量的

E(Y)=

+yfY

(y)dy数字函数的期望

E[G(X,Y)]＝G(x,y)p

E[G(X,Y)]＝++特征 ii j方差

j ij

G(x,y)f(x,y)dxdy—－+D(X)=[xii

–E(X)]2p

D(X)=

[xE(X)]2fX(x)dxi+iD(Y)=[xjj

–E(Y)]2p

D(Y)=[yE(Y)]2

fY(y)dy协方差 对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心11为X与Y的协方差或相关矩，记XY或cov(X,Y)，即XY

11=E[(XE(X))(YE(Y))].XY与Y与数 X与果称XYD(X)D(Y)为与。||X与YP(X=aY+b)=1

=1时(a0)，而当0时，称X与Y不相关。①XY

=0；②cov(X,Y)=0;③E(XY)=E(X)E(Y);④D(X+Y)=D(X)+D(Y);⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).

XX XY YX YY更多免费学习资料，：-关注即可获取更新资源混合矩 对于随机变量X与Y，如果有E(XkYl)存在，则称之为X与Yukl（6

协方差的性质（7 与XY0；反之不真。

,2,2,，立和 1 2 1 2不相 则X与Y相互独立的充要条件X和Y不相关。关👉五章大数定律和中心极限定理大数定律 X

数C所界：定律 1n 1n limP XiE(Xi)<=1.n

ni=1

ni=1 式成为1n limP Xi<=1.n ni=1 伯努 设μ是n次独立试验中事A发生的次数，p是事件A在每利大 次试验中发生的概率，则对于任意的正ε，有数定 limP p

1.律 n

<=nA与概率有较大判别的可能性很小，即limP p

=0.n n 钦 设数 ε有定律 1n limP Xi<=1.n ni=1 更多免费学习资料，：-关注即可获取更新资源中心极限 定理 2

同的数学期望和方差：EXk)DXk)20(k1,2,，则随机变量XN(, )n 格定理

nnY=k=1n

–nnn XknlimF(x)=limPk=1

=1xx

t2xe2dt.nn

n

莫 Xn弗－ 实数x,有拉普拉斯 P

Xnnp

x=

t2xe2dt.n定理

np(1p)

CkCnk

N时,MN

p(n,k不变)，则M NM

Ckpk(1p)nkCNn n (N).CN泊松定理 当则knCkpk(1p)nkn

k!

(n).总体个体）样本 从总体中抽取的部分样x1,x2,,xn称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般n表示。在一般情况下，总有相同分布的随机量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的，1,2,xn表示nx1x2,xn表示n个具体的数值（样本值）两重性。

x1x2,xn为总体的一个样本，称

=

x2

,,xn）更多免费学习资料，：-关注即可获取更新资源常见统计量 1n

x=xi.ni=1n

1

1n

n(xii=1

–x)2.样本标准差

S=n1

(xii=1

–x)2.1n kMk=n

xi,k=1,2,.i=1kM=k

n11

ni=1E(X)=，D(X)

=2n，

E(S*2)=n12n ,S*2

n12=(XiX)12其中

正态分布 数defu

x

/ nt布 设x1,x2,,xnN,2)函数deft

x

(n1),s/ n2分布

其中的t设x1,x2,,xnN,2)数defw

2

~2(n1),的

x,x

,,x

N(,2)设1 2

1 y,y

,,y

N(,2)1 2defS2

/2

2 F1 1FS222/2S22其中

~F(n1

1),1 n1 1 n21S2=1n1

(xi

–x)2,

S2=2n22

i

–y)2;Fn11,n21)表示👉n11，👉二自由度为n21的F分布。更多免费学习资料，：-关注即可获取更新资源总体下分布的性质

X与S2独立。） 计 体X1,2,,m以

F(

,,m

它的k阶原点矩kv=E(Xk)(k=1,2,,m)k

2,,

m，即vk=vk1,2,,m)1,x2,xnX的n其样本的k阶原点矩为1n kxini=1

(k=1,2,,m).矩”的原则建立方程，即有

=1nnv11,2,,mn

xi,

1n 221,2,,m)=nxi, n nv,

m,,m

xm.iim 1 2

mm12,m)1,2,,mg(x)gˆ)为g)17 更多免费学习资料，：-关注即可获取更新资源极大似 当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为

f(x;1,2,,m)

,,,1 2 1 2 nL1,2,,m)=f(xi;1,2,,m)i=1当总体X为离型随机变量时，设其分布律为P{X

x}=p(x;1,2,,m)，则称nL(x1,x2,,xn1,2,,m)=(xi1,2,m)

L(1,x2,,xn;1,2,,m)

1,2,,m若似然函数 在 1,2, ,m1,1,2, ,m

分别为 i

i

=0,i=1,2,,mg(x)g)为g)（2）标准

无偏性 = (1,x2,,xn)E= （X，）有效性

x = x

, 1)212一致性 nlimP(|n|>)=0,nn） ˆ D)0n),（3）计

信度

和相应总体的一致估计量。1,,2,,n1=1(1,,2,,xn)与2=2(1,,2,,n)(12)12]以P{12}=1,12]1置信水平。更多免费学习资料，：-关注即可获取更新资源计

1和21,2]11,2]。已知方差，估计均值 u=x

0/ nP

x

=1./n /n 0 x0,x+0 n n未知方差，估计均值 xt=

~t(n1).S/ nP

=1. S/ n xS,x+S n n方差的区间估计 2w= ~2(n1).2P1

2

2=1.n1 n1

S, 2

S1 想 上H00们称H0H1或。更多免费学习资料，：-关注即可获取更新资源提出零假设H0；λ；由样本值x1x2,xn计算统计量之值K；

将K|K|(K)H0相容。误 当H0规H0立为此处的α误 当H1规不0误的概率，即α。αα则应把α条件 零假设 统计量

H0:=0

|u|>u12

H:

U=x0

u>u0 0/n0/n

1H0:0 u