相似三角形与全等三角形-（2020-2022）中考数学专题真题分项汇编（四川）（解析）

专题14相似三角形与全等三角形一、单选题1．（2022·四川成都·中考真题）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据三角形全等的判定做出选择即可．【详解】A、，不能判断，选项不符合题意；B、，利用SAS定理可以判断，选项符合题意；C、，不能判断，选项不符合题意；D、，不能判断，选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查三角形全等的判定，根据SSS、SAS、ASA、AAS判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解答本题的关键．2．（2022·四川南充·中考真题）如图，在中，的平分线交于点D，DE//AB，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据角平分线的性质得到CD=DF=3，故B正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE=DE=5，故C正确；由此判断D正确；再证明△BDF≌△DEC，求出BF=CD=3，故A错误．【详解】解：在中，的平分线交于点D，，∴CD=DF=3，故B正确；∵DE=5，∴CE=4，∵DE//AB，∴∠ADE=∠DAF，∵∠CAD=∠BAD，∴∠CAD=∠ADE，∴AE=DE=5，故C正确；∴AC=AE+CE=9，故D正确；∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，CD=DF，∴△BDF≌△DEC，

∴BF=CD=3，故A错误；故选：A．【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等边对等角证明角相等，全等三角形的判定及性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．3．（2021·四川成都·中考真题）如图，四边形是菱形，点E，F分别在边上，添加以下条件不能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据三角形全等判定定理SAS可判定A，三角形全等判定定理ASA可判定B，三角形全等判定定理可判定C，三角形全等判定定理AAS可判定D即可．【详解】解:∵四边形是菱形，∴AB=AD,∠B=∠D,A.添加可以，在△ABE和△ADF中，，∴(SAS)，故选项A可以；B.添加可以，在△ABE和△ADF中，∴(ASA)；故选项B可以；C.添加不可以，条件是边边角故不能判定；故选项C不可以；D.添加可以，在△ABE和△ADF中，∴(SAS)．故选项D可以；故选择C．【点睛】本题考查添加条件判定三角形全等，菱形性质，掌握三角形全等判定定理，菱形性质是解题关键．4．（2021·四川阿坝·中考真题）如图，等腰△中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定≌的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即得答案．【详解】解：A、若添加，由于AB=AC，∠A是公共角，则可根据SAS判定≌，故本选项不符合题意；B、若添加，不能判定≌，故本选项符合题意；C、若添加，由于AB=AC，∠A是公共角，则可根据AAS判定≌，故本选项不符合题意；D、若添加，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABE=∠ACD，由于∠A是公共角，则可根据ASA判定≌，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，属于基本题型，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．5．（2022·四川雅安·中考真题）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先求解再证明可得【详解】解：＝，DE∥BC，故选D【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键．6．（2022·四川遂宁·中考真题）如图，D、E、F分别是三边上的点，其中，BC边上的高为6，且DE//BC，则面积的最大值为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【解析】【分析】过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，设，根据，证明，根据相似三角形对应高的比等于相似比得到，列出面积的函数表达式，根据配方法求最值即可．【详解】如图，过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，设，，，，，，∴,，当时，S有最大值，最大值为6，故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值，熟练掌握知识点是解题的关键．7．（2022·四川凉山·中考真题）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（

）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm【答案】C【解析】【分析】根据平行得到，根据相似的性质得出，再结合，DE＝6cm，利用相似比即可得出结论．【详解】解：在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DEBC，，，，，，，，，故选：C．【点睛】本题考查利用相似求线段长，涉及到平行线的性质、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．8．（2021·四川雅安·中考真题）如图，将沿边向右平移得到，交于点G．若．．则的值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】【分析】根据平移的性质可得AD=BE，且AD∥BE，故可得△CEG∽△ADG，由相似三角形的性质及已知条件即可求得△CEG的面积．【详解】由平移的性质可得：AD=BE，且AD∥BE∴△CEG∽△ADG∴即∵∴∴∵∴故选：B．【点睛】本题考查了平移的性质及相似三角形的判定与性质，相似三角形的性质是本题的关键．9．（2020·四川内江·中考真题）如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则（）A．30 B．25 C．22．5 D．20【答案】D【解析】【分析】首先判断出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积．【详解】解：根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE∥BC且DE=BC，故可以判断出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知：=1：4，则：=3：4，题中已知，故可得=5，=20故本题选择D【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE是中位线，从而判断△ADE∽△ABC，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题．10．（2020·四川成都·中考真题）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．【答案】D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可．【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴.∵AB=5，BC=6，EF=4，∴.∴DE=.故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．11．（2021·四川内江·中考真题）在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为的竹竿的影长为，某一高楼的影长为，那么这幢高楼的高度是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】设此高楼的高度为x米，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关于x的比例式，求出x的值即可．【详解】解：设这幢高楼的高度为米，依题意得：，解得：．故这栋高楼的高度为36米．故选：．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．12．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①；②；③若，则；④在内存在唯一一点P，使得的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则．其中含所有正确结论的选项是（

）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【答案】B【解析】【分析】证明，即可判断①，根据①可得，由可得四点共圆，进而可得，即可判断②，过点作于,交的延长线于点，证明，根据相似三角形的性质可得，即可判断③，将绕点逆时针旋转60度，得到，则是等边三角形，根据当共线时，取得最小值，可得四边形是正方形，勾股定理求得，根据即可判断④．【详解】解：和都是等腰直角三角形，，故①正确；四点共圆，故②正确；如图，过点作于,交的延长线于点，,，,设，则，，则AH∥CE，则；故③正确如图，将绕点逆时针旋转60度，得到，则是等边三角形，，当共线时，取得最小值，此时，此时，，，，，，，平分，，四点共圆，

，又,，，则四边形是菱形，又，四边形是正方形，，则，，，，

，，则，，，，故④不正确，故选B．【点睛】本题考查了旋转的性质，费马点，圆内接四边形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正方形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．13．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，，，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据相似三角形的性质得到，得到，，过B作于H，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，当时，PQ的值最小，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：，，，解得：（负值舍去），，，，，，，，过B作于H，，，，，当时，PQ的值最小，，，，，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．二、填空题14．（2022·四川广安·中考真题）如图，点D是△ABC外一点，连接BD、AD，AD与BC交于点O．下列三个等式：①BC=AD；②∠ABC=∠BAD；③AC=BD．请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明．已知：，求证：【答案】BC=AD，∠ABC=∠BAD；AC=BD；证明见详解【解析】【分析】构造SAS，利用全等三角形的判定与性质即可求解．【详解】已知：BC=AD，∠ABC=∠BAD，求证：AC=BD．证明：在△ABC和△BAD中，∵，∴，∴，即命题得证．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．15．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，中，点E、F分别在边AB、AC上，．若，，，则______．【答案】【解析】【分析】易证△AEF∽△ABC，得即即可求解．【详解】解：∵∠1=∠2，∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，∴，即∵，，，∴，∴EF=，故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．16．（2022·四川凉山·中考真题）如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为_______．【答案】【解析】【分析】如图（见解析），先根据平行线的判定与性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的长，然后根据正切的定义即可得．【详解】解：如图，由题意得：，，，，同理可得：，，，在和中，，，，，，解得，经检验，是所列分式方程的解，则，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正切等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键．17．（2022·四川成都·中考真题）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是_________．【答案】【解析】【分析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到结论．【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，，，，，根据与的周长比等于相似比可得，故答案为：．【点睛】本题考查相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键．18．（2021·四川南充·中考真题）如图，在中，D为BC上一点，，则的值为________．【答案】．【解析】【分析】证明△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质即可解答．【详解】∵，∴，，∴，∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，证明△ABD∽△CBA是解决问题的关键．19．（2021·四川乐山·中考真题）如图，已知点，点为直线上的一动点，点，，于点，连接．若直线与正半轴所夹的锐角为，那么当的值最大时，的值为________．【答案】【解析】【分析】设直线y＝﹣2与y轴交于G，过A作AH⊥直线y＝﹣2于H，AF⊥y轴于F，根据平行线的性质得到∠ABH＝α，由三角函数的定义得到，根据相似三角形的性质得到比例式，于是得到GB（n+2）（3﹣n）（n）2，根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】解：如图，设直线y＝﹣2与y轴交于G，过A作AH⊥直线y＝﹣2于H，AF⊥y轴于F，∵BH∥x轴，∴∠ABH＝α，在Rt△ABH中，,，即=∵sinα随BA的减小而增大，∴当BA最小时sinα有最大值；即BH最小时，sinα有最大值，即BG最大时，sinα有最大值，∵∠BGC＝∠ACB＝∠AFC＝90°，∴∠GBC+∠BCG＝∠BCG+∠ACF＝90°，∴∠GBC＝∠ACF，∴△ACF∽△CBG，∴，∵，即，∴BG（n+2）（3﹣n）（n）2，∵∴当n时，BG最大值故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线证得△ACF∽△CBG是解题的关键．三、解答题20．（2022·四川宜宾·中考真题）已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，，，．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】根据，可得，根据证明，进而可得，根据线段的和差关系即可求解．【详解】证明：∵，∴，在与中，，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．21．（2022·四川乐山·中考真题）如图，B是线段AC的中点，，求证：．【答案】证明过程见详解【解析】【分析】运行平行线的性质可证∠A=∠EBC，∠DBA=∠C，结论即可得证．【详解】证明∵B是AC中点，∴AB=BC，∵，∴∠A=∠EBC，∵，∴∠DBA=∠C，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE(ASA)．【点睛】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等的知识是解答本题的关键．22．（2021·四川宜宾·中考真题）如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：△AOB≌△COD．【答案】证明见解析【解析】【分析】先证明∠DOC=∠BOA，再由边角边即可证明△AOB≌△COD．【详解】解：由图可知：，，∵，∴，在和中：，∴．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，属于基础题，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决本题的关键．23．（2021·四川南充·中考真题）如图，，AD是内部一条射线，若，于点E，于点F．求证：．【答案】见详解【解析】【分析】根据AAS证明△BAE≌△ACF，即可得．【详解】证明：∵，∴∠BAE＋∠CAF＝90°，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，∴∠BAE＋∠EBA＝90°，∴∠CAF＝∠EBA，∵AB＝AC，∴△BAE≌△ACF，∴．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．24．（2021·四川乐山·中考真题）如图，已知，，与相交于点，求证：．【答案】证明见解析【解析】【分析】根据全等三角形的性质，通过证明，得，结合等腰三角形的性质，即可得到答案．【详解】∵，∴（AAS），∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形的性质，从而完成求解．25．（2021·四川泸州·中考真题）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE【答案】证明见详解．【解析】【分析】根据“ASA”证明△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的对应边相等即可得到结论.【详解】证明：在△ABE和△ACD中，∵,△ABE≌△ACD(ASA)，∴AE=AD，∴BD=AB–AD=AC-AE=CE．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．26．（2020·四川南充·中考真题）如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，求证：AB=CD．【答案】详见解析【解析】【分析】根据ABBD，DEBD，ACCE，可以得到，，，从而有，可以验证和全等，从而得到AB=CD．【详解】证明：∵，，∴∴，∴在和中∴≌故．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用角边角判定三角形全等，其中找到两两互余的角之间的关系是解题的关键．27．（2020·四川泸州·中考真题）如图，AB平分∠CAD，AC＝AD．求证：BC＝BD．【答案】证明见解析．【解析】【分析】由AB平分∠CAD可知∠BAC＝∠BAD，再根据AC＝AD，AB＝AB可判断出△ABC≌△ABD，从而得到BC＝BD．【详解】证明：∵AB平分∠CAD，∴∠BAC＝∠BAD．∵AC＝AD，AB＝AB，∴△ABC≌△ABD（SAS）．∴BC＝BD．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．28．（2020·四川内江·中考真题）如图，点，，，在同一直线上，点，在异侧，，，．（1）求证：；（2）若，，求的度数．【答案】（1）见解析；（2）70°【解析】【分析】（1）根据角角边求证即可；（2）根据已知可得，根据等边对等角可得结果．【详解】解：（1）证明：∵，∴，在和中，∴，∴；（2）∵，，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定与性质定理是解题的关键．29．（2020·四川宜宾·中考真题）如图，在三角形ABC中，点D是BC上的中点，连接AD并延长到点E，使，连接CE．（1）求证：（2）若的面积为5，求的面积．【答案】（1）详见解析；（2）10．【解析】【分析】（1）根据中点定义、对顶角相等以及已知条件运用SAS即可证明；（2）先根据三角形中点的性质和全等三角形的性质得到、，再结合以及解答即可．【详解】证明：（1）∵D是BC的中点，∴BD=CD在△ABD和△CED中，所以；(2)∵在△ABC中，D是BC的中点∴∵．答：三角形ACE的面积为10．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识，其中掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．30．（2022·四川达州·中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：(1)【初步探究】如图2，当时，则_____；(2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________；(3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．(4)【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)仍然成立，理由见解析(4)【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可得，根据题意可得，根据等原三角形的性质可得平分，即可得，根据旋转的性质可知；（2）证明，可得，根据等腰直角三角形可得，由，即可即可得出；（3）同（2）可得，过点，作，交于点，证明，，可得，即可得出；（4）过点作，交于点，证明，可得，，在中，勾股定理可得，即可得出．(1)等腰直角三角形和等腰直角三角形，，故答案为：(2)在与中，又重合，故答案为：(3)同（2）可得，过点，作，交于点，则，，在与中，，，，是等腰直角三角形，，，，，在与中，，，，，即，(4)过点作，交于点，，，，，，，，，，，，，，中，，，即．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键．31．（2021·四川雅安·中考真题）如图，为等腰直角三角形，延长至点B使，其对角线，交于点E．（1）求证：；（2）求的值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）通过是等腰直角三角形可知，再由，即可证明；（2）设，则，，再根据即可得到用含的表达式表示的DF，进而即可求得的值．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形∴E为BD中点∵∴∴又∵为等腰直角三角形∴，∴∴∵∴在与中∴；（2）解：设∵为等腰直角三角形∴，，∵∴∴又∵∴∴∵，∴∵E是DB中点∴∴∴∴．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，三角形相似的性质与判定，还涉及了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三线合一，矩形的性质等相关内容，熟练掌握相关几何证明方法是解决本题的关键．32．（2021·四川阿坝·中考真题）如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，点D落在线段AB上，连接BE．（1）求证：DC平分；（2）试判断BE与AB的位置关系，并说明理由：（3）若，求的值．【答案】（1）见解析；（2）BE⊥AB，理由见解析；（3）．【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得AC=CD，∠A=∠CDE，再由等腰三角形的性质得到∠A=∠ADC即可证明∠ADC=∠CDE；（2）根据旋转的性质得到∠ACD=∠BCE，CB=CE，AC=CD，从而得出∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，再根据∠ACB=90°即可得到∠ABE=90°；（3）设BD=BE=a，根据勾股定理计算出AB=DE=，表达出AD，再证明△ACD∽△BCE，得到即可．【详解】解：（1）由旋转可知：AC=CD，∠A=∠CDE，∴∠A=∠ADC，∴∠ADC=∠CDE，即DC平分∠ADE；（2）BE⊥AB，理由：由旋转可知，∠ACD=∠BCE，CB=CE，AC=CD，∴∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，又∵∠ACB=90°，∴∠CAD+∠ABC=90°，∴∠CBE+∠ABC=90°，即∠ABE=90°，∴BE⊥AB；（3）∵∠ABE=90°，BD=BE，∴设BD=BE=a，则，又∵AB=DE，∴AB=，则AD=，由（2）可知，∠ACD=∠BCE，∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，∴△ACD∽△BCE，∴，∴tan∠ABC=．【点睛】本题考查了旋转的综合应用以及相似三角形的性质与判定、锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，并熟记锐角三角函数的定义．33．（2020·四川眉山·中考真题）如图，和都是等边三角形，点、、三点在同一直线上，连接，，交于点．（1）若，求证：；（2）若，．①求的值；②求的长．【答案】（1）见解析；（2）①；②【解析】【分析】（1）先根据两边对应成比例且夹角对应相等得出，再根据ASA得出即可．（2）①过点作于点，根据直角三角形角所对直角边是斜边的一半可得，从而得出，由BE=6得出，，根据勾股定理得出，然后根据即可．②在Rt中，根据勾股定理得出BD的长，再根据得出即可得出DF的长．【详解】（1）证明：，又，，．和均为等边三角形，，，，，，．（2）①，，，，，，．，，，过点作于点，为等边三角形，，．在Rt中，，．②在Rt中，，，，，，，．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，直角三角形的性质，以及锐角三角函数，熟练掌握相关的知识是解题的关键．34．（2021·四川乐山·中考真题）在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结．（1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则________；（2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．①在图2中补全图形；②探究与的数量关系，并证明；（3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证明．【答案】（1）30°；（2）①见解析；②；见解析；（3），见解析【解析】【分析】（1）先根据题意得出△ABC是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可（2）①按要求补全图即可②先根据已知条件证明△ABC是等边三角形，再证明，即可得出（3）先证明，再证明，得出，从而证明，得出，从而证明【详解】解：（1）∵，∴△ABC是等边三角形∴∠B=60°∵点关于直线的对称点为点∴AB⊥DE，∴故答案为：；（2）①补全图如图2所示；②与的数量关系为：；证明：∵，．∴为正三角形，又∵绕点顺时针旋转，∴，，∵，，∴，∴，∴．（3）连接．∵，，∴．∴．又∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴，．∵，∴．又∵，∴．【点睛】本题考查相似三角形的证明及性质、全等三角形的证明及性质、三角形的外角、轴对称，熟练进行角的转换是解题的关键，相似三角形的证明是重点35．（2020·四川凉山·中考真题）如图，点P、Q分别是等边边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．（1）如图1，连接AQ、CP求证：（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）不变；60°；（3）不变；120°．【解析】【分析】（1）根据点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，可得BQ=AP，结合等边三角形的性质证全等即可；（2）由（1）中全等可得∠CPA=∠AQB，再由三角形内角和定理即可求得∠AMP的度数，再根据对顶角相等可得的度数；（3）先证出，可得∠Q=∠P，再由对顶角相等，进而得出∠QMC=∠CBP=120°．【详解】解：（1）证明：∵三角形ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠CAB=60°，∵点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，∴BQ=AP，在△ABQ与△CAB中，∴．（2）角度不变，60°，理由如下：∵∴∠CPA=∠AQB，在△AMP中，∠AMP=180°-（∠MAP+∠CPA）=180°-（∠MAP+∠AQB）=∠ABC=60°，∴∠QMC=∠AMP=60°，故∠QMC的度数不变，度数为60°．（3）角度不变，120°，理由如下：当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，有AP=BQ，∴BP=CQ∵∠ABC=∠BCA=60°，∴∠CBP=∠ACQ=120°，∴∴∠Q=∠P，∵∠QCM=∠BCP，∴∠QMC=∠CBP=120°，故∠QMC的度数不变，度数为120°．【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，灵活运用等边三角形的性质证全等是解题的关键．36．（2020·四川达州·中考真题）（1）【阅读与证明】如图1，在正的外角内引射线，作点C关于的对称点E（点E在内），连接，、分别交于点F、G．①完成证明：点E是点C关于的对称点，，，．正中，，，，得．在中，，______．在中，，______．②求证：．（2）【类比与探究】把（1）中的“正”改为“正方形”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：①______；②线段、、之间存在数量关系___________．（3）【归纳与拓展】如图3，点A在射线上，，，在内引射线，作点C关于的对称点E（点E在内），连接，、分别交于点F、G．则线段、、之间的数量关系为__________．【答案】（1）①60°，30°；②证明见解析；（2）①45°；②BF=(AF+FG)；（3）．【解析】【分析】（1）①根据等量代换和直角三角形的性质即可确定答案；②在FB上取AN=AF，连接AN．先证明△AFN是等边三角形，得到∠BAN=∠2=∠1，然后再证明△ABN≌△AEF，然后利用全等三角形的性质以及线段的和差即可证明；（2）类比（1）的方法即可作答；（3）根据（1）（2）的结论，即可总结出答案．【详解】解：（1）①∵，，∴，即60°；∵∴故答案为60°，30°；②在FB上取FN=AF，连接AN∵∠AFN=∠EFG=60°∴△AFN是等边三角形∴AF=FN=AN∵FN=AF∴∠BAC=∠NAF=60°∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2∴∠BAN=∠2∵点C关于的对称点E∴∠2=∠1,AC=AE∴∠BAN=∠2=∠1∵AB=AC∴AB=AE在△ABN和△AEFFN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE∴△ABN≌△AEF∴BN=EF∵AG⊥CE，∠FEG=30°∴EF=2FG∴BN=EF=2FG∵BF=BN+NF∴BF=2FG+AF（2）①点E是点C关于的对称点，，，．正方形ABCD中，，，，得．在中，，45．在中，，45．故答案为45°；②在FB上取FN=AF，连接AN∵∠AFN=∠EFG=45°∴△AFN是等腰直角三角形∴∠NAF=90°，AF=AN∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2=90°,FN=AF∴∠BAN=∠2∵点C关于的对称点E∴∠2=∠1,AC=AE∴∠BAN=∠2=∠1∵AB=AC∴AB=AE在△ABN和△AEFFN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE∴△ABN≌△AEF∴BN=EF∵AG⊥CE，∠FEG=45°∴EF=FG∴BN=EF=FG∵BF=BN+NF∴BF=FG+AF（3）由（1）得：当∠BAC=60°时BF=AF+2FG=；由（2）得：当∠BAC=90°时BF=AF+2FG=；以此类推，当当∠BAC=60°时，．【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及三角函数的应用，灵活应用所学知识是解答本题的关键．37．（2022·四川达州·中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：(1)【初步探究】如图2，当时，则_____；(2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________；(3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．(4)【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)仍然成立，理由见解析(4)【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可得，根据题意可得，根据等原三角形的性质可得平分，即可得，根据旋转的性质可知；（2）证明，可得，根据等腰直角三角形可得，由，即可即可得出；（3）同（2）可得，过点，作，交于点，证明，，可得，即可得出；（4）过点作，交于点，证明，可得，，在中，勾股定理可得，即可得出．(1)等腰直角三角形和等腰直角三角形，，故答案为：(2)在与中，又重合，故答案