初中数学浙教版九年级下册第1章解直角三角形锐角三角函数 市获奖

锐角三角函数的计算(二)1.利用计算器，求锐角α的度数(精确到1″).(1)sinα＝，则α≈20°20′4″.(2)cosα＝，则α≈64°42′13″.(3)tanα＝，则α≈50°38′3″.2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(3,5).(1)若BC＝3x，则AB＝5x，AC＝4x，tanA＝eq\f(3,4)，tanB＝eq\f(4,3)，sinB＝eq\f(4,5).(2)用计算器可以求得∠A≈36°52′12″，∠B≈53°7′48″(精确到1″).3.已知梯形的上底长为10cm，下底长为15cm，一腰长为8cm，高线长为4eq\r(,3)cm，则两个下底角的度数分别为60°，82°4.若一个等腰三角形的三边长分别为6cm，6cm，8°5.现要加工形状如图所示的零件，请根据图示尺寸(单位：mm)计算斜角α的度数(精确到1″).(第5题)【解】∵EG＝DC－AB＝150－124＝26(mm)，∴FG＝EF－EG＝83－26＝57(mm)，∴tanα＝eq\f(FG,AG)＝eq\f(57,140)，∴a≈22°9′12″.6.根据锐角三角函数的定义，我们知道，对于任何锐角α，都有sin2α＋cos2α＝1.如果关于x的方程3x2sinα－4xcosα＋2＝0有实数根，求锐角α的取值范围.【解】由Δ＝16cos2α－24sinα＝16(1－sin2α)－24sinα≥0，得2sin2α＋3sinα－2≤0，∴(sinα＋2)(2sinα－1)≤0.∵sinα＋2＞0，∴2sinα－1≤0，∴sinα≤eq\f(1,2)，∴α≤30°，∴0°＜α≤30°.7.如图，某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶.已知台阶总高1.5m，为了安全，现要做一个不锈钢扶手AB及两根与FG垂直且长为1m的不锈钢架杆AD和BC，且∠(第7题)(1)求点D与点C之间的高度差DH.(2)求所有不锈钢材料的总长度(即AD＋AB＋BC的长)(精确到1m，参考数据：°≈，°≈【解】(1)DH＝×eq\f(4,5)＝(m).(2)过点B作BM⊥AH于点M.∵在矩形BCHM中，MH＝BC＝1m∴AM＝AD＋DH－MH＝1＋－1＝(m)，∴在Rt△AMB中，AB＝eq\f(AM,°)≈3m，∴不锈钢材料的总长度为1＋3＋1＝5(m).8.四边形ABCD的对角线AC，BD的长分别为m,n，可以证明当AC⊥BD时(如图①)，四边形ABCD的面积S＝eq\f(1,2)mn，那么当AC，BD所夹的锐角为θ时(如图②)，四边形ABCD的面积S＝eq\f(1,2)mnsinθ(用含m,n，θ的代数式表示).(第8题)【解】如解图，设AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD于点F.(第8题解)∵AC，BD的夹角为θ，∴AE＝OA·sinθ，CF＝OC·sinθ，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝eq\f(1,2)BD·AE＋eq\f(1,2)BD·CF＝eq\f(1,2)BD·(AE＋CF)＝eq\f(1,2)mnsinθ.9.如图所示，某施工队准备在一段斜坡上铺上台阶以便通行，现测得斜坡上铅垂的两棵树间的水平距离AB＝4m，斜面距离BC＝4.25m，斜坡总长(第9题)(1)求坡角∠D的度数(精确到1°).(2)若这段斜坡用厚度为17cm的长方体台阶来铺，需要(参考数据：cos20°≈，sin20°≈，sin18°≈，cos18°≈.)【解】(1)cosD＝cos∠ABC＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(4,≈，∴∠D≈20°.(2)EF＝DE·sinD＝85×sin20°≈(m)，×100÷17＝170(级)，∴共需170级台阶.10.图①是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图②是小明锻炼时上半身由EM位置运动到与地面垂直的EN位置时的示意图.已知BC＝0.64m，AD＝0.(1)求AB的倾斜角α的度数(精确到1°).(2)若测得EN＝0.85m，试计算小明头顶由点M运动到点N的路径eq\o(MN,\s\up8(︵))的长度(精确到0.(第10题)【解】(1)过点A作AF∥DC，分别交BC，NE的延长线于点F，H.∵AD⊥CD，BC⊥CD，∴AD∥BC，∴四边形AFCD为矩形，∴BF＝BC－FC＝BC－AD＝0.在Rt△ABF中，∵sinα＝eq\f(BF,AB)＝eq\f,，∴α≈18°.(2)∵NE⊥AF，∴∠AEH＝90°－α≈90°－18°＝72°，∴∠MEN＝180°－∠AEH＝108°，∴leq\o(MN,\s\up8(︵))＝eq\f(108×π×,180)≈(m).11.如图，延长等边三角形ABC的一边CB到点D，连结AD.以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AD于点E，连结BE.已知AC＝2，∠D＝20°，求BE的长(精确到，参考数据：eq\r(3)≈，tan20°≈，sin20°≈，cos20°≈.(第11题)【解】如解图，过点A作AF⊥BC于点F，过点B作BG⊥AD于点G.(第11题解)∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝2，∠ABC＝60°.在△ABF中，∵sin∠ABC＝eq\f(AF,AB)，∴AF＝sin∠ABC·AB＝eq\r(3)≈.在△ADF中，∵sinD＝eq\f(AF,AD)，∠D＝20°，∴AD＝eq\f(AF,sinD)≈.∵S△ADB＝eq\f(1,2)DB·AF＝eq\f(1,2)AD·BG，DB＝DF－BF＝eq\r(AD2－AF2)－eq\f(1,