初中数学最值问题

初中数学最值问题10个典型例题掌握初中数学最值问题解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中,垂线段最短;三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三迦重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据根据不同特征转化是解决最值问题的关键.通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段-几何最值问题中的基本模型举例粘莉值图形二rf、/:,VA f11原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系特征为定点〃为定直线,?为直线/上的一个动点,求在+好的最小值/户为定点「/为定直线，MN为直线/上的一条动线段।求AtA为定点J为定直线,P为直线/上的一个动点，求科2£8的最大值

AM+BN的最小值转化作其中一个定点关于定直线/的对称点先平移A/W或BN疑M,川重合，然后作其中一个定点关于定直线/的对称点作其中一个定点关于定直线/的对称点折值图形1BA' C原理两点之间线段最短特征在中j/W/A/两点分别是边48,8C上的动点:将占BMN沿M/V翻折,8点的对应点为夕连接AB1,求A8的最小值.转化转化成求力夕+87V+/VU的最小值二.骐型题型1.如图：点『是上』。〃内一定点，点攸收分别在边08上运动，若上月。8:451。A3逝.则△户MA/的周长的最小值为.A【分析】作尸关于。4。&的对称点UQ.连接。UQD则当/A/是8与OA.08的交点时，“MA/的周长最短,最短的值是。的长.根据对称的性质可以证得是等腰直角三角形，据此即可求解.【解答】解：作P关于OA,的对称点CD,连接。UOD.则当M,N是8与。4108的交点时,力心小/的周长最短，最短的值是。的长.,一％关于。4对称.."COP=2£AOP,OC=OP同理，aDOP^I^BOP,OP^OD/.zCOD=zCOP^zDOP=2(£AOP“BOP)=2£AOB=901gOD.

."COD是等腰直角三角形.则CD-6OC-V2x3V2."COD是等腰直角三角形.则CD-6OC-V2x3V2=6.【分析】因为ABt0V的长度都是固定的，所以求出川+NB的长度就行了.问题就是以十/V8什么时候最短.D【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形,理解△皿/V周长最小的条件是解题的关键.2.如图,当四边形%8/V的周长最小时，5二VA苴68.HbL0)把夕点向左平移2个单位8点作方关于x轴的对称点H、连接/笈「交＞轴于匕从而确定N点位置，此时以1+NB设直线/所的解析式为年kx+b待定系数法求直线解析式理可求得8的值.【解答】解：将A/点向左平移2单位与『重合，点8向左平移2单位到8（2।-1）,作8关于*轴的对称点九根据作法知点麻（211）,设直线的解析式为y=kx^bf则（一3=4+61解得4=4,b=-7.7 7 7,•片4x=7.当y=0时,即广（］,0），曰二4-故答案填：4•叶B”H公aATa+2p0）利用勾股定理求出48二5外-阳的最大值=5.【题后思考】本题考查了作图-轴对称变换，勾股定理等,熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键.4.动手操作：在矩形纸片A88中j必8二3,4。=5.如图所示『折叠纸片।使点A落在边上的4处,折痕为PQ,当点4在8U边上移动时』折痕的端点P、Q也随之移动,若限定点P.Q分别在AB、边上移动।则点并在BC边上可移动的最大距离为 .【分析】本题关键在于找到两个极端，即班,取最大或最小值时一点户或Q的位置.经实睑不难发现,分别求出点户与B重合时，加,取最大值3和当点。与。重合时，的最小值1.所以可求点4在8U边上移动的最大距离为2.【解答】解：当点P与8重合时，8A取最大值是3,当点Q与少重合时（如图），由勾股定理得4仁4।此时84取最小值为1.则点4在6。边上移动的最大距离为3-1=2.故答案为：24/ c【题后思考】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识,难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯,单凭想象造成错误.5.如图，直角梯形纸片.AD二8二A1点E、尸分别在线段AB、AD±l1将"斤沿）翻折，点A的落点记为P.当户落在直角梯形ABCD内部时,叨的最小值等于，【分析】如图,经分析、探究.只有当直径EF最大,且点A落在氏7上时，户。最小；根据勾股定理求出8。的长度,问题即可解决.【解答】解：如图,,,当点尸落在梯形的内部时「二P=「，四边形物5是以仔■为直径的圆内接四边形，..只有当直径EF最大,且点/落在8。上时，也最小,此时F与点8重合；由题意得：PE=AE=8,由勾股定理得：8疗二8,62二80rt，PD=A也一&.d c【题后思考】该命题以直角梯形为载体，以翻折变换为方法,以考查全等三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成解题的关键是抓住图形在运动过程中的某一瞬间，动中求静，以静制动.6.如图，矩形48。的顶点4〃分别在边0MrON上，当8在边ON上运动时，A随之在0M上运动।矩形的形状保持不变，其中AB=2,BC=1,运动过程中，点。到点O的最大距离为.MO' s N【分析】取的中点巳连接OD、OE、DEt根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE^AB利用勾股定理列式求出DE,然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大.【解答】解：如图r取A8的中点心连接OD、OE、DE.,zMON=901AB^21.\OE-AE-2/£=1；-BC=1t四边形A88是矩形，;AD=BC=\,;.DE=Gt根据三角形的三边关系，OD<OE+DE.「.当OD过点5是最大，最大值为6+1故答案为：正+1,【题后思考】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,三角形的三边关系，勾股定理，确定出。。过48的中点时值最大是解题的关键.7.如图，线段工£的长为4jU为金£上一动点,分别以AC80为斜边在的同侧作等腰直角色/。和等腰直角壮BCE(那么DE长的最小值是.【分析】设MG*,8G4-x,根据等腰直角三角形性质，得41 6出CD^—x,8K(4•x),根据勾股定理然后用配方法即可求解.【解答】解：设4G/8金4一,“ABC,也8”均为等腰直角三角形,72V2，8二W CD-(4-t),vz/lCZ?=45°fzS677=45°,— •x)2=/-4x+8=(六2八4,;根据二次函数的最值，，当*取2时，取最小值，最小值为：4.故答案为：2.【题后思考】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形,难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值.8.如图，菱形480中,AB=2,』/=1201点P,Q,K分别为线段BCfCD(8。上的任意一点，则PK+QK的最小值为.【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点夕关于8。的对称点户，连接,Q与80的交点即为所求的点Kt然后根据直线勺1点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P时必&QK的最小值,然后求解即可.【解答】解：如图,-AB=2t44=120、，点?到。的距离为2xg二・・/圻QK的最小值为指.【题后思考】本题考查了菱形的性质,轴对称确定最短路线问题熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键.9.如图所示.正方形ABCD的边长为1,点『为边国7上的任意一点（可与8、0重合）,分别过民U。作射线4户的垂线，垂足分别为B、JD,则£8+"+。。的取值范【分析】首先连接AC.DP.由正方形AS。的边长为1,11 1即可得"S&adp=25正方形/6m=2,^abp+^acp-^abc-2S的形皿。=；，继而可得）力Q（88+卫+。。）=1,又由1<ap<42t即可求得答案.【解答】解：连接/UDP.;四边形48m是正方形，正方形力88的边长为1,、,,AB=C。,S ABCD-1JJ_ 1,5hdp=2§访形闫8第二2j$小即\S-ac尸S，abU2S访形ABC。二2，:3ARBK+3AAec交AP，DDA0(BB+CC+DD)=1,2则86+8+0。"，\A<AP<42।，当P与8重合时।有最大值2;当P与U重合时f有最小值6.二⑤<BB^CC+DD<2.故答案为：41<BB^CC^DD<2.【题后思考】此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问

题.此题难度较大,解题的关健是连接ACtDPt根据题意得

2到Sadp+S/e/£*p=1.继而得到BB+CC+DD-而.10.如图J菱形48。中，£4二60"AB^3,OA。8的半径分别为2和1,只E尸分别是边。工和08上的动点，则户E+）的最小值是 ^【分析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出户与