初中数学之抛物线存在性问题知识点

初中数学之抛物线存在性问题知识点抛物线上存在性向黑一.重点和难点重点:利用抛物线上的图形的特性,如何将问题转化为基本的数学问题难点：根据题意找出能使四边形转变成平行四边形、矩形、菱形、正方形的条件。二、例题一、平行四边形与抛物线1、如图甲，在平面直角坐标系中，A6的坐标分别为（4,0）、（0,3）,抛物线产1区+仞什c经过点8,且对称轴是（1）求抛物线对应的函螭析式；（2）将图甲中“8。沿x轴向左平移到A0&（如图乙），当四边形483是菱形时,请说明点C和点。都在该抛物线i1at/（3）在（2）中，若点例是抛物线上的一个动点（点用不与点C。重合），经过点M作MNWy轴交直线CD于N,设点"的横坐标为t,MV的长度为/,求/与f之间的函数解析式，并求当f为何值时，以他乂C£为顶点的四边形是跖四边形.惨考公式:抛物线片/+bx+c（存0）b4ac-b? b的顶点坐标为（•百F"）,对称轴是直线六・不・）31、解：⑴由于抛物线六4招+6x+c与y轴交于点6（0,4),则广4;b5•・抛物线的对称轴心•万二•0,r15窜图乙•力二52二qf窜图乙即抛物线的解析式：3_15片承+7x+4.(2)■,/(4,0)、B(3,0).,.OA=4,08=3,/I5=7oa2+OB2=5；若四边形MCD是菱形，则BC=AD=AB=S,.■<(-5,3)、D(-1,0).3]5 5 ]5将C(-5,3)代入片砂彳x+4中,得:铲(•5)2+干(-5)+4=3,所I睛C在抛物线上；同理可证：点。也在抛物线上，(3)设直线CD的解析式为：户kx+b,依题意，有:-JTOC\o"1-5"\h\z/-5k+b二3 4I-k+bz0,解得b二--1 433，直线CD:齐・犷・&315 3由于例Mly轴,设M(t於甲+4),则N(力-«-4)；315J3①k•5或・1时//二M/V二(甲+不+4)•(・«■4)3915二上物不33 3屿②・54<-1时/二WV二（・铲力-（印+7+4）二39-15・萍,祉彳;若以欣N、JE为顶点的四边形是平行四边形，由于MN\\CEt则M/V二CE二3,则有：3915不+0+彳二3,解得：^-3±2V2;梯形与抛物线1,已知，在内aO/B中//0A8=90,/80/二300/8二2•若以0为坐标原点，2所在直线为、轴，建立如图所示的平面直角坐标系,点8在第一象限内,将他0%沿。断后点/落在第一象限内的点C处,（1）求点C的坐标;

(2)若抛物线片呼+加(芬0)经过C4两点,求此抛物线的蜥式；(3)若上述抛物线的对称轴与08交于点。点P为线段D8上一动点，过P作V轴的平行线，交抛物线于点必问:是否存在这样的点P,使得四边形C0PM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.1,解:⑴过点c作CH1X轴，垂足为力.・在aaO/8中，/。48=90。，/6力二30。，)AB2，08二4,04二2丘;由折叠的性质知：“06=30。,0析4a2包"。二60\OH昭国;，C点坐标为曲3).(2),.抛物线六加以(存0)经过C(凡3)、4M0)两点,[3=3a+V^b••|0=12a+2V3b^解得卜2g；.,此抛物线的函数关系式为：片-解+2场.（3）存在.因为片-解+2端的顶点坐标为（心3）,即为点C用2LX轴，垂足为M设PN=t;因为N8g30°,所以ON=同■-P（厨。；作PQ工CD,垂足为aMELCD,垂足为E;把代入六•城+2Mx,得%-3A+6力：.M（佝•3/+6?），£（何-3/+6匕），同理:Q电,t）,D（我,1）;=等腰三角形，菱形与峨线1、(2012咙岩)在平面直角坐标系比"中，一块含60。角的三角板作如图摆放,斜边加在斓上，直角麻C在y轴正半轴上,已知点4(10).⑴请直接写出点&C的坐标：B并求经过4&C三点的抛物线解析式;(2)现有与上述三角板完全一样的三角板DEF(其中/EDF=90°/DEF=60°),把顶点E放在哪殳加上(点E是不与A8两点重合的动点),并使出所在直线经过点Cllt时，行所在直线与⑴中的抛物线交于点M①设/代X当x为何值时，'OgOBC;②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PE例是等腰三角形？若存在,请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.1、解：⑴,「点4(10),:.OA=],由图可知，N必C是三角板的60。角，n48c是30。角,所以,OC=04初？60。=1X点二何。6二OQco80°二倔氏3,所以，点8(3.0),C。V3),设抛物线解析式为y=a^+bx+c,a-b+c=0,9a+3b+cz0则[c=V5 ，T解得b-3,、国5

所以，抛物线的解析式为片■所以，抛物线的解析式为片■在2点厂

3*+下%+'，3(2)①08C,OE_OC,五二丽nn0E73即疔手解得循1,所以,胫0/+0£=1+1=2,即k2时，△OCE-&OBC;②存在.理由如下：砥b 3 ,抛物线的对称轴为4.瓦二.2X（-近）T，所以，点£为抛物线的对称轴与x轴的交点，,：0A=OE,OClx轴，nB/C二60°,•.“G是等边三角形，•・勿公60。,又zDEFVO。,."B二60。，:•乙BAC二乙FEB1:.EF\\ACt由4(-1,0)((0,立)可得直线4C的解析式为尸北x+M,・•点E(1,0),，直线牙的解析式为片风-6[y^x一点联立广营+桨+日( 。 0卜1=2p2=-3解得卜广扬\y2=-473(舍去),.•点朋的坐标为(2,糊,EM=J(2T)，+(73-0)2=2,分三种情况讨论“弱是等腰三角形，当任=£例时，PE2所以，点P的坐标为(1,2)或(1,-2)、当任二的时，任B=60°,"P仔=90°・60。=30°,14在任二,除cos30。二弓x2