完整word版点集拓扑讲义学习笔记

度量空间与连续映射2章第它们的定义域和值域从数学分析中已经熟知单变量和多变量的连续函数，都是欧氏空间（直线，平面或空间等等）或是其中的一部分.在这一章中我们将连续首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，然函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射（参见§2.1）.随给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射（参见§2.2）.后将两者再度抽象，后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域，闭包，内部，边界，基和子基，序列等等.度量空间与连续映射§2.1本节重点：掌握拓扑学中度量的概念及度量空间中的连续映射的概念.注意区别：数学分析中度量、连续映射的概念与本节中度量、连续映射的概念.应细细体会证明的方法.注意，在本节的证明中，R-Rf：首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义.函数冲，使〉00，存在实数5eR称为在点处是连续的，如果对于任意实数8>孔a0|x-得对于任何xeR，当|f（x）-f（）|<8.在这个定义中只涉及时|<5,有两个实数之间的距离（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函而与实数的数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，其它性质无关，关于多元函数的连续性情形也完全类似.以下，我们从这一考.察出发，抽象出度量和度量空间的概念，zeX，，xy是一个集合，定义2.1.1设Xp：XXX—R.如果对于任何有页40共**页1第（1） （正定性），P（x,y）N0并且p（x,y）=0当且仅当x=y；（2） （对称性）P（x,y）=P（y,x）；（3） （三角不等式）P（x,z）Wp（x,y）+P（y,z）则称P是集合X的一个度量.如果P是集合X的一个度量，称（X，P）是一个度量空间，或称X是一个对于P而言的度量空间.有时，或者度量P早有约定，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们称X是一个度量空间.此外，对于任意两点x，yeX，实数P（x，y）称为从点x到点y的距离.着重理解：度量的本质是什么？例2.1.1实数空间R.对于实数集合R，定义P：RXR—R如下：对于任意x，yeR，令P（x，y）=|x-y|.容易验证P是R的一个度量，因此偶对（R，P）是一个度量空间.这个度量空间特别地称为实数空间或直线.这里定义的度量P，称为R的通常度量，并且常常略而不提，迳称R为实数空间.（今后我们说实数空间，均指具有通常度量的实数空间.）维欧氏空间.例2.1.2n对于实数集合R的n重笛卡儿积玲=RXRX-XRa%玲（）x=XfR如下：对于任意P定义,：OiRy=,令' ' ）=yxp（,页40共*页2第反*是的一个度量，因此偶容易验证（详见课本本节最后部分的附录）PaH,p）是一个度量空间.（这个度量空间特别地称为n维欧氏空间.对这里定^ ,称为义的度量P的通常度量，并且常常略而不提，迳称为n维欧氏空间.2维欧氏空间通常称为欧氏平面或平面.（今后说通常度量，均指满足这种公式的度量）例2.1.3Hilbert空间H.记H为平方收敛的所有实数序列构成的集合，即3 trb，…）|＜8}=（x=（H定义P如下：对于任意乩,知'…乃，乃,…质-y尸 （X--y-）2=（）EH），yx=（丫」i''（x,y）=令p山盘''（即验证＜8）以及验证P是说明这个定义是合理的H的一个度量，均请参见课本本节最后部分的附录.偶对（H，P）是一个度量空间.这个度量空间特别地称为Hilbert空间.这里定义的度量P称为H的通常度量，并且常常略而不提，迳称H为Hilbert空间.例2.1.4离散的度量空间.设（X，p）是一个度量空间.称X，p）是离散的，或者称P是X西xEX，存在一个实数＞0使得P（的一个离散度量，如果对于每一个x，y）西yex，x尹y，成立.＞对于任何页40共**页3第例如我们假定X是一个集合，定义P：XXX-R使得对于任何x，yex，有Vxr（x,y）=P容易验证P是X的一个离散的度量，因此度量空间（X，p）是离散的.通过这几个例子，可知，度量也是一种映射，但它的象空间是实数.离散的度量空间或许是我们以前未曾接触过的一类空间，但今后会发现它的性质是简单的.定义2.1.2设（X，p）是一个度量空间，xex.对于任意给定的实数e＞0，集合（yEX|p（x，y）＜e}乩⑴），或，称为一个以x为中心以8为半径的球形邻记作B（x，e域,简称为x的一个球形邻域，有时也称为x的一个e邻域.此处的球形邻域是球状的吗？定理2.1.1度量空间（X，P）的球形邻域具有以下基本性质：（1）每一点x£X，至少有一个球形邻域，并且点x属于它的每一个球形邻域;（2） 对于点x£X的任意两个球形邻域，存在x的一个球形邻域同时包含于两者；（3） 如果yex属于xGX的某一个球形邻域，则y有一个球形邻域包含于x的那个球形邻域.证明：（1）设xEX.对于每一个实数e>0，B（x，e）是乂的一个球形邻域，所以x至少有一个球形邻域；由于P（x，x）=0,所以x属于它的每一个球形邻域.页4o共*页4第句叫，）是x^XB（x（2）如果B（x的两个球形邻域，任意选取实，）和数句,母}min{，则易见有£>0，使得eV^句，）EB（x，））B（x，eB（x匚即B（x，e）满足要求.呵呵）.显然.>0.如果xp（，yzEB，（3）设yEB（xe=）.令e-句，），则（y句）Vxy，）+p）+p（y，x=e（（（z，x）Wpz，ypq，y）e）.这证明B（eB（x，）.，所以zEB（xc定义2.1.3设A是度量空间X的一个子集.如果A中的每一个点都有一个球形邻域包含于A（即对于每一个aEA，存在实数e>0使得B（a，e）匚A，则称A是度量空间X中的一个开集.注意：此处的开集仅是度量空间的开集.例2.1.5实数空间R中的开区间都是开集.设a，bER，aVb.我们说开区间（a，b）=（xER|aVxVb}是R中的一个开集.这是因为如果xE（a，b），若令e=min（x-a，b-x}，则有B（x，e）（a，b）.也同样容易证明无限的开区间匚（a，8）={xER|x>a}，（—8，b）=（xER|xVb}（—8,8）=R都是R中的开集.然而闭区间[a，b]={xER|aWxWb}页40共**页5第却不是R中的开集.因为对于aE[a，b]而言，任何e>0,B（x，e）[a,b]都不成立.类似地，半开半闭的区间匚（a，b]={xER|aVxWb}，[a，b）={xER|aWxVb}无限的闭区问[a，8）={xER|xNa},（—8，b]={xER|xWb}都不是R中的开集.定理2.1.2度量空间X中的开集具有以下性质：0本身和空集都是开集；X（1）集合（2）任意两个开集的交是一个开集；（3）任意一个开集族（即由开集构成的族）的并是一个开集.证明根据定理2.1.1（1）X中的每一个元素x都有一个球形邻域，这个球形邻域当然包含在X。满足开集的条件；空集X中不包含任何一个点，也自然地可以认为中，所以它满足开集的条件.的一个球形邻x如果xeunv，则存在U设和V是X中的两个开集.（2）安E].根据V，的一个球形邻域B（x）包含于域B（x，）包含于U，也存在xq，（xe）同时包含于BB（2），x有一个球形邻域（x，）和B定理2.1.1呵，)，因此(X句攵,)UAVB(x,B(x,)EB(xe)匚匚由于UEV中的每一点都有一个球形邻域包含于unv,因此unv是一个开集.页40共*页6第*任口虫yA中的开集构成的子集族.如果，则存在是一个由X3)设*A(44玲&A有一个球形邻域包含于是一个开集，所以由于E*x使得，显xEU血岫H。血岫龙然这个球形邻域也包含于中的一个开集..这证明是X此外，根据定理2.1.1(3)可见，每一个球形邻域都是开集.球形邻域与开集有何联系？为了讨论问题的方便，我们将球形邻域的概念稍稍作一点推广.定义2.1.4设x是度量空间X中的一个点，U是X的一个子集.如果存在一个开集V满足条件：xeVU，则称U是点x的一个邻域.匚下面这个定理为邻域的定义提供了一个等价的说法，并且表明从球形邻域推广为邻域是自然的事情.定理2.1.3设x是度量空间X中的一个点.则X的子集U是x的一个邻域的充分必要条件是x有某一个球形邻域包含于U.证明如果U是点x的一个邻域，根据邻域的定义存在开集V使得x£VU，又根据开集的定义，x有一个球形邻域包含于V，从而这个球形邻域匚也就包含于U.这证明U满足定理的条件.反之，如果U满足定理中的条件，由于球形邻域都是开集，因此U是x的邻域.现在我们把数学分析中的连续函数的概念推广为度量空间之间的连续映射.页40共心页7第互冲f(如果对于)是两个度量空间，f:X-Y，EX以及定义2.、1.5,设乂、和丫气冲气3)，，存在6的某一个球形邻域B)，的任何一个球形邻域B(f(),冲知而)，则称映射在点处是连续的.()，6))，8B(使得f(Bf(匚如果映射f在X的每一个点xeX处连续，则称f是一个连续映射.以上的这个定义是数学分析中函数连续性定义的纯粹形式推广.因为如果知Qi在点f处连续，可以说成：和Y设P中的度量，则和分别是度量空间X对于任意给定的实数e>0，存在实数6>0使得对于任何x^X只要P(x，尚尚x^B(,6)便有)<5(即气知0f(f(x)EB(.(即(f(x),f())e)).<e)，下面的这个定理是把度量空间和度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的出发点.以及GX・X-Y则下述条件Y是两个度量空间，f：和定理2.1.4设X：和(*2)*(1)和(2)分别等价于条件(1)知)f处是连续的；在点(1知际的每一个邻域的原象是的一个邻域；(1)*f()(2)f是连续的；(2)*Y中的每一个开集的原象是X中的一个开集.片()的一个邻域.根令U为f成立.1)蕴涵()*:设(1)1证明条件(知知)，e)包含于B(fU(.由于f)有一个球形邻域2.1.3据定理，f(%处是连续的，所以在点有一个球形邻域广1如此知((BfBeB(fB))，5(()，).然而，(()使得，5f匚页40共*页8第广气)，所以()，eU)(匚广】广】知气）是）B）,这证明（（U（U的一个邻域.，6匚气（fl）*成立.任意给定）的一个邻条件（1）*蕴涵（1）.设条件（广f砺冲，根据定理2.1.3是（的一个邻域.f（）,e域B（ef（）,）,）则（B-口冲）包含于6（,有一个球形邻域BjT气 （）.f）,e（B（知血知（f（B在点处连续.因此，6））B（f（）,e）.这证明fu中的一个开集，为Y*•设条件（2）成立.令V2条件（）蕴涵（2）J』是一个开集，所Vx）ey.由于）.对于每一个xeu,我们有f（U（=VxU是1）*,）的一个邻域.由于以V是f（xf在每一点处都连续，故根据（由U=UxeUUx.U.易见Ux的一个邻域.于是有包含x的某一个开集Ux使得匚U是一个开集.都是开集，根据定理2.1.2，于每一个Ux）的x是f（2）*成立，对于任意xeX,设U条件（2）*蕴涵（2）.设（尸广】根.U）（（的一个开集x）VU.从而VxE）f一个邻域，即存在包含（匚匚厂尸x的一个邻域，对于U据条件（2）*,（V）是一个开集，所以）是x（是任意选取的，所以处连续.由于点x在点*成立，于是fx）而言，条件（1f是一个连续映射.从这个定理可以看出：度量空间之间的一个映射是否是连续的，或者在某一点处是否是连续的，本质上只与度量空间中的开集有关（注意，邻域是通过开集定义的）.这就导致我们甩开度量这个概念，参照度量空间中开集的基本）建立拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的概念性质（定理2.1.2作业：P471.2.3.4.页40共**页9第拓扑空间与连续映射§2.2：本节重点.并在此空间上建立起来的连续映射的概念拓扑与拓扑空间的概念，：注意区别.拓扑空间的开集与度量空间开集的异同；连续映射概念的异同现在我们遵循前一节末尾提到的思路，即从开集及其基本性质（定理2.1.2）出发来建立拓扑空间的概念.TT满足如下X是一个集合，定义2.2.1设X的一个子集族.如果是条件：0tE（；lX）,TT；（2）若A,BEAEB£,则戛匚二ULJ心/eT（3）若t是X的一个拓扑.则称tt）是一个拓扑空间，或x如果，是集合X的一个拓扑，则称偶对（TT是一个相对于拓扑而言的拓扑空间；此外称集合的每一个元素都叫做Xtt^.即：AEA是开集.）或（开集XX拓扑空间（，）中的一个（此定义与度量空间的开集的性质一样吗？留给大家思考）经过简单的归纳立即可见，以上定义中的条件（2）蕴涵着：有限多个开集的交仍是开集，条件（3）蕴涵着：任意多个开集的并仍是开集.页40共*页10第现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴.扃中的所有开集构为由P）是一个度量空间•令定义X2.2.2设（X,扁扃的一个拓扑.我们称2.1.2）是，（X为成的集族.根据定理，X的X由.此外我们约定：如果没有另外的说明，我们提到度度量P诱导出来的拓扑扃）的拓扑时，指的就是拓扑；在称度量空间（X，X，pp）为拓扑量空间（扃空间时，指的就是拓扑空间（X，）氐'Rn空），HilbertR因此，实数空间，n维欧氏空间（特别，欧氏平面间H都可以叫做拓扑空间，它们各自的拓扑便是由例2.1.1，例2.1.2和例2.1.3中定义的各自的度量所诱导出来的拓扑.例2.2.1平庸空间.0TT是X，｝.容易验证，设X是一个集合.令的一个拓扑，称之为二｛XT）为一个平庸空间.在平庸空间（；并且我们称拓扑空间（X，乂，的乂平庸拓扑。T）中，有且仅有两个开集，即X本身和空集.例2.2.2离散空间.TP（X），即由XX是一个集合.令二的所有子集构成的族.容易验证，设TT）为一X；并且我们称拓扑空间（，的一个拓扑，称之为X的离散拓扑是XT）中，X的每一个子集都是开集.在离散空间（X，个离散空间.0T=｛，｛a｝，｛a，b｝，｛a，｛a，bc｝.令，b，c｝）.=2.2.3例设XTT）是一个拓扑空间.这个拓扑X的一个拓扑，因此（，容易验证，是乂空间既不是平庸空间又不是离散空间.页40共**页11第例2.2.4有限补空间.设X是一个集合.首先我们重申：当我们考虑的问题中的基础集自明时，我们并不每次提起.因此在后文中对于X的每一个子集A，它的补集X-A我们我写为.令U'0X|T=｛U的一个有限子集）U｛是X）匚T是X的一个拓扑：先验证曰0工-；另外，根据定义便有£T.）XET（因为=）（1T如果A和B之中有一个是空集，则AEBET,假定A（2）设A，BE和B（Rc3》月「T.的一个有限子集，所以AEBE是都不是空集.这时X=7；-（0）MT,显然有）设（3.令5^对月=耳月与三。，则如果口如月=心住/=。5（u庭=X任意选取.这时是设5炽T的一个有限子集，所以P是X的一个拓扑，称之为3）,X的有限补拓根据上述（1）,（2）和（P）称为一个有限补空间.，扑.拓扑空间（X例2.2.5可数补空间.设X是一个集合.令U10T的一个可数子集}U{X）={UX|是匚T是X2.2.4通过与例中完全类似的做法容易验证（请读者自证）的一个T）称为一个可数补空间.，的可数补拓扑.拓扑空间（拓扑，称之为XX页40共*页12第一个令人关心的问题是拓扑空间是否真的要比度量空间的范围更广一点？换句话就是问：是否每一个拓扑空间的拓扑都可以由某一个度量诱导出来？P使）是一个拓扑空间.如果存在X的一个度量设（X,p定义2.2.3乌PP）是一个P诱导出来的拓扑可度量化空，则称（得拓扑X,即是由度量间.根据这个定义，前述问题即是：是否每一个拓扑空间都是可度量化空间？每一个只含有限个点的度量空间作为拓扑可以看出，和从§2.1中的习题23空间都是离散空间.然而一个平庸空间如果含有多于一个点的话，它肯定不是中给出的那个空间只含有三个点，2.2.3离散空间，因此它不是可度量化的；例拓扑空间是比可度量空间的但不是离散空间，也不是可度量化的.由此可见，进一步的问题是满足一些什么条件的拓扑空间是可度量化的？这范围要广泛.是点集拓扑学中的重要问题之一，以后我们将专门讨论.现在我们来将度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间之间的连续映射.U定义2.2.4是两个拓扑空间，f:X-Y.如果中每一个开集Y设X和YjT的一个连续映射，或简称Xf是中的一个开集，则称X到Y（的原象U）是映射三连续.按这种方式定义拓扑空间之间的连续映射，明显是受到了§2.1中的定理2.1.4的启发.并且那个定理也保证了：当X和Y是两个度量空间时，如果f:X-Y是从度量空间X到度量空间Y的一个连续映射，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y的一个连续映射，反之亦然.（按照约定，涉及的拓扑当然都是指诱导拓扑）页40共**页13第但所指出的却是连续映射的最重要的下面的这个定理尽管证明十分容易，性质.都是拓扑空间.则，Y和ZX定理2.2.1设演是一个连续映射；1:X-X）恒同映射：（也是连续映射.和g：Y-Z都是连续映射，则gof:X-Z（2）如果玖—丫虹/已写尸⑶=圣写演l连续.），所以证明（）设2f:X-Y,g:Y一Z都是连续映射（以片与,（EV（矿）=厂（广W））已弓连续.这证明gof如在线性代数中我们考在数学科学的许多学科中都要涉及两类基本对象•虑线性空间和线性变换，在群论中我们考虑群和同态，在集合论中我们考虑集合和映射，在不同的几何学中考虑各自的图形和各自的变换等等.并且对于后群论中的同构，者都要提出一类来予以重视，例如线性代数中的（线性）同构，集合论中的一一映射，以及初等几何学中的刚体运动（即平移加旋转）等等.我们现在已经提出了两类基本对象，即拓扑空间和连续映射.下面将从连续映射中挑出重要的一类来给予特别的关注.是一个一一映射，f：X-YY设X和是两个拓扑空间.如果2.2.5定义/T和f是一个同胚映射或同胚.都是连续的，则称：Y-X并且f定理2.2.2设X都是拓扑空间.则Y和Z,凝:X-X）恒同映射（1是一个同胚；了7）如果f：X-Y（:Y-X也是一个同胚；2是一个同胚，则页40共*页14第:X-Z也是一个同胚.：Y-Z都是同胚，^Qgof（3）如果f：X—Y和g2.2.1,定理证明以下证明中所涉及的根据，可参见定理.5.4..53和定理1.1俄=奴尸演演是一个一一映射，并且（1是同胚.），都是连续的，从而是一个一一映射，并且f和）设f：X-Y是一个同胚.因此f都（2（广厂'y1也都是连续的，也是一个一一映射并且是连续的.于是和所以也是一个同胚.，f都是一一映射，并且因此f和gf）设：X-Y和g：Y-Z都是同胚.（3『i广】和且gof射，并一因此gof也是一映，g续和都是连的•（g口刀一】=广、广gof是一个同胚.都是连续的.所以：X-Y，则f和Y是两个拓扑空间.如果存在一个同胚设定义2.2.6X.同胚于YX是同胚的，或称X与Y同胚，或称X称拓扑空间与拓扑空间Y粗略地说，同胚的两个空间实际上便是两个具有相同拓扑结构的空间.都是拓扑空间.则和Z设X，Y定理2.2.3X同胚；1）X与（同胚；Y与X同胚，则（2）如来X与YZ同胚.同胚，贝与ZX与同胚，）如果（3X与YY2.2.2直接得到.证明从定理在任意给定的一个由拓扑空间组成的族中，我们可以说：根据定理2.2.3，因而同胚关系将这个拓扑空两个拓扑空间是否同胚这一关系是一个等价关系.间族分为互不相交的等价类，使得属于同一类的拓扑空间彼此同胚，属于不同类的拓扑空间彼此不同胚.页40共**页15第，如果为某一个拓扑空间所具有，则必为与其同胚P拓扑空间的某种性质.换言之，拓拓扑不变性质的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质P是一个扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质.拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质.至此我们已经做完了将数学分析中我们熟知的欧氏空间和欧氏空间之间的连续函数的概念，经由度量空间和度量空间之间的连续映射，一直抽象为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射这样一个在数学的历史上经过了很长的一在数学的发展过程中对所研究的问题不断地加以抽象这段时期才完成的工作.种做法是屡见不鲜的，但每一次的抽象都是把握住旧的研究对象（或其中的某也正因为如此，是一个去粗取精的过程.一个方面）的精粹而进行的一次提升，新的概念和理论往往有更多的包容.一方面它使我们对“空间”和“连续”有更为纯正拓扑学无疑也是如此，的认识，另一方面也包含了无法列入以往的理论中的新的研究对象（特别是许多无法作为度量空间处理的映射空间）.这一切读者在学习的过程中必然会不断地加深体会.作业：P552,5,6,8,9,10§2.3邻域与邻域系本节重点：掌握邻域的概念及邻域的性质；掌握连续映射的两种定义；掌握证明开集与邻域的证明方法（今后证明开集常用定理2.3.1）.页40共*页16第我们在数学分析中定义映射的连续性是从“局部”到“整体”的，也就是说先定义映射在某一点处的连续性，然后再定义这个映射本身的连续性.然而对于拓扑空间的映射而言，先定义映射本身的连续性更为方便，所以我们先在§2.2中做好了；现在轮到给出映射在某一点处的连续性的定义了.在定理2.1.4中我们已经发现，为此只要有一个适当的称之为“邻域”的概念，而在§2.1中定义度量空间的邻域时又只用到“开集”.因此我们先在拓扑空间中建立邻域的概念然后再给出映射在某一点处的连续性的概念，这些概念的给出一点也不会使我们感到突然.P）是一个拓扑空间，xeX.如果U是X的一个子集，定义2.3.1设（X，P使得xeVU，则称U满足条件：存在一个开集V£是点x的一个邻域.点x匚的所有邻域构成的x的子集族称为点x的邻域系.易见，如果U是包含着点x的一个开集，那么它一定是x的一个邻域，于是我们称U是点x的一个开邻域.首先注意，当我们把一个度量空间看作拓扑空间时（这时，空间的拓扑是由度量诱导出来的拓扑），一个集合是否是某一个点的邻域，无论是按§2.1中的定义或者是按这里的定义，都是一回事.定理2.3.1拓扑空间X的一个子集U是开集的充分必要条件是U是它的每一点的邻域，即只要x£U，U便是x的一个邻域.0是空集，以下证明充分性.如果U证明定理中条件的必要性是明显的.0U尹.根据定理中的条件，当然U是一个开集.下设uU =比村国uUk疝。uUV7eu, 使得U®M故U二，根据拓扑的定义，U是一个开集.定理2.3.2概括了邻域系的基本性质.页40共**页17第"订是一个拓扑空间.记为点xeXX的邻域系.则：定理2.3.2设UexeX，；并且如果尹，则（1）对于任何x^U；叽U.Unve，VWU，则；（2）如果皿久VE并且U；V（3）如果，则UE匚旗久VW满足条件：（a）VU和，则存在（b）（4）如果对于任何UW匚0VW.yWV，有久久0V■槌P且由定义，..・XW证明（1）,.•.，尹如果X,XW%，则xWUUWX上Uq匚U右村*。口XLVq匚PPP和使得W则存在设2（）U,VE.U.和€工任命□刑匚口「尸y也双eUkT,Aunve成立.从而我们有，”舌"匚V盘WqETqxe程q匚U「xeU°uV…Ve巳UE,并且设3（）风兀匚uP.V满足条件已经满足条件（a）,根4（）设UE.令VE据定理2.3.1,它也满足条件（b）.以下定理表明，我们完全可以从邻域系的概念出发来建立拓扑空间理论，这种做法在点集拓扑发展的早期常被采用.这种做法也许显得自然一点，但不如现在流行的从开集概念出发定义拓扑来得简洁.定理2.3.3设X是一个集合.又设对于每一点xeX指定了x的一个子"订集族，并且它们满足定理2.3.2中的条件（1）〜（4）.则x有惟一的一®P子集族xEX，个拓扑T使得对于每一点在拓扑空间恰是点x（X，）中的邻域系.（证明略）页40共*页18第现在我们来将度量空间之间的连续映射在一点处的连续性的概念推广到拓扑空间之间的映射中去.定义2.3.2设X和Y是两个拓扑空间，f:X-Y，xEX.如果尸的原象（U）是UxEX的一个邻域，则称映射ff（x）EY的每一个邻域是一个在点x处连续的映射，或简称映射三在点x处连续.与连续映射的情形一样，按这种方式定义拓扑空间之间的映射在某一点处的连续性也明显地是受到了§2.1中的定理2.1.4的启发.并且该定理也保证了：当X和Y是两个度量空间时，如果f:X-Y是从度量空间X到度量空间Y的一个映射，它在某一点xEX处连续，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y的一个在点x处连续的映射；反之亦然.这里我们也有与定理2.2.1类似的定理.定理2.3.4设X，Y和Z都是拓扑空间.则见）恒同映射：XfX在每一点xEX（1处连续；（2）如果f：X-Y在点xEX处连续，g：Y-Z在点f（x）处连续，则gof：XfZ在x处连续.证明请读者自己补上.以下定理则建立了“局部的”连续性概念和“整体的”连续性概念之间的联系.定理2.3.5设X和Y是两个拓扑空间，f：X^Y.则映射f连续当且仅当对于每一点xEX，映射f在点x处连续.证明必要性：设映射三连续，寸沱u时,w巳写,己Vug居匚•一•广沱耳」广】（①丘久这证明f在点X处连续.页40共**页19第x处连续.充分性：设对于每一点xEX，映射三在点■wn写mW畦广切心已口川）=广段）已"“・广】⑰已&f连续.这就证明了作业：，掌握证明一个映射是否连续的方法.掌握证明一个子集是邻域的方法§2.4导集，闭集，闭包本节重点：熟练掌握凝聚点、导集、闭集、闭包的概念；区别一个点属于导集或闭包的概念上的不同；掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件；掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件.如果在一个拓扑空间中给定了一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同，因此可以对它们进行分类处理.定义2.4.1设X是一个拓扑空间，入乂.如果点xEX的每一个邻域U匚0，则称点乂乂中异于的点，即Un（A-｛x｝是集合）^A的一个凝聚中都有A点或极限点.集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d（A）.如。=，）Un（A-｛x｝使得即存在x果xEA并且不是A的凝聚点，x的一个邻域U的一个孤立点.为Ax则称）：（牢记即页40共*页20第崩心E’m（冬⑴）=°在上述定义之中，凝聚点、导集、以及孤立点的定义无一例外地都依赖于它所在的拓扑空间的那个给定的拓扑.因此，当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而又谈到某个凝聚点时，你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言，不容许产生任何混淆.由于我们将要定义的许多概念绝大多数都是依赖于给定拓扑的，因此类似于这里谈到的问题今后几乎时时都会发生，我们不每次都作类似的注释，而请读者自己留心.某些读者可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚刚定义的这些概念，但绝不要以为对欧氏空间有效的性质，例如欧氏空间中凝聚点的性质，对一般的拓扑空间都有效.以下两个例子可以帮助读者澄清某些不正确的潜在印象.例2.4.1离散空间中集合的凝聚点和导集.设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集.由于X中的每一个单点集都是开集，因此如果x^X，则X有一个邻域｛x｝，使得｛时-⑴）=9n源』（』），以上论证说明，集合A没有任何一个凝聚点，0）=.d（A从而A的导集是空集，即2.4.2例平庸空间中集合的凝聚点和导集.是X中的一个任意子集.我们分三种情形讨论：设X是一个平庸空间，A。A显然没有任何一个凝聚点，亦即第1种情形：.这时A二。.（可以参见定理2.4.1中第（d（A）l=）条的证明.）气

｛=A是一个单点集，令A第｝如果只有x£X,x尹，点x2种情形：产占门(四-⑴)(时)K0，所以X,这时；因此x惟一的一个邻域孔于而对.xed即(:X邻惟的一域有A)然，聚个的是A一凝点页40共**页21第Xn(A-｛xQy)=0,', 所以=X-A.(A)d中的每一个点都包含点多于一个.请读者自己证明这时X3种情形：A第X.(A)=是A的凝聚点，即d.则是一个拓扑空间，AX定理2.4.1设X匚0。 ()d；= (l))；)A(Bd(A)d蕴涵B(2匚匚)；)Ud(B(AUB)=d(Ad(3)A).(A))AUd(d(4)d(匚U，xeX和点x的任何一个邻域证明(1)由于对于任何一点= 心0〉项、0)=0UE有xEd(A),UEUK・.・UE四-｛再)M0.如果BA(2)设.匚LU-⑴)h矿'乂后B).d(这证明了dA)(匚，(AUB)，)) (3根据(2，因为ABB)dAd()，d(AUB，所以有匚匚(AUB).)BAd从而()Ud(d^g)岩Ud(d^g)岩另一方面，如果pWm日 舟)=0mVc(B-3)=0mDc(AuE—⑴)=Dc((A—闵)_｛町))=(Z)CQ4-出｝))U(Z)C(3-=0=0=> B)=>d(^AuB)这是证明一个集合包含于另一个集合的另一(3综上所述，可见()成立.佬月n无佬H)只要证方法：，要证即可.页40共*页22第口尸。门(』一｛对)=0mTczUn矿—｛纨=0■.■无任矿==Wc(d(A)-W)=0设：二工至四或uAu廿3)即(4)成立.定义2.4.2设X是一个拓扑空间，AX.如果A的每一个凝聚点都属于匚A，则称A(A)是拓扑空间X中的一个闭集.A，即d匚中的讨论可见，离散空间中的任何一个子2.4.2例如，根据例2.4.l和例集都是闭集，而平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是闭集.A定理2.4.2设X是一个拓扑空间，A是一个闭集，当且仅当X.则A匚次是一个开集.的补集证明必要性：设A是一个闭集

PxE矿nj:隹A,-：d(A')cAWgnm口氏口广口c(A—法))=0.'.UnA=0,nU匚R=AeT点eT,Wx举孔UK,■.■A,riA=0,二*F』-｛町)=C3nx^d(A)充分性：设：」,』3)匚拓是一个闭集.A即中作为闭集的区间.2.4.3实数空间R例设a,b£R,aVb.闭区间[a,b]是

实数空间R中的一个闭集，因为[a,[4句’的补集=(-8,a)E(b,8)是—个开集.b]页40个开集.b]页40共**同理，(-8,a],[b,页23第8)都是闭集，(-8,8)=R显然更是个闭任a)的一个凝聚点，但，b是(,b)却不是闭集，因为aa集.然而开区间(a(a,b).同理区间(a,b],[a,b),(-8,&)和(b,8)都不是闭集.F为所有闭集构成的族.则：是一个拓扑空间.记X定理2.4.3设0F,1)XG(FF，则A,BGAUBE(2)如果&卷...孔饪心…皿丘尹(从而如果)耻匚Fnc虹町AeF。)如果乂 (3名0)条中，我们特别要求在此定理的第(3乂的原因在于当希0=时所涉及的交运算没有定义.U'F｝其中，T为X的拓扑.|UG根据定理证明2.4.2,我们有T=m= =01(GT,.・.)・.・X,F，则、 (2)若ABE4序 二矿F7；=｛』'|AE瓦｝一7[uT,=>Um对*ET.(3)令：n门血再龙=门业否=(LJs打1yeK定理证明完成.总结：(1)有限个开集的交是开集，任意个开集的并是开集.其余情形不一定.(2)有限个闭集的并是闭集，任意个闭集的交是闭集.其余情形不一定.页40共*页24第定义2.4.3设X是一个拓扑空间,AX,集合A与A的导集d(A)的并匚万^一或记作AUd(A)称为集合A的闭包,ke/今0(注意：，与xGd(A)的区别容易看出)A=是闭集的充要条件是X的子集A定理2.4.4拓扑空间A而这又当且仅当d(A)集合A为闭集当且仅当证明：定理成立是因为：匚A=AUd(A)（1） 0=0;（2） 网匚云；=AuB-定理2.4.5设X是一个拓扑空间，则对于任意A,BGX，有：（4百=页0是闭集.）成立是由于证明（1 （2）成立是根据闭包的定义.=G4u狱①）u（归（3）成立是因为=网。万4）成立是因为（冒=兀硝=兀。定=AUd（A）Ud（d（A））/=）=AUd（A在第（3）条和第（4）条的证明过程中我们分别用到了定理2.4.l中的第（3）条和第（4）条.页40共**页25第A的闭包都是闭集.A的任何一个子集定理2.4.6拓扑空间X4）直接推得.证明根据定理2.4.4和定理2.4.5（中所有的闭某构成的族，是由空间X2.4.7设X是一个拓扑空间，F定理A,有则对于X的每一个子集拓即集合a的闭包等于包含a的所有闭集之交.R包含于，而后者是一个闭集，由定理证明因为A2.4.4与定理2.4.5（4）门£^0淑月Xg有AA^A，所以另一方面，由于是一个闭集，并且（“交”包含于形成交的任一个成员）综合这两个包含关系，即得所求证的等式.由定理2.4.7可见，X是一个包含着A的闭集，它又包含于任何一个包含A的闭集之中，在这种意义下我们说：一个集合的闭包乃是包含着这个集合的最小的闭集.在度量空间中，集合的凝聚点，导集和闭包都可以通过度量来刻画.定义2.4.5设（X，P）一个度量空间.X中的点x到X的非空子集A的距离P（x，A）定义为p（x，A）=inf{p（x，y）|y^A}

根据下确界的性质以及邻域的定义易见：P（x,A）=0当且仅当对于任意实数8>0,存在yCA使得P（x,y）<£，换言之即是：对于任意B（x,页40共*页26第。0UEA尹有，x的任何一个邻域，eU）EA尹，而这又等价于：、对于；）有B（x应用以上讨论立即得到.定理2.4.9设A是度量空间（X,P）中的一个非空子集.则（1）x^d（A）当且仅当P（x,A-{x}）=0；A）xC当且仅当p（x,A）=0. （2以下定理既为连续映射提供了等价的定义，也为验证映射的连续性提供了另外的手段.定理2.4.10设X和Y是两个拓扑空间，f:X^Y.则以下条件等价:（l）f是一个连续映射；尸的原象（B）是一个闭集；B）Y中的任何一个闭集（2（3）对于X中的任何一个子集A,A的闭包的象包含于A的象的闭包，即『⑴匚而;⑷对于Y中的任何一个子集B,B的闭包的原象包含B的原象的闭包，即.3是一个开集，因此根证明（1）蕴涵（2）.设BY是一个闭集.则匚广L（9）=（广），是X中的一个开集，因此据（1广】中的一个闭集.是X（B）匚匚尸。W.•而k凸）,Af（.XA3⑵蕴涵（）设由于匚广L（六塑沱处「3 u了（』）成立.），2根据（J「'（b）Y集合A设蕴涵（3）（4）X应用（3）即得匚匚u{顼唯））UJ（尸㈤）U』二广"）u{页40共**页27第对中的一个闭集.则是Y.设U是中的一个开集.Y蕴涵（4）（l）此集合应用（4）:，证明一个子集是开集证明映射连续的方法有几种?总结一下，到目前为止,？如何证明一个点是某个子集的凝聚点闭集的方法有几种？作业:2P691.§2.6基与子基本节重点：掌握基与子基的概念，点的邻域与基之间的关系；掌握基、子基与开集的关系；掌握如何用基表示开集.在讨论度量空间的拓扑的时候，球形邻域起着基本性的重要作用.一方面，每一个球形邻域都是开集，从而任意多个球形邻域的并也是开集；另一方面，假设U是度量空间X中的一个开集.则对于每一个xeu有一个球形邻域B（X，U= ，因此u.这就是说，一个集合是某度量空间中的一个）^匚页40共*页28第开集当且仅当它是这个度量空间中的若干个球形邻域的并.因此我们可以说，度量空间的拓扑是由它的所有的球形邻域通过集族求并这一运算“产生”出来的.留意了这个事实，下面在拓扑空间中提出“基”这个概念就不会感到突然了.TBTT中）是一个拓扑空间，的一个子族.如果定义2.6.1设（X，是B中某些元素的并，即对于中的每一个开集）是的每一个元素（即拓扑空间如5T，存在UE使得每一个U=4鸟/BTB是拓扑空间X则称的一个基.是拓扑的一个基，或称按照本节开头所作的论证立即可得：定理2.6.1一个度量空间中的所有球形邻域构成的集族是这个度量空间作为拓扑空间时的一个基.特别地，由于实数空间R中所有开区间构成的族就是它的所有球形邻域构成的族，因此所有开区间构成的族是实数空间R的一个基.至于离散空间，它有一个最简单的基，这个基由所有的单点子集构成.下面的定理为判定某一个开集族是否是给定的拓扑的一个基提供了一个易于验证的条件.月匚TBTB），则）的一个开集族（即定理2.6.2设，是拓扑空间（X是拓扑空间X的一个基当且仅当对于每一^个xEX和x的每一个邻域.B的一个基，贝V是X证明设刁％匚吧==虫身孔,'36=供目只根据基的定义，页40共**页29第mp产£1匚Bm作虬匚PyA三区匚队可知存在B这证明满足定理中的条件.中的一个开集，则对于每一X另一方面，设定理中的条件成立.如果U是XEU,个「刀=L见BBXU是的一个基.中某些元素之并，从而是因此，在度量空间中，通过球形邻域确定了度量空间的拓扑，这个拓扑以全体球是否一个集合的每一个子集族都可以确定一个拓扑形邻域构成的集族作为基.以下定理告诉我们一个集合的什么样的子集族可以以它为基？答案是否定的.成为它的某一个拓扑的基.B的一个子集族（即是集合2.6.3设X是一个集合，X定理BPB.如果满足条件：（X））匚。血己/=工）（1； B5Bl,B2eB,如果（2）则对于任何则X的子集族= "8T}X|使得存在{U=cBB是如果X是集合X的惟一的一个以的一个子集族为基的拓扑；反之，B）.）和（X的某一个拓扑的基，则2一定满足条件（1B的子集族满足条件：对于任意值得注意的是，如果集合X用门勺弓尼BBB2.这时，e）.这种情形经常遇到•，必然满足条件（有GB）.我们先验证定理中给出的2满足条件（1证明设X的子集族）和（T的一个拓扑：是X0=4思00.BTT而，所以ell（）根据条件（），Xe；由于匚页40共*页30第曷,％TB这是因为根据条件e，则（2e）我们先验证：如果区-Em 匚,xe,2（），对于每一个存在由于召1门召广u心门鸟wu心门与吧^匚用n电’启ri月侦u心门与W^T现在设4巳Tn,8飞匚5mA=LJq。鸟，也三1-J凫淄Q成立.因此4 =⑴。点Gl〉h（LL芬q）=|.据,°苛qI|弓q2b中某些元都是根据前说，上式中最后那个并集中的每一项4^^A.nA.eTB中某些元素之并，因此素之并，所以也是"T （3）设则归已纭=Um耳召U =U（Ug』E）=U蹄LJ面点占已T上以TBTTX的一个拓扑.根据是拓扑的定义立即可见证明了的一个基.是集合尸B为它的一个基.根据基的定义，任何假设集合X以还有一个拓扑T3TBT,这证明必为另一方面，由于中某些元素的并，所以一个AeA匚尸TBTB是因此也是，所以如果Ae中的某些元素之并，则中某些元素之A匚TTTTTTAe是一个拓扑，所以.因此二并；由于.这说明以这又证明了匚B为基的拓扑是惟一的.BT*的一个基.由是X的某一个拓扑最后证明定理的后半段.设TBB之并.因此（1）X必为中的某些元素的并，故必为集族成立.设Xe*可知月门为弓门％"心TB.是x*.由于和的一个开邻域，根据定理xe匚叽已3使得2.6.2，存在住吧fEg这证明条件（2）成立.，页40共**页31第在定义基的过程中我们只是用到了集族的并运算，如果再考虑集合的有限交运算（注意拓扑只是对有限交封闭的，所以只考虑有限交），便得到“子基”这个概念.TT的一个子族.如果的所）是是一个拓扑空间，定义2.6.2设（X,有非空有限于族之交构成的集族，即日三｛团门&—"门如晃巴似9三12…也作Z十｝TT的一个子基，或称集族的一个基，则称集族是拓是拓扑是拓扑扑空间X的一个子基.例2.6.2实数空间R的一个子基.实数集合R的一个子集族猝=｛（a,8）|aER｝U｛（—8,b）|bER｝尊甲的一个子基.这是因为是实数空间的一个开集族，并且是实数空间RW的每一个有限非空子族之交的全体构成的集族恰好就是所有有限开区间构0职｛｝，显然它是实数空间R成的族并上再并上的一个基.X是定理2.6.4设X的一个子集族（即是一个集合，呼甲T.如果以为子基.并且若令则X有惟一的一个拓扑p（x））匚"如必门…凸摭闵=1,2^...^eZJT=CIc5）则BTB满足定理2.6.3中的条件（如定理中.容易验证l）和证明令和呼TTB的一个子基.是），因此根据该定理，是的一个基，所以2（页40共*页32第尸7彩B以的一个拓扑，它以如果是X为一个子基，则根据子基的定义，尹T为基.根据定理2.6.3中的惟一性，我们有二映射的连续性可以通过基或子基来验证.一般说来，基或子基的基数不大于拓扑的基数，所以通过基或子基来验证映射的连续性，有时可能会带来很大的方便.是两个拓扑空间，f:XfY.则以下条件等价:和Y定理2.6.5设X连续;）f（l尸BB）是B，使得对于任何一个BE， （2）拓扑空间Y有一个基（X中的一个开集甲中的是有一个子基，使得对于任何一个（S）SEX原象（3）Y一个开集.的一Y3）是显然的，因为Y的拓扑本身便是证明条件（l）蕴涵（个子基.俱）中的要满足（3条件（3）蕴涵（2Y）.设是的拓扑的一个子基，求.根据定义，日三国门&C••凸摭闵辨H12…也住迎是Y的拓扑的一个基./俱知nE，我们有，其中，，i=1对于任何2,…，n广锵门必"门名）=广'即门广（昆）"^广'（第 气它是XX中的一个开集.个开集之交，因此是中nEB）中的2的拓扑的一个基，它满足（是Y）.设条件（2）蕴涵（1中的一个开集，则是YU要求.如果35luB,a"=U心B:丁*=/^（U^食=LL球了「Pg）页40共**页33第是X中一族开集之并，所以是X中的一个开集.这证明f连续.对于局部情形，也有类似于基和子基的概念.的邻域系.的子为2.6.3设Xx是一个拓扑空间，x£X.记定义皿咯电V£族如果满足条件：对于每一个，存在UE,使得”占的x的一个邻域基.是点x的的邻域系的一个基,，VU或简称为点则称匚叽叽如果满足条件：子族每一个有限非空子族之交的全体构成的集族，即｛绳A叫□•••C叽网已叽，/1,2，•宜EZQ是x的一个邻域基，则称此是点x的邻域系的一个子基，或简称为点x的一个邻域子基.显然，在度量空间中以某一个点为中心的全体球形邻域是这个点的一个邻域基；以某一个点为中心的全体以有理数为半径的球形邻域也是这个点的一个邻域基.邻域基和邻域子基的概念可以用来验证映射在一点处的连续性.定理2.6.6设X和Y是两个拓扑空间，f:X-Y，x£X.则以下条件等价：(1)f在点x处连续；广】阡㈤阳饵原象，(V)，使得对于任何f(x)(2)V£有一个邻域基；的一个邻域；x是阳皿阳皿，原象f(x)(3)有一个邻域子基，使得对于任何W£是x的一个邻域.(W))(证明略，子基与邻域子基有以下关联.基与邻域基定理2.6.7X是一个拓扑空间，x&X.则设页40共*页34第的一个基，则B)如果是X(1乌B=(B£|x£B｝的一个邻域基；是点x的一个子基，则是(2X)如果叫职=(S£|x£S｝x的一个邻域子基.是点)(略证明作业：7.P821.4§2.7拓扑空间中的序列本节重点：掌握拓扑空间中序列的概念，及极限点的概念；掌握数学分析中的序列的性质与拓扑空间中的序列的性质有何不同；掌握不可数集中序列的特性；掌握点集的凝聚点与序列的极限点的关系.在读者熟知的数学分析课程中，往往用序列收敛的概念作为出发点来刻画集合的凝聚点，函数在某一点处的连续性等等.在这一节我们便会看到这种做法在一般的拓扑空间中并不可行；而要使得它变为可行的，则要对拓扑空间加以适当的限制.我们将来再研究这种限制加到什么程度为合适.页40共**页35第、S:—X，叫做是一个拓扑空间.每一个映射乂中的一定义2.7.1设X｛石｝TA-•｛而氐& ）或者干脆记作；或者,，个序列.我们常将序列S.记作｛由皿薄三我）室孔气｛.有时我们也将记号其中｝,但这时要警惕不简化为要与单点集相混.拓扑空间X中的一个序列实际上就是在X中按先后次序取到的一串点，这｛为｝按+可以仅由有限个点组成，当这个集合是些点可能重复.因此一个序列｛海氐4为一个常值序列.单点集时，我们称序列侬｝国十的xX中的一个序列，x£X.如果对于定义2.7.2是拓扑空间设｛为｝2&虬,xieU,i>U每一个邻域，存在MMe时有则称点x是序列，使得当0｝料的一个极限点（或极限），也称为序列收敛于x,记作而气或fx（i—8）=x lim如果序列至少有一个极限，则称这个序列是一个收敛序列.拓扑空间中序列的收敛性质与以前我们在数学分析中熟悉的有很大的差别.例如，容易验证平庸空间中任何一个序列都收敛，并且收敛于这个空间中的任何一个点.这时极限的惟一性当然无法保证了.:fX是X是一个拓扑空间,XS,中的两个序列.如定义2.7.3设如〈的地屈、？+:即对于任意如果Nf,,（果存在一个严格递增的映射花花^2勺,则称序列是序列S的一个子序列.=N（）V，使得0SoNN则有｛而裳％凯那么序列假如我们将此定义中的序列自然可以记作S记作｛砌Eh土｛砌川心个点恰是序列第，也就是说，序列iiN第（）个点.页40共*页36第我们已经看到，我们以前熟悉的序列的性质有许多对于拓扑空间中的序列是不适合的.但总有一些性质还保留着，