2021-2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系3.4平面与平面垂直的性质5作业含解析新人教版必修220220226154

PAGEPAGE6直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质A组基础巩固1.eq\a\vs4\al(2013·广东卷)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：本题主要考查线面、面面的位置关系，考查数形结合的思想方法．画出一个长方体ABCD－A1B1C1D1.对于A，C1D1∥平面ABB1A1，C1D1∥平面ABCD，但平面ABB1A1与平面ABCD相交，故A不正确；对于C，BB1⊥平面ABCD，BB1∥平面ADD1A1，但平面ABCD与平面ADD1A1相交，故C不正确；对于D，平面ABB1A1⊥平面ABCD，CD∥平面ABB1A1，但CD⊂平面ABCD，故D不正确，故选B.答案：B2.eq\a\vs4\al(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析：本题主要考查线线、线面的位置关系的判定．由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则交线平行于l，故选D.答案：D3.eq\a\vs4\al(2014·陕西师大附中月考)在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：本题考查由线面垂直、面面垂直判断三角形的形状．过点A作AH⊥BD于点H，由平面ABD⊥平面BCD，得AH⊥平面BCD，则AH⊥BC.又DA⊥平面ABC，所以BC⊥AD，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC为直角三角形．故选A.答案：A4．若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角()A．相等B．互补C．相等或互补D．关系无法确定解析：如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角H－DG－F的大小不确定．答案：D5.eq\a\vs4\al(2014·沈阳高一检测)如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD.沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面所在平面中，互相垂直的平面的对数为()A．1B．2C．3D．4解析：∵面ABD⊥面BCD又AB⊥BD∴AB⊥面BCD，AB⊂面ABC，∴面ABC⊥面BCD.同理，面ACD⊥面ABD.故四面体ABCD中互相垂直的平面有3对．答案：C6．如图所示，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有()A．①与②B．①与③C．②与③D．③与④解析：由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A，故选B.答案：B7.eq\a\vs4\al(2014·江西省南昌三中月考)如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于A，B两点)，直线PA垂直于圆所在的平面，点M为线段PB的中点，有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAB；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________．(填序号)．解析：本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定．由题意可知PA在平面MOB内，所以①不正确；因为M为线段PB的中点，OA＝OB，所以OM∥PA，又OM不在平面PAC内，所以MO∥平面PAC，②正确；当OC与AB不垂直时，推不出OC⊥平面PAB，所以③不正确；因为AB是直径，所以BC⊥AC，又PA垂直于圆所在的平面，所以PA⊥BC，所以BC⊥平面PAC，而BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC，所以④正确．综上所述，正确的命题是②④.答案：②④8．如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB＝eq\r(3)BC，将Rt△ABE沿BE边折起，点A在平面BCDE上的射影为点D，在翻折后的几何体中有如下结论：①AB与DE所成角的正切值是eq\r(2)；②AB∥CD；③平面EAB⊥平面ADE；④直线BA与平面ADE所成角的正弦值为eq\f(\r(3),3).其中正确的结论有________．(填序号)解析：本题主要考查线面、面面垂直关系，线线角，线面角．由题意可得翻折后的几何体如图所示，对于①，因为BC∥DE，所以∠ABC即为AB与DE所成的角，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝eq\r(2)a，BC＝a，所以tan∠ABC＝eq\r(2)，故①正确；②明显错误；对于③，因为AD⊥平面BCDE，所以AD⊥BE，又因为DE⊥BE，所以BE⊥平面ADE，所以平面EAB⊥平面ADE，故③正确；对于④，易知∠BAE即为直线BA与平面ADE所成的角，在△ABE中，∠AEB＝90°，AB＝eq\r(3)a，BE＝a，所以sin∠BAE＝eq\f(\r(3),3)，故④正确．答案：①③④9．设α，β表示平面，a，b表示不在α内也不在β内的两条直线．给出下列四个论断：①a∥b；②a∥β；③α⊥β；④b⊥α.若以其中三个作为条件，余下的一个作为结论，则可以构造出一些命题．写出你认为正确的一个命题________．(注：写法如“()()()⇒()”，只需在()中填入论断的序号)解析：本题考查线面平行与垂直的转化，考查分析问题、解决问题的能力．由a∥b，b⊥α，得a⊥α.由a∥β，a⊥α，得α⊥β，即①②④⇒③.同理①③④⇒②.答案：①②④⇒③(或①③④⇒②)10．如图，四棱锥S－ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，E，F分别是SD，SC的中点．求证：(1)BC⊥平面SAB；(2)EF⊥SD.证明：(1)∵四棱锥S－ABCD的底面是矩形，∴AB⊥BC.∵SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴SA⊥BC.又∵SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB.(2)∵SA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥SA.又∵CD⊥AD，SA∩AD＝A，∴CD⊥平面SAD.∵E，F分别是SD，SC的中点，∴EF∥CD，∴EF⊥平面SAD.又∵SD⊂平面SAD，∴EF⊥SD.B组能力提升11．如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝eq\r(3)a，AC∩BD＝E，将其沿对角线BD折成直二面角．求证：(1)AB⊥平面BCD；(2)平面ACD⊥平面ABD.证明：(1)在△ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝eq\r(3)a，∴AB2＋BD2＝AD2，∴∠ABD＝90°，AB⊥BD.又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面BCD.(2)∵折叠前四边形ABCD是平行四边形，且AB⊥BD，∴CD⊥BD.∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.∵AB∩BD＝B，∴CD⊥平面ABD.又∵CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD.12．已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0<λ<1)．(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?解析：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0<λ<1)，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又EF⊂平面BEF，∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.(2)由(1)知，EF⊥BE，又平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC＝CD