2005年第4届中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题(含答案)

112005年女子数学奥林匹克第一天2005年8月12日上午8∶00～12∶00 长春我们进行数学竞赛的目的，不仅仅是为了数学而数学，其着眼点还是因为它是一切科学的得力助手，因而提高数学，也为学好其他科学打好基础.——华罗庚P在△ABC的外接圆上，直线CPACBPACACABAB的垂直平分线交AC于点求证：CE2 AJ·JE = .BF2 AK·KF 1

1

1求方程x

x12y

yz

z, xyyzzx1是否存在这样的凸多面体，它共有84求出所有的正实数annAA1 2

，„，A满n足AA1

∪„∪An

=Z，而且对于每个Ai

中的任意两数bc，都有bcai.2005年女子数学奥林匹克第二天2005年8月13日上午8∶00～12∶00 长春数学竞赛，它对牢固基础知识、发展智力，培养拔尖人才，是一件具有战略意义的活动。设正实数x，yx3y3=x-y,求证：x24y2＜1.

——华罗庚设正整数≥，如果在平面上有n个格点P，PP满足：当PP 为有理数时，存1 2 n i jPPP

和P

P

,使得PP

和PPk i k j k i j k i k j k均为有理数，那么称n是“好数”.(1)求最小的好数；(2)问：2005是否为好数？7n2={1,2„},={a,a1 2

„,an

S的一个子集.已知T中的任两个数都不能同时整除S中的任何一个数，求证：1 1 a a1 2

1＜mn.a mn8ab【题1】证：如图，连接BK，CJ.2∠E=∠ABP—∠BPE，2PAGEPAGE8故∠又由KA=KB，知∠A=∠ABK,故 ①同理②由①，②得△JEC∽△KBF.CE由此，

JE

JE, ③BF KB AKCEJCAJ. ④BF KF KF将③，④两式的左端和右端分别相乘即得结论.【题2】解法一：①式可化为x y

z

③51x2 121y2 131z2 γ存在α，β，γ∈(0，π)，使得x=tan

，y=tan2

，z=tan，则22x 2y 2zsinα= , sinβ= , sinγ= ,1x2

1y2

1z2③即sinα

sin

sin. ④②式可化为

5 12 131xy,z 1xy 即 cot tan .2 2α，β，γ∈(0，π)，所以αβπγ,2 2 2即 α+β+γ=π.从而α，β，γ是某个三角形ABC由④和正弦定理知，αβγ所对的边abc的比是51213sinα

5sinβ12sinγ1.13 13从而x=tan

1 =或5，y=tan

2或3，z=tan

1.2 5 2 3 2 21 2 将=1代入②式，易知x和y均小于1.所以15 3 1 2 1 2 故原方程组有两组解：.5 3 5 3 解法二：显然1yz由②得，代入①得yz 2 2

y21 1yz yz

1yz yz

y21z2112

y

yz1yz. yz1yz 5yz1yz， 即 5(2+1=12)(1z),同理 5(2+1=13)(1y).整理得122+1y=7+1,182+1y=13+8,两式相加，得30yz(y+z)=20(y+z),∴yz=

2,y3

2,代入①解得z=±1.3z1 2 1 2 故原方程组有两组解：

, ,1.5 3 5 3 【题3】解：存在，如下图所示。4解：2nan,令A{2i1m},i1,2，„,n-1,iA {2n1n若AA1 2

,„An

满足要求令={„2n下证Ai

M≤2ni.设AMi={x,x1

,，xm

},x1

,则2 m2nxm 1

(xm

x

)(x

xm2

)(x2

-x)(m1)2i.1∴2ni2ni+1,故2ni.AM,i1,2,n为M的一个分拆，故i2nM

AMi

2ni2n矛盾.i1 i1∴所求的a2【题5】证：由平均不等式5y3x2y2 5x2y4＞4xy2, 所以 x24y2 xy＜x3y3,从而 x

x3y34y2＜ 1.xy【题6】解：我们断言最小的好数为5，且2005是好数.PP

P

为有理数(或无理数)，PP

和P

为无理数(或有理i j k i j i k j kPP

)为一个好组.i j kP

,P,

P

为有理数及(P,P,P)1 2 3 4 1 2 1 2 3

,P,

,P,P)和(P

,P,

)均不是好组.所以2 3 4

2 4 1

2 4 3P,P,P,

不能满足条件.矛盾!1 2 3 4n=5是好数.以下五个格点满足条件：A={(0，0)，(1，0)，(5，3)，(8，7)，(0，7)}.5(2)A={(1，0)，(2，0)，„，(669，0)}.B={(1，1)，(2，1)，„，(668，1)}.C={(1，2)，(2，2)，„，(668，2)}.S2005

ABC.对任意正整数n，易证n2

1和n

4

中2005P

,PP

为有理数当且仅当PP

与某一坐标轴平行.所以，2005是好数.i j i j i j注：当n=6时，A6当n=7时，A7

A{(-20)}；5A{(-27)}.6则可验证7时，可像n=2005n【题7】证：构造Ti

bSai

,i,2.则mT ,i aiT中任意两个数都不能同时整除S中的一个数，所以当时，T T .i j则

T

m i ai1 i1 i又因为

m m 1,a ai i所以

m

(m)

m

1mn,i1

ai

a ia

i1

i i1a即 a

1a

ma＜mn,i1 i i1 i所以 ni1

1＜mn.a mi【题8】解：设长方形为ABCD，AB=a,BC=b，中心为O.Oy1情形1：线段BC与坐标轴不相.不妨设BC在第一象限内图290BOC1).此时