2020年高考数学(理)二轮专项复习教学设计三角函数与解三角形

2020年高考数学二轮专项复习教课方案三角函数与解三角形三角函数是一种重要的基本初等函数，它是描述周期现象的一个重要函数模型，可以加深对函数的看法和性质的理解和运用．其主要内容包含：三角函数的看法、三角变换、三角函数、解三角形等四部分．在掌握同角三角函数的基本关系式、引诱公式、两角和与两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式的基础上，能进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明；理解并能正确解决正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性诘问题；运用三角公式和正弦定理、余弦定理解斜三角形．重点观察相关的数学思想方法，如方程的思想、数形联合、换元法等．§3－1三角函数的看法【知识重点】1．角扩大到任意角：经过旋转和弧度制使得三角函数成为以实数为自变量的函数．2．弧度rad以及度与弧度的互化：

l;180π,1rad(180)57.3．rπ3．三角函数的定义：在平面直角坐标系中，任意角的极点在原点，始边在x轴正半轴上，终边上任意一点()，｜OP｜＝r(r≠0)，则sin;cos;tanPx，yyxyrrx4．三角函数的定义域与值域：函数定义域值域y＝sinxR[－1，1]y＝cosxR[－1，1]y＝tanxπR{x|xkπ,kZ}25．三角函数线：正弦线MP，余弦线OM，正切线AT6．同角三角函数基本关系式：

sin2

cos2

1,tan

sincos7．引诱公式：任意角

的三角函数与角

,π

,π

等的三角函数之间的关系，2可以一致为“

k·

π±

”形式，记忆规律为“将

看作锐角，符号看象限，

(函数名

)奇变2偶不变”．【复习要求】1．会用弧度表示角的大小，能进行弧度制与角度制的互化；会表示终边同样的角；会象限角的表示方法．2．依据三角函数定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号，牢记特别角的三角函数值，3．会依据三角函数定义，求任意角的三个三角函数值．4．理解并熟练掌握同角三角函数关系式和引诱公式．【例题分析】例1(1)已知角的终边经过点A(－1，－2)，求sin，cos，tan的值；(2)设角的终边上一点P(3,y)，且sin12，求y的值和tan．13解：(1)r|OA|5，所以siny225,cosx5,tany2.r55r5x(2)r|OP|3y2,sinyy212,313y0y6得y212，解得y6,tan23.x33y213【评析】利用三角函数的定义求某一角三角函数值应熟练掌握，同时应关注此中变量的符号．例2(1)判断以下各式的符号：①sin330°cos(－260°)tan225°②sin(－3)cos4已知cos＜0且tan＜0，那么角是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角(3)已知是第二象限角，求角,2的终边所处的地点．2解：如图3－1－1，图3－1－2(1)①330°是第四象限角，sin330°＜0；－260°是第二象限角，cos(－260°)＜0；225°是第三象限角，tan225°＞0；所以sin330°cos(－260°)tan225°＞0.②－3是第三象限角，sin(－3)＜0；5是第四象限角，cos5＞0，所以sin(－3)cos5＜0或：－3≈－3×57.3°＝－171.9°，为第三象限角；5≈5×57.3°＝286.5°，是第四象限角【评析】角的终边所处的象限可以经过在座标系中逆时针、顺时针两个方向旋转进行判断，图3－1－1，图3－1－2两个坐标系应予以重视．(2)cos＜0，所以角终边在第二或第三象限或在x轴负半轴上tan＜0，所以角终边在第二或第四象限中，所以角终边在第二象限中，选B.【评析】角的终边在各个象限中时角的函数值的符号应熟练掌握，(3)分析：简单误以为是第一象限角，其错误原由于以为第二象限角的范围是(π,π),22是第二象限角，所以2k＋πππkππ＜＜2k＋，(k∈Z)，所以kπ2,242(kZ)以以下图313，可得是第一象限或第三象限角，又4k＋＜2＜4k＋2，－－22是第三象限或第四象限角或终边落在y轴负半轴的角．【评析】办理角的象限问题常用方法利用旋转成角，联合图3－1－1，图3－1－2，从角度制和弧度制两个角度办理；遇到弧度制问题也可以由1rad(180)°≈57.3°化为角度办理；π在考虑角的终边地点时，应注意考虑终边在座标轴上的状况．关于象限角和轴上角的表示方法应很熟练．如第一象限角：2kπ2kππZ)，注意防范0π,(k的错误写法．22例3(1)已知tan＝3，且为第三象限角，求sin，cos的值；(2)已知cos1＋tan的值；，求sin3(3)已知tan＝－2，求值：①2sincos；②sin2＋sincos．sincos解：(1)由于为第三象限角，所以sin＜0，cos＜0sin3sin31010.cos，获得sin2cos21cos1010(2)由于cos1，且不等于－1，所以为第二或第三象限角，03当为第二象限角时，sin＞0，222sinsin1cos3,tancos22,所以sintan423当为第三象限角时，sin＜0，222sinsin1cos3,tancos22,所以sin42tan3综上所述：当为第二象限角时，42sintan3，当为第三象限角时，42sintan3【评析】已知一个角的某一个三角函数值，求其他的三角函数值的步骤：先定所给角的范围：依据所给角的函数值的符号进行判断利用同角三角函数的基本关系式，求其他的三角函数值(注意所求函数值的符号)当角的范围不确准时，对付角的范围进行分类谈论(3)(法一)：由于tan＝－2，所以sin2,sin2cos.cos①原式4coscos3cos1，2coscos3cos②原式＝(－2cos)2＋(－2cos)cos＝2cos2，由于sin2cos，获得cos21，所以sin2sincos2sin2cos21552sin12tan141(法二)：①原式cos1,sin1tan121cos②原式sin2sincostan2tan422sin2cos2tan21415【评析】已知一个角的正切值，求含正弦、余弦的齐次式的值：(1)可以利用tansin将切化弦，使得问题得以解决；cos(2)1的灵巧运用，也可以利用sin2＋cos2＝1，tansin，将弦化为切．cos例4求值：(1)tan2010°＝______；(2)sin(19π)＝______；6(3)sin(2π)cos(π))cos(πsin(3π)sin(3π)22解：(1)tan2010°＝tan(1800°＋210°)＝tan210°＝tan(180°＋30°)＝tan3033sin(19πsin19πππππsinπ1))sin()(2)666662或:sin(19πsin(3ππππsinπ16))sin()6266【评析】“将看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”，ππππ62，26可以看出是πππ2的－2倍(偶数倍)，借助图3－1－2看出6为第二象限角，正弦值为正．(3)原式sin(cos)sin[π(π)cos(π)]sin(π)22sin·coscos1sin(π)sinsincossinsin2【分析】3π3π，将看做锐角，借助图3－1－2看出3π为第三象限222角，正弦值为负，π的3倍(奇数倍)，改变函数名，变成余弦，所以可得sin(3π)cos，22同理可得cos(π)sin，所以原式sin(cos)1csc.2cossinsinsin【评析】引诱公式重在理解它的实质规律，关于“将看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”要灵巧运用，不然简单堕入公式的包围，给引诱公式的应用带来麻烦．例5已知角的终边经过点(cosππ的值为()5,sin)，则5A．πB．4πCππ,(kZ)D．4ππZ)5555解：由于义得，

ππ0ππcos0,sin，所以点(cos,sin)在第二象限中，由三角函数定5555ysinππtan5的终边在第二象限，xπtan，由于角5cos5所以πtan4πtan(4π2π)，555所以，4π2π,()，选D．5kkZ例6化简以下各式：(1)若为第四象限角，化简tan1sin2(2)化简cos1tan2(3)化简12sin4cos(π4)解：(1)原式＝tancos2tan|cos|sin|cos|，cos由于为第四象限角，所以cos＞0，原式＝sincossin，cos(2)原式＝cos1sin2coscos2sin2cos1coscos2cos2cos2|cos|当为第二、三象限角或终边在x轴负半轴上时，cos＜0，所以原式cos1，cos当为第一、四象限角或终边在x轴正半轴上时，cos＞0，所以原式cos1.cos(3)原式12sin4cos4(sin4cos4)2|sin4cos4|.4弧度属于第三象限角，所以sin4＜0，cos4＜0，所以原式＝－(sin4＋cos4)＝－sin4－cos4．【评析】利用同角三角函数关系式化简的基根源则和方法：函数名称有弦有切：切化弦；(2)分式化简：分式化整式；(3)根式化简：无理化有理(被开方式凑平方)，运用x2|x|，注意对符号的分析讨论；(4)注意公式(sin±cos)2＝1±2sincos＝1±sin2的应用．例7扇形的周长为定值L，问它的圆心角(0＜＜)取何值时，扇形的面积S最大?并求出最大值．解：设扇形的半径为r(0rL)，则周长L＝r·＋r(0＜＜)22所以rL,Sπr21r21L2212L21L2．22π22(2)244244由于442448，当且仅当4，即＝2∈(0，)时等号成立．此时S1L21L2，所以，当＝2时，S的最大值为L2.281616练习3－1一、选择题1．已知cos2，角(2)，则t的值为()3终边上一点P－，tA．5B．5C．5D．5552．“tan＝1”是“2kππ),kZ”的(4A．充分而不用要条件B．必需不而充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件3．已知点P(sin－cos，tan)在第一象限，则在[0，2]上角的取值范围是()A．π3π5πB．πππ5π442442C．(π3π5π3πD．(ππ3π,)(,)4,)(,π)2442244．化简12sin10cos170()A．sin10°＋cos10°B．sin10°－cos10°C．cos10°－sin10°D．－sin10°－cos10°二、填空题5．已知角，满足关系;0π－的取值范围是______．，则26．扇形的周长为16，圆心角为2弧度，则扇形的面积为______．7．若sinm,π3π，则tan(－)＝______．28．已知：sincos1ππ－sin＝______．8,，则cos42三、解答题9．已知tan＝－2，且cos(＋)＜0，求(1)sin＋cos的值(2)2－2sincos2的值10．已知tan1，求值：2(1)sin2cos；(2)cos2－2sincos．sincossin(kπ)cos(kπ)sincostan2111．化简]cos[(k1)π]tansin[(k1)π§3－2三角变换【知识重点】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(＋)＝sincos＋cossin；sin(－)＝sincos－cossin；cos(＋)＝coscos－sinsin；cos(－)＝coscos＋sinsin；tan()tantan)tantan1tan;tan(1tantantan2．正弦、余弦、正切的二倍角公式sin2＝2sincos：cos2＝cos2－sin2＝1－2sin2＝2cos2－1；tan2

2tan1tan2【复习要求】1．牢记两角和、差、倍的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用；2．掌握三角变换的通法和一般规律；3．熟练掌握三角函数求值问题．【例题分析】例1(1)求值sin75°＝______；(2)设π4cos(π(,π),sin，则4)______；25(3)已知角的终边经过点(－1，－2)，则πtan()的值为______24(4)求值1tan15______．1tan15解：(1)sin75sin(4530)sin45cos30cos45sin3023222216224．(2)由于(ππ),sin43,,所以cos，255π2223472cos(4)2cos2sin2(55)10(3)由三角函数定义得，tan2,tan2tan24，321tan22πtantanπ1tan1所以tan(4)π1tan.41tan74tan(4)1tan15tan45tan15tan(4515)tan3031tan151tan45tan1531tan15tan45tan15tan(4515)tan3031tan151tan45tan15o3【评析】两角的和、差、二倍等基本三角公式应当熟练掌握，灵巧运用，这是办理三角问题特别是三角变换的基础和核心．注意tan(π1tan和tan(π1tan)1tan)1tan44运用．例2求值：3cosπsinπ______；1212(2)cos43°cos77°＋sin43°cos167°＝______；(3)tan23tan37o3tan23tan37______．解：(1)原式2(3π1π2(sinππππ)2cos122sin12)3cos12cos3sin122sin(ππ)2sinπ2.3124【评析】辅助角公式：asinxbcosxa2b2sin(x),cosa,a2b2sinb应熟练掌握，别的本题还可变形为2(3cosπ1sinπ)a2b22122122(cosπcosπsinπsinπ)2cos(ππ)2cosπ2.6126126124分析所给的角有以下关系：77°＋43°＝120°，167°＝90°＋77°，原式＝cos43°cos77°＋sin43°cos(90°＋77°)＝cos43°cos77°－sin43°sin77°＝cos(43°＋77°)＝cos120°＝

12分析所给的角有以下关系：37°＋23°＝60°，函数名均为正切，并且出现两角正切的和tana＋tan与两角正切的积tantan，全部均指向公式tan(tantan)tan1tan∵tan60tan(23tan23tan3737)3,1tan23tan37∴tan23tan3733tan23tan37,∴tan23tan373tan23otan373．【评析】三角变换的一般规律：看角的关系、看函数名称、看运算结构．以上题目是给角求值问题，应首看角的关系：先从所给角的关系下手，观察所给角的和、差、倍能否为特殊角，而后看包含的函数名称，以及所给三角式的结构，联合三角公式，找到题目的打破口．公式tan()tantan＋tan＝tan(＋)(1－tantan)应予以1tan的变形tantan灵巧运用．例3tan()2,tan()1，则tan2＝______；54(2)已知,(3π)3,sin(π12cos(π4,π),sin(5)，求4)的值．413解：(1)分析所给的两个已知角＋，－和所求的角2之间相关系(＋)＋(－)＝2，tan()tan()2113tan2atan[(a)(a54，)]tan()tan()211811543π3ππππ3π，,(,π)，∴(,2(,)(2)∵),42424又∵sin()3，∴cos(4；5)5∵sin(π12，∴cos(π5．)13)1344cos(πcos[()(πcos()cos(π)sin(π))])sin()4(5)43)1256444(.51351365【评析】此类题目重在观察所给已知角与所求角之间的运算关系，主若是指看两角之间的和、差、倍的关系，如()(ππ()，2()),44()等，找到它们的关系可以简化运算，同时在求三角函数值时应关注函数值的符号．例4如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角，，它们的终边225分别与单位圆订交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为10,5.(Ⅰ)求tan((Ⅱ)求＋2

＋)的值；的值．解：由三角函数定义可得225cos10,cos5，又由于，为锐角，所以sin72,sin5，所以tan1105＝7，tan2(Ⅰ)tan(tantan3；)tan1tan(Ⅱ)tan22tan4，所以tan(2)tantan21tan231tan1，tan2∵，为锐角，∴023π23π,42【评析】将三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式联合在一起进行观察，要求基础知识掌握坚固，灵巧运用；依据三角函数值求角，注意所求角的取值范围．cos2ππ3sin2.例5化简(1)；(2))2cos(x)cos(x4x2sin22sincos14222解：(1)原式cos2cos2sin2cossin2sin(πsincossincos)42(2222sinx)3sin2x(2)法一：原式2cosx2sinx)(2cosx2cos2xsin2x3sin2x13πcos2x3sin2x2(2cos2x2sin2x)2sin(2x6)法二：(xπ(xππ)),442πππ3sin2x原式2cos[(x)]cos(x)2442sin(xππ3sin2xsin(2xπ3sin2x4)cos(x))42cos2x3sin2x2sin(2xπ)6【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面下手，注意二倍角的变式(降幂升角)和辅助角公式的应用，此类变换是办理三角问题的基础．sin(π例6(1)已知sin4)1为第二象限角，且的值．154(2)已知6cos2x23sinxcosx323，求sin2x的值．解：(1)由于为第二象限角，且sin1514，所以cos，422原式2(sincos)1)12(sincos))22.2sincos(2cos22cos(sincos4cos【评析】此类题目为给值求值问题，从分析已知和所求的三角式关系下手，如角的关系，另一个特色是常常先对所求的三角式进行整理化简，可降低运算量．(2)由于61cos2x3sin2x3cos2x3sin2x3231π23(2cos2x2sin2x)323cos(2x6)3323ππ0所以cos(2x)1,sin(2x)66sin2xsin[(2xππsin(2xππcos(2xππ1)])cos6)sin626666【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面下手，注意二倍角的变式(降幂升角)cos21cos2,sin21cos2和辅22助角公式的应用，此类变换是办理三角问题的基础，由于办理三角函数图象性诘问题时常常先进行三角变换．练习3－2一、选择题1．已知ππ),sin3π)(,，则tan()等于(254A．1B．7C．1D．－7772．cos24°cos54°－sin24°cos144°＝()A．31C．31B．2D．2223．1sin30o()A．sin15°－cos15°B．sin15°＋cos15°C．－sin15°－cos15°D．cos15°－sin15°4．若cos22，则cos＋sin的值为()π2sin()4711D．A．B．C．222二、填空题5．若sin(π)3，则cos2＝______．2513______．6．cos10sin107．若cos(13＝______．),cos()，则tantan558．已知tan1sin2cos2，则______．31cos2

72三、解答题9．证明sin2.costan1cos21cos210．已知为第四象限角，且sin412sin(2，求5cos11．已知为第三象限角，且sincos3.3(1)求sin＋cos的值；5sin28sincos11cos28(2)求2222的值．cos§3－3三角函数【知识重点】1．函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象性质．性质y＝sinxy＝cosx一周期简图最小正周2π2π期奇偶性奇函数偶函数

π)的值．y＝tanxπ奇函数增[2kππkππ[2kπ＋π，2kπ＋,2],kZ区间222π]，k∈Z[π－ππ单22调性减(2kππ3πZ[2kπ，2kπ＋π]，,2kπ),k上是增函数区间22k∈Z对xkππ,kZx＝kπ，k∈Z称轴2对对对称中心(kπ,0),k称性称(kππ,0),kZZ(kπ，0)，k∈Z2中2心2．三角函数图象是研究三角函数的有效工具，应熟练掌握三角函数的基本作图方法．会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y＝sin(x＋)(＞0，＞0)的简图．AA3．三角函数是描述周期函数的重要函数模型，经过三角函数领会函数的周期性．函数y＝Ax＋)(≠0)的最小正周期：T2πx＋)(≠0)的最小正周||期：Tπ|．同时应明确三角函数与周期函数是两个不一样的看法，带三角函数符号的函数|不必定是周期函数，周期函数不必定带三角函数符号．【复习要求】1．掌握三角函数y＝sinx，＝cosx，＝tanx的图象性质：定义域、值域(最值)、单yy调性、周期性、奇偶性、对称性等．2．会用五点法画出函数y＝sinx，＝cos，＝sin(x＋)(＞0，＞0)的简图，yxyAA掌握图象的变换方法，并能解决相关图象性质的问题．3．本节内容应与三角恒等变换相联合，经过变换，整理出三角函数的分析式，注意使用换元法，转变成最基本的三个三角函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx，联合三角函数图象，综合观察三角函数性质【例题分析】例1求以下函数的定义域1cos2x(1)y；(2)ysin2x.cosx解：(1)cosπx≠0，定义域为{x|xkπ,kZ}2(2)sin2x≥0，由正弦函数y＝sinx图象(或利用在各象限中和轴上角的正弦函数值的符号可得终边在第一二象限，x轴，y轴正半轴上)可得2k≤2x≤2k＋，πππ},定义域为kkZ{x|kx2例2求以下函数的最小正周期(1)ysin(π2)；(2)ππ22x；342(4)y＝2sin2x＋2sinxcos；(5)y＝｜sinx｜．x解：(1)2πππT|2|．(2)Tπ2．2(3)y1cos4x11π2cos4x，所以T.222y21cos2xsin2xcos2x12sin(2xπT(4)sin2x)1，所以2＝．4y＝｜sinx｜的图象为以下图，可得，T＝．【评析】(1)求三角函数的周期时，平时利用二倍角公式(降幂升角)和辅助角公式先将2π(正余弦)或Tπ函数分析式进行化简，而后用T(正切)求最小正周期．||||关于含绝对值的三角函数周期问题，可经过函数图象来解决周期问题．例3(1)已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数ππC．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数22(2)若函数f(x)＝2sin(2x＋)为R上的奇函数，则＝______．(3)ππ函数ylncosx(x)的图象()22解：(1)f(x)2cos2xsin2x1(2sinxcosx)21sin22x1cos4x,xR,224周期为π，偶函数，选D2(2)f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)，所以2sin(－2x＋)＝－2sin(2x＋)对x∈R恒成立，即sincos2x－cossin2x＝－sin2xcos－cos2xsin，所以2sincos2x＝0对x∈R恒成立，即sin＝0，所以＝k，k∈Z．【评析】三角函数的奇偶性问题可以经过奇偶性定义以及与引诱公式联合加以解决．如在本题(2)中除了使用奇偶性的定义以外，还可以从公式sin(x＋)＝－sinx，sin(x＋2)＝sinx获得当＝2k＋或＝2k＋，k∈Z，即＝k，k∈Z时，f(x)＝2sin(2x＋)可以化为f(x)＝sinx或f(x)＝－sinx，f(x)为奇函数．分析：第一考虑奇偶性，f(－x)＝lncos(－x)＝lncosx＝f(x)，为偶函数，消除掉B，D选项考虑(0，π上的函数值，由于0＜cosx＜1，所以lncosx＜0，应选A)2【评析】办理函数图象，多从函数的定义域，值域，奇偶性，单调性等方面综合考虑．例4求以下函数的单调增区间y1xπy2sin(2xπ[,0](1)cos();(2)),x26π；3(3)ycos2x3sin2x；(4)y2sin(π2x)3解：(1)＝cosx的增区间为[2k＋，2k＋2]，k∈Z，y1πππ由ππ2π2π可得π8π142k2x3k4k3x4k3y1π8π14πZ，cos(x)的增区间为[4kπ,4kπ3],k233(2)先求出函数y2sin(2xπππZ)的增区间[kπ3,kπ],k66而后与区间[－，0]取交集获得该函数的增区间为[π,5π和[π],0]，63(3)y132cos(2xπ(1)，增区间为2(cos2xsin2x))，转变成问题223[kππ5πZ,kπ],k36(4)原函数变成y2sin(2xπ，需求函数yπ)sin(2x)的减区间，33πππ3π5ππ11π2k2x32kk12xk122yπ2x)的增区间为π5π11π.2sin(π],kZ31212【评析】办理形如y＝sin(x＋)＋，(＜0)的函数单调性时，可以利用引诱公Ak式将x的分数化正，而后再求相应的单调区间．求三角函数单调区间的一般方法：利用三角变换将分析式化为只含有一个函数的分析式，利用换元法转变到基本三角函数的单调性问题．(2)关于给定区间上的单调性问题，可采纳问题(2)中的方法，求出全部的单调增区间，而后与给定的区间取交集即可．例5求以下函数的值域(1)函数y2cos(1π1的最大值以及此时x的取值会集x)26(2)y2sinx,x(π2π,)63(3)y2cos(2xπ(ππ),x2,3)3(4)y＝cos2x－2sinx解：(1)1xπ2kππ,kZ1π3，当6时，cos(x)1，函数的最大值为226此时x的取值会集为{x|x4kπ5π,kZ}3(2)联合正弦函数图象得：当π2π1x(,)时，sinx1632该函数的值域为(－1，2]分析：利用换元法，转变成题(2)的形式．y2cos(2xπ(ππ),x,)，336xπππ2xπ2π(,),33,363设t2xπy2cost,π2π，则原函数变成t，333联合余弦函数图象得：1cos1，所以函数的值域为(－1，2]．2t(4)y＝－2sin2x－2sinx＋1，设t＝sinx，则函数变成y＝－2t2－2t＋1，t∈[－1，1]，由于y2(t1)2322联合二次函数图象得，当t＝1时，函数最小值为－3，当t1时，函数最大值为3，22所以函数的值域为[3,3].2【评析】办理三角函数值域(最值)的常用方法：(1)转变成只含有一个三角函数名的形式，如y＝Asin(x＋)＋k，y＝Acos(x＋)k，y＝Atan(x＋)＋k等，利用换元法，联合三角函数图象进行办理．转变成二次型：如Asin2x＋Bsinx＋C，Acos2x＋Bcosx＋C形式，联合一元二次函数的图象性质求值域．例6函数y＝sin(x＋)的图象(部分)以以下图，则和的取值是()A．C．解：

1,πB．1,π331,πD．1,π2626Tπππ，即π2π12()，所以，433T42当xπ1πkππZ，选C时，sin[()]0，所以,k3236例7(1)将函数ysin1y1πx的图象如何变换可获得函数sin(x)的图象226(2)已知函数y＝sinx的图象，将它如何变换，可获得函数yπ2sin(2x)的图象3图象向左平移π个单位解：(1)ysin1x32图象向右平移π个单位(2)法一：y＝sinx3

y1π1πsin(x)sin(x)2326ysin(xπ)3图象上点的纵坐标不变,横坐标变成本来1倍2图象上点的横坐标不变,纵坐标变成本来2倍

πysin(2x)3πy2sin(2x)3图象上点的纵坐标不变,横坐标变成本来1倍法二：y＝sinx2ysin2x图象向右平移π6个单位πysin2(x)6图象上点的横坐标不变,纵坐标变成本来2倍πy2sin(2x)3【评析】由y＝sinx的图象变换为y＝Acos(x＋)(＞0)的图象时，特别要注意伸缩变换和横向平移的先后序次不一样，其横向平移过程中左右平移的距离不一样．例8(1)函数y1π()2sin(x)的一条对称轴方程为23A．x4πB．x5πC．xπ2π363D．x3(2)函数ycos(2xπ)的对称轴方程和对称中心的坐标3解：(1)法一：1π1ππ，y2sin(x)的对称轴为xk,kZ23322即x2kπ5πZ，当k＝－1时，xπ3,k，选C3法二：将四个选项挨次代入y2sin(1πx)中，找寻使得函数获得最小值或最大值23的选项当xπ2sin(ππ2sinπ2，选C时，y6)233(2)πππkππycos(2x)的对称轴为2xZ，即x,kZ33k,k26对称中心：2xπkππ,kZ,此时xkππ25,kZ3212所以对称中心的坐标为kπ5πZ(12,0),k2【评析】正余弦函数的对称轴经过它的函数图象的最高点或最低点，对称中心是正余弦函数图象与x轴的交点，办理选择题时可以灵巧运用．例9已知函数f(x)sin2x,3sinxsin(xπ0)的最小正周期为．),(2(1)求的值．(2)求f(x)在区间[0,2π]上的值域．3画出函数y＝2f(x)－1在一个周期[0，]上的简图．(4)若直线y＝a与(3)中图象有2个不一样的交点，务实数a的取值范围．解：(1)1cos2x3sinxcosxf(x)2311π12sinx2cos2x2sin(2x6)2由于函数f(x)的最小正周期为，且＞0，所以2ππ，解得＝12(2)由(1)得f(x)sin(2xπ10x2πππ7π)，由于，所以2x6，62366联合正弦函数图象，得1π1sin(2x)26所以0sin(2xπ133)2，即f(x)的取值范围为[0,]622(3)由(1)得y2f(x)12sin(2xπ)6列表ππ3π2x0π622x0ππ7π5ππ123126y－1020－2－1由图象可得，－2＜a＜2且a≠－1．【评析】本节内容应与三角恒等变换相联合，利用降幂升角公式和辅助角公式等三角公式化简三角函数分析式，整理、变形为只含有一个函数名的分析式，如y＝Asin(x＋)(＞0)或y＝Acos(x＋)(＞0)的形式，利用换元法，联合y＝sinx、y＝cosx的图象，再研究它的各种性质，如求函数的周期，单调性，值域等问题，这是办理三角函数问题的基本方法．练习3－3一、选择题1．设函数f(x)π）sin(2x),x∈R，则f(x)是(2A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为πD．最小正周期为π的奇函数的偶函数222．把函数y＝sinx(x∈R)的图象上全部的点向左平行挪动π个单位长度，再把所得3图象上全部点的横坐标缩短到本来的1倍(纵坐标不变)，获得的图象所表示的函数是2()A．ysin(2xπRB．),x3C．ysin(2xπRD．),x33．函数ysin(2xπ))的图象(3

yxπRsin(),x26ysin(2x2πR),x3π对称B．关于直线xπA．关于点(，0)对34称π对称D．关于直线xπC．关于点(，0)对43称π3π）4．函数y＝tanx＋sinx－｜tanx－sinx｜在区间(,)内的图象大体是(22二、填空题5．函数f(x)3sinxsin(πx)的最大值是______．2ππ．6．函数(1)]的最小正周期为ycos(x)cos[2x______27．函数ysin(x)(0,0π)的图象的一部分以以下图，则该函数的分析2式为y＝______．8．函数y＝cos2x＋cosx的值域为______．三、解答题9．已知函数f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1，x∈R．(Ⅰ)求函数f(x)的对称轴的方程；(Ⅱ)求函数f(x)的单调减区间．10．已知函数f(x)2sinxcosx23sin2x3.444(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及最值；(Ⅱ)令g(x)f(xπ)，判断函数g(x)的奇偶性，并说明原由．311．已知f(x)2cos2x23sinxcosxa,(0,aR，a为常数)，且满足条件f(x)＝f(x)＝0的｜x－x｜的最小值为．1212π2(Ⅰ)求的值；ππ3，求a的值．(Ⅱ)若f(x)在[,]上的最大值与最小值之和为63§3－4解三角形【知识重点】1．三角形内角和为A＋B＋C＝BCπA,ABCπ，注意与引诱公式相联合的问题．22222．正弦定理和余弦定理正弦定理：余弦定理：

abc2r，(r为△ABC外接圆的半径)．sinAsinBsinCcosAb2c2a2;cosBa2c2b2a2b2c22bc2ac;cosC2ab.a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC．3．在解三角形中注意三角形面积公式的运用：1SABC2×底×高.SABC1absinC1bcsinA1acsinB.2224．解三角形中注意进行“边角转变”，常常联合三角变换办理问题．【复习要求】1．会正确运用正余弦定理进行边角的互相转变；2．会熟练运用正弦定理和余弦定理解决三角形中的求角，求边，求面积问题．【例题分析】例1(1)在△ABC中，a3，b＝1，B＝30°，则角A等于()A．60°B．30°C．120°D．60°或120°△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，满足等式(a＋b)2＝ab＋c2，则角C的大小为______.在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8，则∠B的大小是______．(4)在△ABC中，若tanA1，C＝150°，BC＝1，则AB＝______．3解：(1)∵ab,31,sinA3,sinAsinBsinAsin302又∵a＞b，∴A＞B＝30°，∴A＝60°或120°，∵(a＋b)2＝ab＋c2，∴a2＋b2－c2＝－ab，∴cosCa2b2c2ab1,C120,2ab2ab2abc(3)∵sinB，sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8.sinAsinCa2c2b22564491∴a∶b∶c＝5∶7∶8，∴602ac2582分析：已知条件为两角和一条对边，求另一条对边，考虑使用正弦定理，借助于1求sinAtanA3110BCAC1AB10tanA3,sinA10,sinAsinB,10sin150,AB2.10【评析】关于正弦定理和余弦定理应熟练掌握，应清楚它们各自的使用条件，做到合理地选择定理解决问题．例2(1)在△ABC中，acosA＝bcosB，则△ABC必定是()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形(2)在△ABC中，2sinB·sinC＝1＋cosA，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形ab解：(1)法一：，acosA＝bcosB，sinAsinBsinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∵2A，2B∈(0，2)，∴2A＝2B或2A＋2B＝，∴A＝B或ABπ，选D．2法二：∵acosA＝bcosB，∴a(b2c2a2)b(a2c2b2)，2bc2ac22222整理得(a－b)(a＋b－c)＝0．(2)∵2sinB·sinC＝1＋cosA，cos(B＋C)＝cos(－A)＝－cosA，2sinB·sinC＝1－(cosBcosC－sinBsinC)，cosBcosC＋sinB·sinC＝1，cos(B－C)＝1，B，C∈(0，)，∴B－C∈(－，)，∴B－C＝0，∴B＝C，选C．【评析】判断三角形形状，可以从两个角度考虑多经过正弦定理将边的关系转变成角的关系，从而判断三角形形状，多经过余弦定理将角的关系转变成边的关系，从而判断三角形形状，平时状况下，以将边的关系转变成角的关系为主要方向，特别需要关注三角形内角和联合引诱公式带给我们的角的之间的转变．例3已知△的周长为21，且sin＋sin＝2sinCABCAB求边AB的长；若△ABC的面积为1sinC，求角C的度数．6解：(1)由题意及正弦定理，得ABBCAC21，解得AB＝1．BCAC2AB(2)由△ABC的面积S1BCACsinC1sinC，得BCAC1，263由于BCAC2，所以(BC＋AC)222＝BC＋AC＋2AC·BC＝2，可得BC2AC24，由余弦定理，得cosCAC2BC2AB21，32ACBC2所以C＝60°．例4在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，设a、b、c满足条件b2＋c2－bc＝a2和c＝13，求∠A和tanB的值．b2b2c2a21解(1)由已知和余弦定理得cosA2bc，所以∠A＝60°．2分析：所给的条件是边的关系，所求的问题为角，可考虑将利用正弦定理将边的关系转变成角的关系．在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sin(60°＋B)，由于csinCsin(60B)sin60cosBcos60sinBbsinBsinBsinB31112tanB23.21所以tanB2【评析】表现了将已知条件(边c13)向所求问题(角tanB→sina，cos)转变，b2充分利用了正弦定理和三角形内角关系实现转变过程．例5在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，Cπ．3(Ⅰ)若△ABC的面积等于3，求a，b；(Ⅱ)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．解：(Ⅰ)由余弦定理cosCa2b2c222，2ab及已知条件得，a＋b－ab＝4又由于△ABC3，所以1absinC3，得ab＝4．的面积等于2联立方程组a2b2ab4,ab4,解得a＝2，b＝2．(Ⅱ)由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，(sinBcosA＋cosBsinA)＋(sinBcosA－cosBsinA)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA，当cos＝0时，ππ4323AA2,B6,a3,b3，当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，a2b2ab4,解得a23,b43联立方程组2a,33.b所以△ABC的面积S1absinC23.23【评析】以上两例题主要观察利用正弦定理、余弦定理来确立三角形边、角关系等基础知识和基本运算能力．以及三角形面积公式SABC1absinC1bcsinA1acsinB的222运用．同时应注意从题目中提炼未知与已知的关系，合理选择定理公式，综合运用正弦定理和余弦定理实现边角之间的转变．例6如图，丈量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝，∠BDC＝，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB．解：在△BCD中，∠CBD＝－－．BCCD．由正弦定理得BDCsinCBDsinCDsinBDCssin．所以BCCBDsin(sin)在Rt△ABC中，ABBCtanACBstansinsin()例7已知在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A，B，C的大小．解：sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0，sinAsinB＋sinAcosB－(sinAcosB＋cosAsinB)＝0，sinAsinB－cosAsinB＝sinB(sinA－cosA)＝0，由于sinB≠0，所以sinA－cosA＝0，所以tanA＝1，Aπ3πB，，可得C44所以3π3π2)sinsin20，B)sinBcos(BBB42sinB＋2sinBcosB＝0，由于sinB≠0，所以cosB1,B2π,Cπ.2312【评析】观察了三角形中角的互相转变关系，同时兼备了两角和、二倍角、引诱公式等综合应用．练习3－4一、选择题1．在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝()A．1∶2∶3B．1:3:2C．1∶4∶9D．1:2:32．在△中，角、、的对边分别为，，，Aπabc3A．1B．2C．31D．33．△ABC中，若a＝2bcosC，则△ABC的形状必定为()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形4．△ABC的三内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若5b，A＝2B，则2acosB＝()55C．5D．5A．B．5634二、填空题5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c3,Cπ，3则A＝______．6．在△ABC中，角ABC的对边分别为a、b、c，若(a2c2b2)tanB3ac，则角B的值为______．7．设△ABC的内角Aπ，则2sinBcosC－sin(B－C)的值为______．68．在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若bcosC＝(2a－c)cosB，则∠B的大小为______.三、解答题139．在△ABC中，tanA,tanB.45(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)若AB的边长为17，求边BC的边长．10．如图，某住所小区的平面图呈扇形．小区的两个进出口设置在点A及点CAOC处，小区里有两条笔挺的小道AD，DC，且拐弯处的转角